Производственная функция в долгосрочном периоде и эффект масштаба

Математически аксиома 4 проверяется с помощью матрицы Гессе (L.O. Hesse) (матрицы вторых производных ПФ), которая имеет вид:Для выпуклости вверх поверхности ПФ в области определения необходимо и достаточно, чтобы главные нечетные миноры, начиная с первого порядка, матрицы Hбыли не больше нуля, а главные четные миноры, начиная со второгопорядка, были не меньше нуля: ∆1i≤0, ∆2i,j≥0 при 1≤i≤j≤n, ∆3i,j,k<0 при 1≤i≤j≤к≤пи т.д., где ∆1i,∆2i,j,∆3i,j,k- всевозможные главные минорыпервого, второго, третьего и т.д. порядка соответственно.В случае двухфакторной ПФ аксиома выпуклости вверх проверяется по следующим значениям миноров:Достаточное условие строгой выпуклости вверх состоит в том, что в миноре должен быть знак неравенства «строго меньше», в миноре — знак«строго больше», а в миноре - знак «строго меньше» и т.д. Таким образом, достаточно проверить знаки только главных угловых миноров.В случае двухфакторной ПФ аксиома строгой выпуклости вверх проверяется по следующим значениям миноров:Производственная функция Кобба– Дугласа. Предприятие может производить некоторый набор видов продукции. Однако ПФ отражает зависимость выпуска в целом от факторов производства, как правило, по их укрупненным группам. Примером неоклассической модели производства является двухфакторная производственная функция Кобба — Дугласа (C.W. Cobb, P.H. Douglas, 1928 ).Производственная функция Кобба- Дугласа отражает зависимость объема производства чистой продукции (чистого дохода) от количества используемых ресурсов труда и капитала (затрат на их использование) и имеет мультипликативную форму. Она записывается в виде формулыy = aKaLβ,где а — постоянный коэффициент, соответствующий совокупной эффективности факторовKиLв производстве (а > 0);а, β - постоянные коэффициенты, которые характеризуют эффективность каждого ресурса отдельно (а, β > 0, а+ β=1);К — количество используемого капитала или плата за капитал;L— количество используемого труда или плата за труд.Проверим соответствие ПФ Кобба — Дугласа введенной ранее аксиоматике.Проверка соответствия аксиоме 1.Если K = 0, то y = a, 0αLβ= 0, если L = 0, то y = aKa0β= 0. Следовательно, функция соответствует аксиоме 1.Проверка соответствия аксиоме 2.Вычислим частную производную выпуска по фактору K: ду/дК = aαКа-1Lβ = aαLβ/Kβ. Коэффициенты а, а, β имеют положительное значение, следовательно, при K, L > 0 значение ду/дК > 0. При K = 0, L > 0 производной ду/дКне существует. Аналогично вычислим частную производную выпуска по L: ду/dL = α βКαLβ-1 = αβКα/Lα , следовательно, при K, L > 0 значение dy/dL> 0. При L = 0, K > 0 производной ду/dLне существует.Так как частные производные выпуска по факторам производства имеют положительные значения, математическая формула ПФ Кобба — Дугласа соответствует аксиоме 2.Проверка соответствия аксиоме 3.Вычислим значение показателя степени однородности. Если начальный объем выпуска y = f (K, L) = а КαLβ, то после увеличения факторов в λ раз получим выпуск:yλ = α (γ K)α (γ L)β= λα λ β(а КαLβ) = γ1 (а КαLβ= λ1 y.Отсюда следует, что ПФ Кобба - Дугласа соответствует аксиоме 3 и имеет показатель степени однородности m=1. Значит, эта модель применима для случаев, когда эффективность использования ресурсов при увеличении масштаба производства не изменяется, расширение производства происходит без технологических и организационных инноваций.Проверка соответствия аксиоме 4.Матрица Гессе производственной функции Кобба — Дугласа имеет видДля проверки выпуклости поверхности вверх необходимо и достаточновыполнения условий, сформулированных в предыдущем параграфе. Учитывая, что α, β>0иα+β=1, вычислим значения миноров при K > 0 и L> 0:Отсюда следует, что при K > 0, L > 0 условия выпуклости вверх поверхности ПФ Кобба - Дугласа соблюдаются. Кроме этого условия строгой выпуклости вверх поверхности не выполнено.2.2 Эффект масштаба производстваЕсли происходит пропорциональное изменение затрат, то говорят об изменении масштабов производства. При переходе от затрат хк затратам λхбудем говорить об изменении масштабов производства в λ раз по направлению х. Число λ можно интерпретировать как масштаб производства по направлению х, причем единичный масштаб соответствует осуществлению затрат х. Зависимость выпуска от масштаба производства по направлению x можно описать с помощью числовой функции аргумента λ, полагая:fx (λ)=f( λx)Масштаб производства при таком рассмотрении становится своеобразным фактором производства. Эластичность функции fxпри λ = 1 естественно интерпретировать как эластичность выпуска от масштабов производства в точке х.Предельная «производительность» масштаба при λ = 1 является, очевидно, производной функцииfпо направлению х:Тогда для эластичности функцииfx (λ)приλ = 1 имеемТаким образом, суммарная эластичность выпуска по факторам производства в точке хсовпадает с эластичностью выпуска по масштабам производства и, следовательно, показывает, на сколько «процентов» изменится выпуск при изменении масштаба производства на один «процент».