Современные методы нелинейного программирования и их приложения в экономике

На долю остальных предприятий остается 400 млн.руб. Из предыдущей таблицы видно, что третьему предприятию должно быть выделено:
млн.руб.
Тогда
млн.руб.
Тогда млн.руб.
Таким образом, наилучшим является следующее распределение капитальных вложений по предприятиям:


. Оно обеспечивает производственному объединению наибольший возможный прирост прибыли 55 млн.руб.




5. Оптимальный портфель ценных бумаг.
Определить, с каким наименьшим риском можно достичь 20%-ной эффективности инвестиций, если есть возможность банковских вложений и заимствований по ставке , а на рынке ценных бумаг обращаются две акции, их ожидаемые эффективности равны соответственно и , риски и , а коэффициент корреляции доходностей данных акций равен .
РЕШЕНИЕ.
Решим задачу с помощью Microsoft Excel.
Ввод данных:
i= 0,02 r1= 0,04 r2= 0,06 s1= 0,06 s2= 0,08 r12= 0,76 Rp= 0,2 x0= 1 x1= x2= ME= 0,2 DE= 0
Результаты после применения «Поиск решения»
i= 0,02 r1= 0,04 r2= 0,06 s1= 0,06 s2= 0,08 r12= 0,76 rp= 0,2 x0= -2,850515473 x1= -1,298969054 x2= 5,149484527 ME= 0,2 DE= 0,126981278 Отчет по результатам:
Microsoft Excel 11.0 Отчет по результатам Рабочий лист: [Книга1]Лист1 Отчет создан: 20.05.2008 17:20:22 Целевая ячейка (Минимум) Ячейка Имя Исходное значение Результат $B$14 DE= 0,00156767 0,126981278 Изменяемые ячейки Ячейка Имя Исходное значение Результат $B$10 x1= 0,144329897 -1,298969054 $B$11 x2= -0,572164948 5,149484527 Ограничения Ячейка Имя Значение Формула Статус Разница $B$13 ME= 0,2 $B$13=$B$7 не связан. 0
Отчет по устойчивости
Microsoft Excel 11.0 Отчет по устойчивости Рабочий лист: [Книга1]Лист1 Отчет создан: 20.05.2008 17:20:22 Изменяемые ячейки     Результ. Нормир. Ячейка Имя значение градиент $B$10 x1= -1,298969054 0 $B$11 x2= 5,149484527 0 Ограничения     Результ. Лагранжа Ячейка Имя значение Множитель $B$13 ME= 0,2 1,410903906
Отчет по пределам:
Microsoft Excel 11.0 Отчет по пределам Рабочий лист: [Книга1]Отчет по пределам 3 Отчет создан: 20.05.2008 17:20:22   Целевое   Ячейка Имя Значение $B$14 DE= 0,126981278   Изменяемое   Нижний Целевой Верхний Целевой Ячейка Имя Значение предел результат предел результат $B$10 x1= -1,298969054 -1,298969054 0,126981278 -1,298969054 0,126981278 $B$11 x2= 5,149484527 5,149484527 0,126981278 5,149484527 0,126981278
Следовательно, портфель финансовых инструментов:



Ожидаемая эффективность портфеля - , дисперсия эффективности портфеля
При этом риск портфеля равен
Проведем интерпретацию оптимального решения: необходимо взять банковский кредит в размере 285% от общих средств и продать акции первого вида или взять кредит в размере 130% и потратить на приобретение акций второго вида. Множитель Лагранжа равен 1,410903906 и означает, что увеличение эффективности заданного портфеля на 1% приведет к тому, что риск оптимального портфеля, обладающего такой эффективностью, увеличится приблизительно на .
6. Оптимальность по Парето.
Инвестор рассматривает четыре инвестиционные операции со случайными эффективностями, описываемыми случайными величинами с рядами распределения, приведенными ниже. Требуется определить, какие из этих операций оптимальны по Парето.
РЕШЕНИЕ.
Дано
0 8 16 20 p 1/2 1/8 1/8 1/4
0 4 10 14 p 1/4 1/4 1/4 1/4
0 4 5 20 p 1/2 1/4 1/5 1/20
0 4 8 32 p 1/2 1/4 1/8 1/8
Найдем математические ожидания (ожидаемые эффективности) и среднеквадратичные отклонения (риски):








Отметим точки на едином графике, по оси х отложим ожидаемую эффективность, а по оси у – риски.

