Построение интерполяционного многочлена второй степени
Заказать уникальную курсовую работу- 16 16 страниц
- 3 + 3 источника
- Добавлена 28.02.2011
- Содержание
- Часть работы
- Список литературы
- Вопросы/Ответы
Введение
1Основные понятия.
1.1Парабола
1.2Построение параболы по трем точкам
1.3Задача интерполяции
2Интерполяционный многочлен Лагранжа
2.1Основные формулы
2.2Пример 1
2.3Выводы
3Квадратичная регрессия
3.1Постановка задачи
3.2Основные формулы
3.3Пример 2
3.4Пример 3
3.5Пример 4
3.6Пример 5
3.7Выводы
4Заключение
5Список литературы
Постановка задачи
Пусть заданы произвольные значения, полученные в результате эксперимента (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3), ..., (xn, yn).
Найти такой многочлен y = ax2+ bx + c , чтобы сумма квадратов невязок была бы минимальной.
Основные формулы
a, b, c должны удовлетворять системе трех уравнений с тремя неизвестными.
Пример 2
Рассмотрим пример п. 2.2.
Пусть в результате какого-либо опыта получены следующие значения.
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y 0,7055 0,3334 0,5795 0,2896 0,3019 0,7747 0,0140 0,7607 0,8145 0,7090
Тогда уравнения для коэффициентов интерполяционного многочлена второй степени a, b, c запишутся так:
Получаем: a = -0,016005; b = -0,15211; c = 0,74869
Результат интерполяции (рис. 2):
Рис. 2. Квадратичная регрессия, пример 2.
Прогноз по этой интерполяции: x = 11, y = 1,012
Из графика видно, что параболическая зависимость между двумя процессами не имеет место или зависимость очень слабая.
Пример 3
Рассмотрим пример, когда имеют место два процесса x и y, и требуется определить степень зависимости одного процесса от другого (рис. 3).
x 0,5767 0,8681 0,2421 0,1107 0,6633 0,4854 0,3385 0,3425 0,7822 0,6995 y 0,9573 0,4400 0,3414 0,8745 0,9843 0,8492 0,9969 0,5604 0,7130 0,4568
Рис. 3. Квадратичная регрессия, пример 3.
Из графика видно, что параболическая зависимость между двумя процессами не имеет место.
Пример 4
Рассмотрим еще один процесс.
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y 6,814 5,512 9,392 19,42 27,23 37,18 45,57 52,12 62,29 85,57
Рис. 4. Квадратичная регрессия, пример 4.
На этом примере видна параболическая зависимость между процессами (рис. 4). По выявленной закономерности получается прогнозируемое значение при x = 11, оно равно y = 96.7.
Здесь можно получить прогноз и при значениях x, от 1 до 10, не равных ни одному из указанных значений. Например, при x = 4.5 y = 21.7.
Пример 5
Для сравнения двух методов рассмотрим данные примера 4 и построим точечную интерполяцию с помощью многочлена Лагранжа второй степени.
Рис. 5. Квадратичная регрессия, пример 5.
На примере этих значений (рис. 5) видно, что точки, интерполируемые многочленом Лагранжа второй степени, соединяются негладкой кривой, что ухудшает качество прогноза.
Выводы
Если значения в процессе содержат элементы закономерности, то она проявляется при обоих методах, однако, метод точечной интерполяции многочленом Лагранжа второй степени, хотя и может использоваться, имеет существенные недостатки, описанные в п. 2.3.
Заключение
Роль численных методов в современном мире трудно переоценить. Все, с чем мы имеем дело в повседневном общении, как правило, получено в результате каких-либо вычислений [3].
В работе рассмотрены два метода интерполяции с использованием многочлена второй степени, на тестовых процессах построены графики, показаны прогнозируемые значения.
На графиках показаны преимущества и недостатки метода Лагранжа по сравнению с методом квадратичной регрессии.
На этих примерах можно обучиться решению более сложных вычислительных задач, не зависимо от области применения.
Список литературы
1. Бахвалов Н. С. Численные методы. М.: Наука, 2000, 420 с.
