Метод математического моделирования в экономике.

Для этих клеток сумма потенциалов равна истинному тарифу; последнее может служить проверкой правильности найденных значении потенциалов.
Из сказанного вытекает следующий критерий оптимальности базисного решения транспортной задачи: если для некоторого базисного плана перевозок алгебраические суммы тарифов по циклам для всех свободных клеток неотрицательны, то этот план оптимальный.
Отсюда вытекает способ отыскания оптимального решения транспортной задачи, состоящий в том, что, имея некоторое базисное решение, вычисляют алгебраические суммы тарифов для всех свободных клеток. Если критерий оптимальности выполнен, то данное решение является оптимальным; если же имеются клетки с отрицательными алгебраическими суммами тарифов, то переходят к новому базису, производя пересчет по циклу, соответствующему одной из таких клеток. Полученное таким образом новое базисное решение будет лучше исходного – затраты на его реализацию будут меньшими. Для нового решения также проверяют выполнимость критерия оптимальности и в случае необходимости снова совершают пересчет по циклу для одной из клеток с отрицательной алгебраической суммой тарифов и т. д.
Через конечное число шагов приходят к искомому оптимальному базисному решению.
В случае если алгебраические суммы тарифов для всех свободных клеток положительны, мы имеем единственное оптимальное решение; если же алгебраические суммы тарифов для всех свободных клеток неотрицательны, но среди них имеются алгебраические суммы тарифов, равные нулю, то оптимальное решение не единственное: при пересчете по циклу для клетки с нулевой алгебраической суммой тарифов мы получим оптимальное же решение, но отличное от исходного (затраты по обоим планам будут одинаковыми).
В зависимости от методов подсчета алгебраических сумм тарифов для свободных клеток различают два метода отыскания оптимального решения транспортной задачи:
Распределительный метод. При этом методе для каждой пустой клетки строят цикл и для каждого цикла непосредственно вычисляют алгебраическую сумму тарифов.
Метод потенциалов. При этом методе предварительно находят потенциалы баз и потребителей, а затем вычисляют для каждой пустой клетки алгебраическую сумму тарифов с помощью потенциалов.
Преимущества метода потенциалов по сравнению с распределительным методом состоят в том, что отпадает необходимость построения циклов для каждой из пустых клеток и упрощается вычисление алгебраических сумм тарифов. Цикл строится только один – тот, по которому производится пересчет.
Применяя метод потенциалов, можно говорить не о знаке алгебраических сумм тарифов, а о сравнении косвенных тарифов с истинными. Требование неотрицательности алгебраических сумм тарифов заменяется условием, что косвенные тарифы не превосходят истинных.
Следует иметь в виду, что потенциалы (так же как и циклы) для каждого нового базисного плана определяются заново.
Выше рассматривалась закрытая модель транспортной задачи, с правильным балансом, когда выполняется условие (1.3). В случае выполнения (1.4) (открытая модель) баланс транспортной задачи может нарушаться в 2-ух направлениях:
1. Сумма запасов в пунктах отправления превышает сумму поданных заявок (транспортная задача с избытком запасов):
( аi > ( bj ( где i=1,...,m ; j=1,...,n );
2. Сумма поданных заявок превышает наличные запасы (транспортная задача с избытком заявок):
( аi < ( bj ( где i=1,...,m ; j=1,...,n );
Рассмотрим последовательно эти два случая:
Транспортная задача с избытком запасов.
Сведем её к ранее рассмотренной транспортной задаче с правильным балансом. Для этого, сверх имеющихся n пунктов назначения В1, B2, ... , Bn, введём ещё один, фиктивный, пункт назначения Bn+1, которому припишем фиктивную заявку, равную избытку запасов над заявками
bn+1 = ( аi - ( bj ( где i=1,...,m ; j=1,...,n ) ,
а стоимость перевозок из всех пунктов отправления в фиктивный пункт назначения bn+1 будем считать равной нулю. Введением фиктивного пункта назначения B n+1 с его заявкой b n+1 мы сравняли баланс транспортной задачи, и теперь ее можно решать, как обычную транспортную задачу с правильным балансом.
Транспортная задача с избытком заявок.
Эту задачу можно свести к обычной транспортной задаче с правильным балансом, если ввести фиктивный пункт отправления Am+1 с запасом am+1 равным недостающему запасу, и стоимость перевозок из фиктивного пункта отправления во все пункты назначения принять равной нулю.
2.4.Пример решения транспортной задачи
В городе N имеется 4 склада Аi, на которых хранится ткань (в рулонах) и 5 магазинов Bj, занимающихся продажей ткани. Ниже, в таблице, приведены данные по количеству рулонов на каждом складе, запросы магазинов и стоимость перевозки одного рулона из Аi в Bj. Необходимо составить такой план перевозок, при котором запросы магазинов будут удовлетворены при минимальной суммарной стоимости перевозок.
Исходная таблица:
Поставщик Потребитель Запасы груза     B1         B2         B3         B4         B5       A1  
2