Если E(x)>l, то по принятому определению имеет место возрастающая эффективность от укрупнения масштабов производства в точке х. При E(х)<1 говорят об убывающей, и при E(х)=1 - постоянной эффективности от укрупнения масштабов производства в точке х.Теорема Эйлера. Для однородной производственной функции k-йстепени, k - любое действительное число, выполняется следующее равенство:Продифференцируем равенство по λ: левую часть - по правилу дифференцирования сложной функции, правую - как степенную функцию. В результате получимТак как d(Xxi)/dlijc. , тодля любого λ. При λ = 1 придем к требуемому равенству. Разделив это равенство наf(x1,..., хп), получимЛевая часть равенства, очевидно, представляет собой сумму частных коэффициентов эластичности функции f. Таким образом, суммарный коэффициент эластичностей факторов производства равен степени однородности функции, т.е. E(x)=kпри всех х. Суммарная эластичность однородных функций не зависит от комбинации затрат.При k > 1 для каждой комбинации затрат имеет место возрастающая, при 0 < k < 1 - убывающая и при k = 1 - постоянная эффективность от укрупнения масштабов производства.ЗаключениеПредприниматели заинтересованы в максимальном эффекте от использования ресурсов. Неэффективное использование ресурсов предприниматели и менеджеры предприятия, как правило, не допускают. Поэтому ПФ отражает зависимость максимально возможного выпуска продукции от ресурсов, введенных в производство. Это закон эффективного ведения хозяйства. В микроэкономической теории принято считать, что ПФ определены принципиальные границы максимально возможного выпуска продукции. В макроэкономике такое понимание не совсем корректно: возможно, при другом распределении ресурсов между структурными единицами экономики выпуск мог бы быть и большим. В этом случае ПФ - это статистически устойчивая связь между затратами и выпуском.Выявлено, что в микроэкономике максимально возможный выпуск продукции происходит при любом сочетании применяемых ресурсов. Дорогие ресурсы предприниматели стремятся заменить более дешевыми. Каждый вид ресурсов используют рационально, избыточные ресурсы продают (лишних работников увольняют).ПФ должна отражать зависимость выпуска продукции от использования ресурсов при наиболее эффективном их применении. Отсюда следует, что она должна быть однозначной детерминированной функцией (не случайной, не размытой) выпуска продукции от факторов производства. ПФ связывает выпуск продукции с использованием взаимозаменяемых ресурсов. При фиксированном объеме выпуска продукции характер замещения одного ресурса другими имеет свои особенности, он зависит от типа моделируемого производства. Например, на электростанции возможна полная замена некоторых видов энергоносителей (топочного мазута газом, если для этого приспособлено оборудование). В других случаях происходит постепенное или частичное замещение ресурсов. Например, в машиностроительном производстве обычные станки можно заменить станками с числовым программным управлением. Тогда определенное количество деталей будет изготавливаться меньшим количеством рабочих, но увеличится стоимость ОПФ. Наконец, в ряде случаев замещение ресурсов в принципе невозможно. Например, трудовые ресурсы невозможно заменить сырьевыми ресурсами, эти ресурсы взаимно дополняют друг друга.Список литературыБалдоржиев, Д.Д. Экономическая теория: Учеб. пособие / Д.Д. Балдоржиев. – Смоленск, 2002. – 396 с.Борисов, Е. Ф. Основы экономики: Учебное пособие / Е. Ф. Борисов. – М.: Юрайт – Издат, 2009. – 316 с.Куликов, Л.М. Экономическая теория: Учебник/Л.М. Куликов. – М.: ТКВелби, Издательство Проспект, 2010. – 432с.Современная экономика: Учебное пособие /Под ред. О. Ю. Мамедова. – Ростов-на-Дону: Феникс, 2011. – 456 с.Экономика: Учебник / Под ред. Р. П. Колосовой. – М.: Норма, 2011. – 345 с.Экономика: Учебное пособие /Под ред. А.С. Булатова. – М.: Юристъ, 2009. – 896 с.Экономическая теория: Учеб. пособие /Под ред. Н.И. Базылева.- М.: ИНФРА – М, 2011. – 662 с.Экономическая теория: Учебник / Под общей ред. Г. П. Журавлевой, Л. С. Тарасевича. – М.: ИНФРА-М, 2011. – 714 с.Экономическая теория: Учебник / Под ред. Н.И. Базылева, С.П. Гурко. – М.: ИНФРА-М, 2010. – 512 с.Экономическая теория: Учебник / Под ред. О.С. Белокрыловой. – Ростов-на-Дону: Феникс, 2011. – 448 с.Экономическая теория: Учебник/ под ред. В.Д. Камаева, Е.И. Лобачевой. – М.: Юрайт-Издат, 2010. – 557с.Экономическая теория: Учебное пособие /Под ред. В.И. Видяпина. – М.: ИНФРА – М, 2011. – 714 с.Батищева С.Э. Математические модели микроэкономики: Учеб.пособие.- 2-е изд., перераб. и доп. / С.Э. Батищева, Э.Д. Каданэр, П.М.Симонов. - Пермь: Перм. гос. ун-т, 2006.Моделирование экономических процессов: Учеб. для студ. вузов, обуч. по спец. экон. и упр. (060000) / Под ред. М.В. Грачевой, Л.Н. Фадеевой, Ю.Н. Черемных. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. Черемных Ю.Н. Микроэкономика. Продвинутый уровень: Учеб. / Ю.Н.Черемных. - М.: ИНФРА-М, 2008.