2. Вержбицкий В. М. Численные методы. М: Высшая школа, 2001, 385 с.
3. Самарский А. А. Введение в численные методы. М., Наука, 2004, 269 с.
1. Бахвалов Н. С. Численные методы. М.: Наука, 2000, 420 с.
2. Вержбицкий В. М. Численные методы. М: Высшая школа, 2001, 385 с.
3. Самарский А. А. Введение в численные методы. М., Наука, 2004, 269 с.
Вопрос-ответ:
Как построить параболу по трём точкам?
Для построения параболы по трем точкам необходимо использовать метод интерполяции. Сначала находим уравнение параболы, проходящей через эти три точки. Затем, используя полученное уравнение, строим график параболы на координатной плоскости.
Какие основные формулы используются при построении интерполяционного многочлена Лагранжа?
Основные формулы, используемые при построении интерполяционного многочлена Лагранжа, включают формулы для нахождения коэффициентов и самого многочлена. Коэффициенты вычисляются на основе исходных точек, а сам многочлен представляет собой сумму произведений коэффициентов на соответствующие члены многочлена.
Можно ли использовать квадратичную регрессию для построения параболы?
Да, квадратичная регрессия может быть использована для построения параболы. Этот метод также основан на интерполяции, однако он позволяет учесть случайную ошибку и аппроксимировать данные более точно. Для построения квадратичной регрессии необходимо найти коэффициенты уравнения параболы, наилучшим образом соответствующей исходным данным.
Какие выводы можно сделать после построения интерполяционного многочлена второй степени?
Построение интерполяционного многочлена второй степени позволяет аппроксимировать исходные данные с высокой точностью. Этот метод позволяет получить параболу, которая проходит через все заданные точки, и может быть использована для прогнозирования и дальнейшего анализа данных. Однако следует учитывать, что интерполяция может дать точные значения только внутри интервала заданных данных, а за его пределами прогнозы могут быть неточными.
Где можно найти дополнительную литературу по интерполяции и построению параболы?
Дополнительную литературу по интерполяции и построению параболы можно найти в учебниках по высшей математике, математической статистике и численным методам. Также полезные материалы можно найти в научных журналах и на специализированных сайтах по математике и статистике. Некоторые ресурсы предлагают конкретные алгоритмы и примеры, которые помогут лучше понять и применить методы интерполяции и аппроксимации данных.
Как построить интерполяционный многочлен второй степени?
Для построения интерполяционного многочлена второй степени необходимо иметь три точки. Затем можно использовать метод Лагранжа или квадратичную регрессию для построения многочлена.
Как построить параболу по трем точкам?
Для построения параболы по трем точкам можно воспользоваться методом Лагранжа, который позволяет построить интерполяционный многочлен второй степени. Еще один способ - это использование квадратичной регрессии.
Что такое задача интерполяции?
Задача интерполяции состоит в нахождении функции (например, многочлена) по набору известных значений функции в определенных точках. Интерполяционный многочлен проходит через эти точки и позволяет приближенно определить значения функции во всех остальных точках.
Какие основные формулы используются при построении интерполяционного многочлена Лагранжа?
Основные формулы для построения интерполяционного многочлена Лагранжа включают формулу для самого многочлена, а также формулы для вычисления весовых коэффициентов. Подробнее формулы можно найти в специализированной литературе.
Какими примерами можно проиллюстрировать квадратичную регрессию?
Примерами использования квадратичной регрессии могут быть: аппроксимация параболической зависимости между двумя переменными, моделирование и прогнозирование поведения кривых и графиков согласно параболической функции, анализ тестовых данных и т.д.
Как построить интерполяционный многочлен второй степени?
Для построения интерполяционного многочлена второй степени необходимо задать три точки и решить систему уравнений, которая получается из условия прохождения многочлена через эти точки.
Что такое парабола и как ее построить по трем точкам?
Парабола - это кривая второго порядка. Чтобы построить параболу по трем точкам, необходимо найти коэффициенты уравнения параболы, которые удовлетворяют условию прохождения параболы через эти точки.