0

 
4

0

 
6

0

 
5

0

 
5

0

  50   A2  
1

0

 
3

0

 
1

0

 
4

0

 
3

0

  20   A3  
1

0

 
1

0

 
1

0

 
2

0

 
3

0

  75   A4  
2

0

 
4

0

 
4

0

 
3

0

 
5

0

  80 Потребность 40 50 15 75 40   Транспортная задача является открытой, так как запас груза больше потребностей на 5 единиц. Приведем задачу к закрытому типу - введем фиктивного потребителя B6.
Поставщик Потребитель Запасы груза     B1         B2         B3         B4         B5         B6       A1  
2

0

 
4

0

 
6

0

 
5

0

 
5

0

 
0

0

  50   A2  
1

0

 
3

0

 
1

0

 
4

0

 
3

0

 
0

0

  20   A3  
1

0

 
1

0

 
1

0

 
2

0

 
3

0

 
0

0

  75   A4  
2

0

 
4

0

 
4

0

 
3

0

 
5

0

 
0

0

  80 Потребность 40 50 15 75 40 5   Находим опорный план по правилу северо-западного угла:
Поставщик Потребитель Запасы груза     B1         B2         B3         B4         B5         B6       A1    
2

40

   
4

10

   
6

 

   
5

 

   
5

 

   
0

 

  50   A2    
1

 

   
3

20

   
1

 

   
4

 

   
3

 

   
0

 

  20   A3    
1

 

   
1

20

   
1

15

   
2

40

   
3

 

   
0

 

  75   A4    
2

 

   
4

 

   
4

 

   
3

35

   
5

40

   
0

5

  80 Потребность 40 50 15 75 40 5   Целевая функция F=600
Решаем задачу методом потенциалов:Примем некоторые обозначения: i - индекс строки;j - индекс столбца;m - количество поставщиков;n - количество потребителей.Полагая потенциал U1=0, определяем остальные потенциалы из соотношения Ui+Vj=Ci,j(i=1..m, j=1..n), просматривая все занятые клетки.Потенциалы Ui:U1=0V1=C1,1-U1= 2V2=C1,2-U1= 4U2=C2,2-V2=-1U3=C3,2-V2=-3V3=C3,3-U3= 4V4=C3,4-U3= 5U4=C4,4-V4=-2V5=C4,5-U4= 7V6=C4,6-U4= 2Определяем значения оценок Si,j=Ci,j-(Ui+Vj) для всех свободных клеток:S1,3= 2 S1,4= 0 S1,5= -2 S1,6= -2 S2,1= 0 S2,3= -2 S2,4= 0 S2,5= -3 S2,6= -1 S3,1= 2 S3,5= -1 S3,6= 1 S4,1= 2 S4,2= 2 S4,3= 2 Наиболее потенциальной является клетка (2,5). Для нее оценка равна -3.Строим для нее цикл, помечая клетки цикла знаками "плюс" и "минус".
Поставщик Потребитель Запасы груза     B1         B2         B3         B4         B5         B6       A1    
2

40

   
4

10

   
6

 

   
5

 

   
5

 

   
0

 

  50   A2    
1

 

 - 
3

20

   
1

 

   
4

 

 + 
3

 

   
0

 

  20   A3    
1

 

 + 
1

20

   
1

15

 - 
2

40

   
3

 

   
0

 

  75   A4    
2

 

   
4

 

   
4

 

