особенности методики обучения решению стереометрических задач аналитическим методом

Одним из основных средств обучения математике является задача. Для формирования конкретного элемента знания, умения, навыка, овладения конкретным способом деятельности используется система задач. Из системы могут быть сформированы подсистемы задач, индивидуальные для каждого учащегося. Информация в школьных задачах для обучения методам векторов и координат в основном представлена тремя способами:аналитическим (А), вербальным (В) и геометрическим (Г). Условимся также выделять три уровня сложности, определяемыхколичеством подзадач, на которые можно разбить исходную задачу;прозрачностью связей между данными и очевидностью способа решения;объемом теоретических знаний, необходимых для обоснования решений.Полученные девять групп задач представим в таблице 1. Приведём примеры задач каждой из групп (таблицы 2-4).Таблица 1.Способ представления информации в задачеСпособ представления информации в задаче и уровень её сложности123ААа2АзВВ1в2В3ГГ iГ 2Г 3Таблица 2Задачи, информация в которых представлена аналитическим способомУровень сложностиУсловие задачиАНайдите расстояние от вершины А треугольника АВС до его центроида М, если А(-2;1;-3), В(-1;0;4), С(1;2;6)АДан треугольник АВС, вершины которого имеют координаты А(1;5;3), В(3;6;5), С(1;1;0). Найдите координаты точки пересечения стороны ВС и биссектрисы угла ААзДаны точки А(1;3;5) и В(2;1;-7). Найдите на оси абсцисс все такие точки С, что треугольник АВС - прямоугольныйТаблица 3Задачи, информация в которых представлена вербальным способомУровень сложностиУсловие задачиBiНайдите площадь фигуры, ограниченной линией пересечения двух сфер, заданных уравнениями(х - 3)2 + (y + 4)2 + z2 = 64 и (х - 3)2 + (y - 2)2 + (z - 8)2 = 36В2Из начала координат проведены всевозможные прямые, касающиеся сферы с уравнением (x - 4)2 + (y - 3)2 + (z - 12)2 = 144.Найдите уравнение плоскости, в которой лежат все точки касанияВзРебро куба равно a. Найти радиус двух равных шаров, которые можно поместить в куб так, чтобы они не могли двигаться внутри куба при его перемещенииТаблица 4Задачи, информация в которых представлена геометрическим способомУровеньсложностиУсловие задачиГ iНайдите уравнения всех сфер с центром в начале координат, асающихся прямой 'х = 3 - 2t,У = 1 +1, z = 5.Г 2Найдите все точки на оси oz, через которые проходит хотя бы одна прямая, касающаяся сферы (x -1)2 + (y + 2)2 + (z + 2)2 = 9 в точке P(3;-1;-4)Г 3На сфере x2 + у2 + z2 = 1Найдите точки, расстояния от которых до прямой'x = 3 + t,У = 2 - t, z = 1 - 2t.а) наименьшее, б) наибольшее Отнесение условия задачи к тому или иному способу представления информации иногда затруднительно в связи с использованием в условии нескольких способов. Поэтому надо ориентироваться на преимущественно используемый способ в условии данной задачи. Многие учащиеся нуждаются в помощи учителя при переводе условия задачи в предпочтительный для себя способ. Поэтому в начале обучения методам учитель оказывает помощь. Эффективны переформулирование задачи, использование готовых чертежей, применение к решению одной и той же задачи различных способов, например координатного и геометрического.Для каждой задачи определённого способа представления информации можно подобрать девять различных пар задач по одной задаче из двух оставшихся способов представления информации и трех уровней сложности. Получим двадцать семь индивидуальных подсистем задач, содержащих три задачи. После знакомства учащихся с аналитическими методами можно провести первичную диагностику индивидуальных особенностей способов деятельности учащихся с помощью самостоятельной работы. Каждому ученику предлагается девять задач трех уровней сложности, заданных каждым из трёх способов представления информации (см., например, табл. 2-4). Для решения ученику надо выбрать одну задачу из девяти. Уровень сложности задачи выбирается по желанию ученика.Проверка работы позволяет учителю выявить предпочтительные для каждого учащегося способ представ-ления информации в задаче и уровень сложности. Обозначим результаты первичной диагностики формулой Д Bg Г k, в которой индексы i,g, к обозначают уровень сложности заданий, и каждый индекс принимает значения из множества {1,2,3}. На основании проведенной диагностики можно осуществить подбор индивидуальных подсистем задач для дальнейшего обучения. Каждая из подсистем начинается с задач, которые соответствуют способу задания и уровню сложности задачи, выбранному учеником при первичной диагностике. Подсистема также включает задачи более высоких уровнейсложности, заданныепредпочтительным способом, а также задачи трёх уровней сложности, условие в которых представлено другими способами. При необходимости можно дополнять подсистему, добавляя в неё задачи требуемых уровней и способов задания условия.