Теория вероятности

Теория вероятности решение задач по теории вероятностей

Раздел 1. Классическая вероятностная схема

1.1 Основные формулы комбинаторики

В этом разделе мы займемся подсчетом числа "шансов". О числе шансов говорят, когда возможно несколько различных результатов какого-либо действия (извлечение карты из колоды, бросание кубика или монетки, двух кубиков и др.). Число шансов-это число таких возможных результатов, или, иначе говоря, количество способов сделать этот шаг.

Теорема о перемножении шансов

Теорема 1. Пусть имеется, k групп элементов и i-я группа содержит n_i элементов 1<=i<=k. Выбрать из каждой группы по одному элементу. Тогда общее число N способов, которыми он может сделать такой выбор, который равен < / p>

Примечание 1. В теореме 1 считается, что даже если все элементы в i-й группе неразличимы, выбрать один из них может быть n_i способами.

Примечание 2. Результат выбора, описанного в теореме 1, представьте себе, как набор (₁, а ₂,..., _k), где _i выбирается из i-й группы элемент. Тогда общее число различных наборов (₁, а ₂,..., _k) также равняется < / p>

Доказательство теоремы 1.

Занумеруем элементы i -й группы номеров от 1 до n_i. Элемент из первой группы можно выбрать n₁ способами. Если мы выбрали элемент j, 1<=i<= n₁, то выбрать элемент из второй группы мы можем n -₂ способами. Получаем, что с первым элементом j возможно составить n₂ пар являетсяj, l), где 1<=л<= n₂.

Но столько же пар можно сделать и с любым другим элементом первой группы. Тогда всего пар, в которых первый элемент выбран из первой группы, а второй — из второй, существует ровно

Иначе говоря, есть способов выбрать по одному элементу из первых двух групп. Возьмем такой пары являетсяj l). Обратите внимание, что элемент из третьей группы можно выбрать n₃