 + 
3

35

 - 
5

40

   
0

5

  80 Потребность 40 50 15 75 40 5   Перемещаем по циклу груз величиной в 20 единиц, прибавляя эту величину к грузу в клетках со знаком "плюс" и отнимая ее от груза в клетках со знаком "минус".В результате перемещения по циклу получим новый план:
Поставщик Потребитель Запасы груза     B1         B2         B3         B4         B5         B6       A1    
2

40

   
4

10

   
6

 

   
5

 

   
5

 

   
0

 

  50   A2    
1

 

   
3

 

   
1

 

   
4

 

   
3

20

   
0

 

  20   A3    
1

 

   
1

40

   
1

15

   
2

20

   
3

 

   
0

 

  75   A4    
2

 

   
4

 

   
4

 

   
3

55

   
5

20

   
0

5

  80 Потребность 40 50 15 75 40 5   Целевая функция F= 540
Значение целевой функции изменилось на 60 единиц по сравнению с предыдущим этапом.Полагая потенциал U1=0, определяем остальные потенциалы из соотношения Ui+Vj=Ci,j(i=1..m, j=1..n), просматривая все занятые клетки.Потенциалы Ui:U1=0V1=C1,1-U1= 2V2=C1,2-U1= 4U3=C3,2-V2=-3V3=C3,3-U3= 4V4=C3,4-U3= 5U4=C4,4-V4=-2V5=C4,5-U4= 7V6=C4,6-U4= 2U2=C2,5-V5=-4Определяем значения оценок Si,j=Ci,j-(Ui+Vj) для всех свободных клеток:S1,3= 2 S1,4= 0 S1,5= -2 S1,6= -2 S2,1= 3 S2,2= 3 S2,3= 1 S2,4= 3 S2,6= 2 S3,1= 2 S3,5= -1 S3,6= 1 S4,1= 2 S4,2= 2 S4,3= 2 Наиболее потенциальной является клетка (1,5). Для нее оценка равна -2.Строим для нее цикл, помечая клетки цикла знаками "плюс" и "минус".
Поставщик Потребитель Запасы груза     B1         B2         B3         B4         B5         B6       A1    
2

40

 - 
4

10

   
6

 

   
5

 

 + 
5

 

   
0

 

  50   A2    
1

 

   
3

 

   
1

 

   
4

 

   
3

20

   
0

 

  20   A3    
1

 

 + 
1

40

   
1

15

 - 
2

20

   
3

 

   
0

 

  75   A4    
2

 

   
4

 

   
4

 

 + 
3

55

 - 
5

20

   
0

5

  80 Потребность 40 50 15 75 40 5   Перемещаем по циклу груз величиной в 10 единиц, прибавляя эту величину к грузу в клетках со знаком "плюс" и отнимая ее от груза в клетках со знаком "минус".В результате перемещения по циклу получим новый план:
Поставщик Потребитель Запасы груза     B1         B2         B3         B4         B5         B6       A1    
2

40

   
4

 

   
6

 

   
5

 

   
5

10

   
0

 

  50   A2    
1

 

   
3

 

   
1

 

   
4

 

   
3

20

   
0

 

  20   A3    
1

 

   
1

50

   
1

15

   
2

10

   
3

 

   
0

 

  75   A4    
2

 

   
4

 

   
4

 

   
3

65

   
5

10

   
0

5

  80 Потребность 40 50 15 75 40 5   Целевая функция F= 520
Значение целевой функции изменилось на 20 единиц по сравнению с предыдущим этапом.Полагая потенциал U1=0, определяем остальные потенциалы из соотношения Ui+Vj=Ci,j(i=1..m, j=1..n), просматривая все занятые клетки.Потенциалы Ui:U1=0V1=C1,1-U1= 2V5=C1,5-U1= 5U2=C2,5-V5=-2U4=C4,5-V5=0V6=C4,6-U4= 0V4=C4,4-U4= 3U3=C3,4-V4=-1V2=C3,2-U3= 2V3=C3,3-U3= 2Определяем значения оценок Si,j=Ci,j-(Ui+Vj) для всех свободных клеток:S1,2= 2 S1,3= 4 S1,4= 2 S1,6= 0 S2,1= 1 S2,2= 3 S2,3= 1 S2,4= 3 S2,6= 2 S3,1= 0 S3,5= -1 S3,6= 1 S4,1= 0 S4,2= 2 S4,3= 2 Наиболее потенциальной является клетка (3,5). Для нее оценка равна -1.Строим для нее цикл, помечая клетки цикла знаками "плюс" и "минус".
Поставщик Потребитель Запасы груза     B1         B2         B3         B4         B5         B6       A1    
2