В книге «Методика и технология обучения математике» [14] рекомендуются правила обучения математике с учётом особенностей познавательных процессов учащихся (когнитивных стилей): обучение в предпочитаемом стиле, закрепление в наиболее трудном для ученика стиле, контроль в предпочитаем стиле. Учитывая эти рекомендации, учитель применяет при работе с каждым учащимся индивидуальную подсистему задач. Дальнейшая работа начинается каждым учеником с решения им задач предпочтительного для него способа представления информации и предпочтительного для него уровня сложности. Рассмотрение и решение задач, условие в которых представлено другими способами, начинается с заданий первого уровня сложности с постепенным переходом к более высокому уровню.В этой же книге выделяются три группы учащихся, входящие в «группу риска» при обучении математике:ученики «художественного типа»;ученики, чей стиль обучения не соответствует стилю преподавания учителя;ученики, чей стиль обучения не совпадает с усреднённым стилем класса [16].Обучение математике с учетом стилей восприятия и переработки математической информации должно осуществляться в комфортной бесконфликтной для учащихся «группы риска» среде. Учитель может создать такую среду с помощью расширения «репертуара» способов освоения информации, расширения спектра учебных заданий и создания возможностей их выбора [Там же: 64].Во многих задачах школьных учебников по рассматриваемой теме задания представлены аналитическим или вербальным способом. Поэтому учащимся, предпочитающим геометрический способ представления условия, в начале обучения аналитическим методам необходимо предлагать готовый чертёж вместе с условием задачи. Например, задача Г3 таблицы 3 в задачнике Потоскуева дана без рисунка. Если дополнить условие задачи готовым чертежом (рис. 1), то способ представления информации становится геометрическим. Кроме того, готовый чертёж на первых порах облегчает понимание условия задачи ученикам с недостаточно развитым пространственным воображением и во многом способствует успеху в решении. На чертеже изображены сфера и прямая, до которой находится наименьшее и наибольшее расстояния от сферы, а также сечение комбинации данных фигур плоскостью, проходящей через центр сферы перпендикулярно данной прямой. В дальнейшем таким учащимся можно предлагать начинать решение не с применения аналитического метода, а с изображения данных в условии фигур на чертеже или рисунке.Представляет интерес предлагаемая в книге «Методика и технология обучения математике» рекомендация использовать для обучения задачи с «открытыми» вопросами, направленные на интегрирование собственных понятий и образов учащихся. Приведём пример такой задачи по теме «Векторный метод в пространстве. Понятие вектора»: «Дан набор математических понятий: точка; прямая; отрезок; пространство; длина отрезка; порядок концов отрезка; направленный отрезок; направление луча:одинаково направленные лучи; коллинеарныеотрезки;сонаправленные отрезки; противоположно направленные лучи; противоположно направленные отрезки; равенство отрезков; равенство длин отрезков; транзитивность, симметричность, рефлексивность отношения; множество; свойство равенства направленных отрезков; вектор; модуль вектора; длина вектора; противоположные векторы; ненулевой вектор; равные векторы. Используя их, составьте максимально возможное число верных утверждений».ЗаключениеАналитический метод состоит в расчленении данной задачи на ряд более простых (анализ), то есть решение начинается с искомой величины или отыскания закономерности, которая дает непосредственный ответ на вопрос задачи. Анализируя условие, учащиеся находят закономерность, которая связывает искомую величину с другими; если выражающая эту закономерность формула содержит, кроме искомой, еще неизвестную величину, то находят другую закономерность, связывающую ее с известными из условия; так поступают до тех пор, пока искомая величина не будет полностью выражена через известные.Исследование методики направляющего текста как средства развития тех компетенций учащихся, которые помогают в возрастающей мере самостоятельно приобретать новые знания по стереометрии и формировать собственное мышление, позволило сделать следующие выводы:- под основным направляющим текстом в содержательном компоненте будет пониматься та информация, представленная учителем, которая обеспечит необходимую базу знаний учащимся для организации самостоятельной деятельности;- в ходе усвоения предоставляемой учителем информации должны происходить качественные сдвиги как на уровне развития самостоятельно й деятельности, так и на уровне овладения математическим материалом (переход от количества действий «по образцу» к их качеству, подразумевающий развитие самостоятельного математического мышления).Учащимся одиннадцатых классов в самостоятельной познавательной деятельности предстоит переработать объемный материал, вначале средствами аналитической геометрии, а затем заново переосмыслить знания, связанные с пространственными представлениями и теоремами планиметрии, практически по всему курсу стереометрии. Для этого им надо преподнести информацию таким образом, чтобы они не потеряли интерес к учению.Так как исследованием процессов переработки и хранения больших потоков информации занимается когнитивная психология, то в третьем параграфе рассмотрены особенности когнитивного развития и психология математических способностей школьников с целью выработки требований к поставляемой учащимся информации.