Операция называется оптимальной по Парето, если не существует операций, которые бы ее доминировали.
Говорят, что i-я операция доминирует j-операцию, если и
Таким образом, в данной задаче не существует операций, оптимальных по Парето.


7. Модель поведения производителя
Рассматривается фирма с мультипликативной производственной функцией. Известно, что для увеличения выпуска на a=2% необходимо увеличить основные производственные фонды на b=6% или увеличить численность работников на c=4%. В настоящее время основные производственные фонды фирмы оцениваются в ден.ед., всего в фирме занято сотрудников, каждый из которых производит продукцию в среднем на ден.ед. в мес. при средней заработной плате ден.мес. Период амортизации основных производственных фондов составляет мес.
Требуется найти производственную функцию, рассчитать оптимальный размер производственных фондов и оптимальную численность работников. Затем нужно определить, во сколько раз увеличится прибыль фирмы при переходе к оптимальным затратам факторов производства.
РЕШЕНИЕ.
Мультипликативная производственная функция имеет вид:
, где и - эластичности выпуска по фондам и по труду.
и , то есть выпуск фирмы определяется производственной функцией . Параметр А найдем, подставив в эту формулу значения выпуска предприятия в денежном выражении ден. ед, капитала ден.ед. и труда чел. :
, .
Окончательно получим производственную функцию в виде:
Цена труда ден. ед. – это заработная плата, а цена капитала ден. ед. равна ежемесячным амортизационным отчислениям на содержание одной денежной единицы производственных фондов, поэтому прибыль фирмы при таких затратах труда и капитала равна:
9650000 ден.ед.
Оптимальный размер фирмы задается условиями:


Отсюда
и ,
При этом выпуск фирмы составит: ден. ед.
Прибыль: Следовательно, при оптимальном выборе затрат труда и капитала прибыль увеличивается в 360000 раз.
8. Модель Леонтьева.
Матрица прямых затрат А и вектор конечного спроса с в модели Леонтьева приведены для каждого варианта. Требуется найти вектор x валового выпуска, обеспечивающий данный спрос.
, .
РЕШЕНИЕ.
Из матричной модели Леонтьева выразим вектор валового выпуска .
Найдем матрицу полных затрат . Найдем обратную матрицу с помощью метода Жордана-Гаусса:




9. Модель Солоу.
В модели Солоу с производственной функцией функции Кобба-Дугласа с параметрами А=1000 и требуется рассчитать значения фондовооруженности, производительности труда и удельного потребления на стационарной траектории сбалансированного устойчивого экономического роста, на которой норма накопления равна , коэффициент выбытия основных производственных фондов за год составляет , а годовой темп прироста численности занятых равен . Сравнить полученное значение удельного потребления с оптимальным, то есть с тем, которое соответствует золотому правилу накопления.
РЕШЕНИЕ.
На стационарной траектории, соответствующей норме накопления, фондовооруженность

Средняя производительность труда

Удельное потребление

Согласно золотому правилу накопления, для того, чтобы на стационарной траектории сбалансированного экономического роста удельное потребление было максимальным, нужно выбрать норму накопления равной эластичности выпуска по фондам, то есть максимум достигается при . При этом



Видно, что оптимальный выбор нормы накопления приводит к увеличению удельного потребления на стационарной траектории.
10 Многокритериальная оптимизация.
Дана задача векторной оптимизации:




n – номер варианта.
Требуется определить переговорное множество, а затем решить задачу методом последовательных уступок (допустимые уступки по первым двум критериям принять равными и ).
РЕШЕНИЕ.




В данной задаче переговорное множество совпадает с областью допустимых решений, то есть со множеством точек .
Проверка показывает, что ни одна из точек допустимого множества не доминируют другую, то есть все допустимые точки оптимальны по Парето.

Максимизируем функцию . По графику получим, что это точка (1, 9). .
Максимизируем функцию при данных условиях и дополнительном ограничении, позволяющем учесть, что по критерию нельзя уступать больше, чем на . Так как , дополнительное ограничение будет иметь вид: , то есть . Полученное ограничение не пересекается с данным. Поэтому, выполнение задания далее невозможно.












2