40

   
4

 

   
6

 

   
5

 

   
5

10

   
0

 

  50   A2    
1

 

   
3

 

   
1

 

   
4

 

   
3

20

   
0

 

  20   A3    
1

 

   
1

50

   
1

15

 - 
2

10

 + 
3

 

   
0

 

  75   A4    
2

 

   
4

 

   
4

 

 + 
3

65

 - 
5

10

   
0

5

  80 Потребность 40 50 15 75 40 5   Перемещаем по циклу груз величиной в 10 единиц, прибавляя эту величину к грузу в клетках со знаком "плюс" и отнимая ее от груза в клетках со знаком "минус".В результате перемещения по циклу получим новый план:
Поставщик Потребитель Запасы груза     B1         B2         B3         B4         B5         B6       A1    
2

40

   
4

 

   
6

 

   
5

 

   
5

10

   
0

 

  50   A2    
1

 

   
3

 

   
1

 

   
4

 

   
3

20

   
0

 

  20   A3    
1

 

   
1

50

   
1

15

   
2

 

   
3

10

   
0

 

  75   A4    
2

 

   
4

 

   
4

 

   
3

75

   
5

 

   
0

5

  80 Потребность 40 50 15 75 40 5   Целевая функция F= 510
Значение целевой функции изменилось на 10 единиц по сравнению с предыдущим этапом.Опорный план является вырожденным,так как число занятых клеток меньше, чем m+n-1=10.Сделаем его невырожденным, поместив базисные нули в клетки с координатами (i,j): (1,6)
Поставщик Потребитель Запасы груза     B1         B2         B3         B4         B5         B6       A1    
2

40

   
4

 

   
6

 

   
5

 

   
5

10

   
0

0

  50   A2    
1

 

   
3

 

   
1

 

   
4

 

   
3

20

   
0

 

  20   A3    
1

 

   
1

50

   
1

15

   
2

 

   
3

10

   
0

 

  75   A4    
2

 

   
4

 

   
4

 

   
3

75

   
5

 

   
0

5

  80 Потребность 40 50 15 75 40 5   Полагая потенциал U1=0, определяем остальные потенциалы из соотношения Ui+Vj=Ci,j(i=1..m, j=1..n), просматривая все занятые клетки.Потенциалы Ui:U1=0V1=C1,1-U1= 2V5=C1,5-U1= 5V6=C1,6-U1= 0U2=C2,5-V5=-2U3=C3,5-V5=-2U4=C4,6-V6=0V2=C3,2-U3= 3V3=C3,3-U3= 3V4=C4,4-U4= 3Определяем значения оценок Si,j=Ci,j-(Ui+Vj) для всех свободных клеток:S1,2= 1 S1,3= 3 S1,4= 2 S2,1= 1 S2,2= 2 S2,3= 0 S2,4= 3 S2,6= 2 S3,1= 1 S3,4= 1 S3,6= 2 S4,1= 0 S4,2= 1 S4,3= 1 S4,5= 0 Так как все оценки Si,j>=0, то полученный план является оптимальным.Транспортная задача решена.
Поставщик Потребитель Запасы груза     B1         B2         B3         B4         B5         B6       A1    
2

40

   
4

 

   
6

 

   
5

 

   
5

10

   
0

0

  50   A2    
1

 

   
3

 

   
1

 

   
4

 

   
3

20

   
0

 

  20   A3    
1

 

   
1

50

   
1

15

   
2

 

   
3

10

   
0

 

  75   A4    
2

 

   
4

 

   
4

 

   
3

75

   
5

 

