Реферат по математической статистике

Задача №3. Проверка гипотезы о числовом значении дисперсии генеральной совокупности при известном значении математического ожидания генеральной совокупностиДано: XN(m;) – нормальное распределение2,82- центрированная выборочная дисперсия - уровень значимости [=0,1]Нулевая гипотеза Но: Альтернативные гипотезы:H1(1): =2,25(двусторонняя)H1(2): (правосторонняя, если )(наш случай)H1(3): (левосторонняя, если )Решение:Статистика критерия: - распределение с числом степеней свободы n=50/Вычисляем выборочное значение =≈62,7Строим критические области:Для двусторонней гипотезы: H1(1): : - квантили распределения 62,5Правило принятия решения: Если , то гипотезу Но на уровне значимости =0,1 принимаем. А если, , то гипотезу Но отвергаем на уровне значимости =0,1.В нашем случае 62,5𝜖(34,85; 67,5)→ гипотезу H0 на уровне значимости 𝛼=0,1 принимаемДля правосторонней гипотезы: H1(2): : 62,5Правило принятия решения: Если , то гипотезу Но на уровне значимости =0,1 принимаем. А если, , то гипотезу Но отвергаем на уровне значимости =0,1.В нашем случае 62,5< 63,2→ гипотезу H0 на уровне значимости 𝛼=0,1 принимаемЗадача №4. Проверка гипотезы о числовом значении дисперсии генеральной совокупности при неизвестном значении математического ожиданияДано: XN(m;) – нормальное распределение2,73- исправленная выборочная дисперсия - уровень значимости [=0,1]Нулевая гипотеза Но: Альтернативные гипотезы:H1(1): (двусторонняя)H1(2): (правосторонняя, если )(наш случай)H1(3): (левосторонняя, если )Решение:Статистика критерия: - распределение с числом степеней свободы n=49.2. Вычисляем выборочное значение =≈59,453Строим критические области:Для двусторонней гипотезы: H1(1): : - квантили распределения 59,45Правило принятия решения: Если , то гипотезу Но на уровне значимости =0,1 принимаем. А если, , то гипотезу Но отвергаем на уровне значимости =0,1.В нашем случае 59.45𝜖(34,85; 67,5)→ гипотезу H0 на уровне значимости 𝛼=0,1 принимаемДля правосторонней гипотезы: H1(2): : 59,45Правило принятия решения: Если , то гипотезу Но на уровне значимости =0,1 принимаем. А если, , то гипотезу Но отвергаем на уровне значимости =0,1.В нашем случае 59,45< 63,2→ гипотезу H0 на уровне значимости 𝛼=0,1 принимаемЧасть 5. Проверка гипотезы о нормальном распределении. Критерий Нулевая гипотеза Но: Генеральная совокупность имеет нормальное распределение. Т.к. параметры m и неизвестны, то в качестве: 1,65 (исправленное С.К.О.) .Зададим уровень значимости (например, =0,1).Выборочная статистика критерия вычисляется по формуле: ; - абсолютная частота попадания в «i» интервал; - вероятность попадания Х (нормально распределенная случайная величина) в “i” интервал.Шаг 1: В качестве начальной таблицы возьмем таблицу группированной выборки№niPin160,120,720.1432130,263,380,1963180,366,480,286480,161,280520,040,08630,060,18=500,971Шаг 2: Вычисляем теоретические вероятности:=0,5+Ф()=0,5-Ф(1,07)=0,5-0,35769=0,14231≈0,14=Ф()+0,35769=-0,13307+0.35769=0,22462≈0,23=Ф()+0,13307=0.14803+0,13307=0.2811≈0,28Р4=Ф()- Ф()=Ф()-0,14803=0,36650-0,14803=0.21847≈0,22Р5=Ф()- Ф()=Ф()-0,36650=0,466638-0,36650=0,1000138≈0,10Р6=0,5-Ф())=0,5-0,466638=0,033362≈0,03 Шаг 3: Критерий использует тот факт, что случайная величина (i=1,2..k) имеет распределение близкое к нормальному N(0;1). Чтобы это утверждение было достаточно точным необходимо, чтобы для всех интервалов выполнялось условие . Если в некоторых интервалах это условие не выполняется, то их следует объединить с соседними и только потом заполнять последний столбик. В нашем примере нужно объединить две последние строки.Правило принятия решения: Если , то на уровне значимости =0,1 гипотезу Но принимаем: - это квантиль порядка 0,9 с числом степеней свободы s=r-l-1, где r- это число интервалов, а l – число неизвестных параметров (в нашем случае l=2). В нашем случае имеем 5 интервалов и 2 неизвестных параметра.Число степеней свободы равно s=5-2-1=2Порог испытаний 𝜇==4,61Т.К выборочное значение 0,971<4,61, то гипотезу о нормальном распределении на уровне значимости 𝛼=0,1 принимаем.