   
0

5

  80 Потребность 40 50 15 75 40 5   Целевая функция F= 5105 единиц груза из хранилища A4 осталось нераспределенным.
Заключение
Проникновение математики в экономическую науку связано с преодолением значительных трудностей. В этом отчасти была «повинна» математика, развивающаяся на протяжении нескольких веков в основном в связи с потребностями физики и техники. Но главные причины лежат все же в природе экономических процессов, в специфике экономической науки.
Сложность экономических процессов и явлений. Большинство объектов, изучаемых экономической наукой, может быть охарактеризовано кибернетическим понятием сложная система.
Наиболее распространено понимание системы как совокупности элементов, находящихся во взаимодействии и образующих некоторую целостность, единство. Важным качеством любой системы является эмерджентность — наличие таких свойств, которые не присущи ни одному из элементов, входящих в систему. Поэтому при изучении систем недостаточно (а иногда и невозможно) пользоваться методом их расчленения на элементы с последующим изучением этих элементов в 'отдельности. Одна из трудностей экономических исследований — в том, что почти не существует экономических объектов, которые можно было бы рассматривать как отдельные (внесистемные) элементы.
Сложность системы определяется количеством входящих в нее элементов, связями между этими элементами, а также взаимоотношениями между системой и средой. Экономика страны обладает всеми признаками очень сложных систем. Она объединяет огромное число элементов, отличается многообразием внутренних связей и связей с другими системами (природная среда, экономика других стран и т.д.). В народном хозяйстве взаимодействуют природные, технологические, социальные процессы, объективные и субъективные факторы.
Задачей экономической науки в обществе является не только познание (объяснение) объективных экономических законов, но и разработка методов преобразования экономики посредством сознательного управления ее развитием. Поэтому экономическая теория (включающая методологию планирования и управления) является, с одной стороны, отображением объективных свойств реальной экономической системы, а с другой стороны — орудием ее сознательного преобразования. Экономическое развитие целенаправленно, однако цели этого развития непрерывно конкретизируются и модифицируются под влиянием изменений объективных социально-экономических условий.
Сложность экономики иногда рассматривалась как обоснование невозможности ее моделирования, изучения средствами математики. Но такая точка зрения в принципе неверна. Моделировать можно объект любой природы и любой сложности (тезис о принципиальной невозможности моделирования объекта равносилен утверждению о его принципиальной непознаваемости). И как раз сложные объекты представляют наибольший интерес для моделирования; именно здесь моделирование может дать результаты, которые нельзя получить другими способами исследования.
Потенциальная возможность математического моделирования любых экономических объектов и процессов не означает, разумеется, ее успешной осуществимости при данном уровне экономических и математических знаний, имеющейся конкретной информации и вычислительной технике. И хотя нельзя указать абсолютные границы математической формализуемости экономических проблем, всегда будут существовать еще неформализованные проблемы, а также ситуации, где математическое моделирование недостаточно эффективно.
В курсовой работе изложены основные подходы и методы решения транспортной задачи, являющейся одной из наиболее распространенных задач линейного программирования. Решение данной задачи позволяет разработать наиболее рациональные пути и способы транспортирования товаров, устранить чрезмерно дальние, встречные, повторные перевозки. Все это сокращает время продвижения товаров, уменьшает затраты предприятий и фирм, связанные с осуществлением процессов снабжения сырьем, материалами, топливом, оборудованием и т.д.

Список литературы

Ермаков В., Общий курс высшей математики для экономистов, Москва, Инфра-М, 2000г.
Введение в теорию и методологию системы оптимального функционирования социалистической экономики. М.: Наука, 1983.
Кобринский H.Е., Майминас Е.З., Смирнов А.Д. Экономическая кибернетика. М.: Экономика, 1982. Гл. 1, 2.
Красс М.С., Чупрынов Б.П, Основы математики и ее приложения в экономическом образовании, Дело, Москва 2001г.
Кузнецов А.В., Сакович В.А., Холод Н.И., Высшая математика. Математическое программирование, Минск, Вышейшая школа, 2001г.
Моисеев Н.Н. Математика ставит эксперимент. М.: Наука, 1979.
Немчинов B.C. Избранные произведения. Т. 3, М.: Наука, 1968.
Раяцкас Р.Л., Плакунов М.К. Количественный анализ в экономике. М.: Наука, 1987.




27



(1.1)

(1.2)

(1.3)

(1.4)

(2.1.1)

(2.1)

(2.1’)

(2.2)

(2.2’)

(2.3)

(2.4)

(2.5)

(2.6)

(2.7)