Аналитический метод более «целеустремлен»: нахождение правильной исходной формулы сразу ведет к цели, внимание учеников не задерживается на промежуточных этапах, но это не всегда хорошо, так как слабые ученики недостаточно полно усваивают физическое содержание и количественные характеристики рассматриваемых в задаче явлений. При аналитическом методе решения исходят не от условия задачи, а от ее требования, основного вопроса. При решении задач аналитическим методом ставится вопрос: «Что нужно знать, чтобы ответить на вопрос задачи?» Чтобы правильно ответить на поставленный вопрос, нужно знать данные этой задачи и учитывать зависимости, связывающие их с искомой величиной.Аналитический метод удобен для поиска пути решения новой задачи, Он опирается на умение школьника рассуждать и способствует развитию его продуктивного, логического и функционального мышления.Список литературыАтанасян, Л. С. Геометрия [Текст] : учеб. для 10-11 кл. / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев. - М. : Просвещение, 2007. - 255 с.Атанасян, С. Л. Сборник задач по геометрии [Текст] : ч. 1 : задачник для студентов мат. фак. пед. ин-тов / Л. С. Атанасян, Г. Б. Гуревич, В. И. Глизбур. - М. : Exmo Education : Эксмо, 2008. - 336 с.Атанасян, С. Л. Упрощенно-когнитивные приемы решения стереометрических задач по тематике «Вычисление расстояний и углов в пространстве» [Текст] /С. Л. Атанасян, Е. Л. Ситкин // Российский научный журнал. -2013. - № 4(35). - С. 74-78.Александров А. Д. Геометрия: учеб. для 10-11 классов общеобразоват. учреждений. 3-е изд. М.: Просвещение, 2002. 272 с.Болтянский В. Г. Элементарная геометрия: кн. для учит. М. Просвещение,1985.320 с.Геометрия, 10—11: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профильный уровни / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. 17-е изд. М.: Просвещение, 2008. 255 с.Ершова, А. П. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и геометрии [Текст] : 7 кл. / А. П. Ершова, А. С. Ершова, В. В. Голобородько. - М. : Илекса, 2010. - 173 с.Ершова, А. П. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и геометрии [Текст] : 8 кл. / А. П. Ершова, А. С. Ершова, В. В. Голобородько. - М. : Илекса, 2010. - 160 с.Ершова, А. П. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и геометрии [Текст] : 9 кл. / А. П. Ершова, А. С. Ершова, В. В. Голобородько. - М. : Илекса, 2010. - 199 с.Методика обучения геометрии [Текст] : учеб. пособие / В. А. Гусев, В. В. Орлов, В. А. Панчищина и др. - М. : изд. центр Академия, 2004. - 368 с.Методы системного педагогического исследования [Текст] / под ред. Н. В. Кузьминой. - JI. : Изд-во ЛГУ, 1980. - 172 с.Монахов, В. М. Введение в теорию педагогических технологий [Текст] / В. М. Монахов // Школьные технологии. - 2005. - № 3. - С. 4-9Монахов, В. М. Педагогическое проектирование - современный инструментарий дидактических исследований [Текст] / В. М. Монахов // Школьные технологии. - 2001. - № 5. - С. 75-100.Погорелов А. В. Геометрия: учеб. для общеобразоват. учреждений. 4-е изд., дораб. М.: Просвещение, 2004. 128 с.Потоскуев Е. В. Геометрия. 10 кл.: учеб. для общеобразоват. учреждений с углубл. и профильным изучением математики. 3-е изд. М.: Дрофа, 2005. 223 с.ПотоскуевЕ. В. Геометрия. 10 кл.: задачник. 3-е изд. М.: Дрофа, 2005а. 256 с. Смирнова И. М. Геометрия. 10-11 кл. (гуманитарный профиль). М.: Дрофа, 2004.223 с.Русаков, А. А. Упрощенные аналитические приемы вычисления расстояний и углов в пространстве в основе методики подготовки к Единому государственному экзамену с использованием информационных и коммуникационных технологий [Текст] / А. А. Русаков, Е. Л. Ситкин // Педагогика, лингвистика и информационные технологии : материалы международной науч. -практической конф. : в. т. Т. 2 : сб. статей. - Елец, 2012. - С. 360-364.Севрюков, П. Ф. Векторы и координаты в решении задач школьного курса стереометрии [Текст] : учеб. пособие / П. Ф. Севрюков, А. Н. Смоляков. - М. : Илекса, 2008. - 164 с.Ситкин, Е. Л. Вычисление объемов и принцип Кавальери [Текст] / Е. Л. Ситкин // Математика в школе. - 2010. - № 7. - С. 14-18.Ситкин, Е. Л. Когнитивное развитие и его влияние на самостоятельную познавательную деятельность учащихся при изучении стереометрии [Текст] / Е. Л. Ситкин // Российский научный журнал. - 2013. - № 4(35). - С. 242-245.Ситкин, Е. Л. От аксиоматике к практической деятельности [Текст] / Е.Л. Ситкин // От теории к практике преподавания и консультирования : сб. статей. - М. : РГСУ, 2011. - С. 68-71.Ситкин, Е. Л. Повышение мотивации у школьников старших классов в изучении геометрии через красоту решенных задач [Текст] / Е. Л. Ситкин // Школьное математическое образование : традиции и инновации : всерос. науч. конф. : сб. научных статей. - Ульяновск : УГПУ, 2010. - С. 213-214.Ситкин, Е. Л. Принцип Кавальери в вычислении объемов и теорема о покрытии круга [Текст] / Е. Л. Ситкин // Сибирский педагогический журнал. - 2011. - № 3. - С. 180-185.Ситкин, Е. Л. Принцип Кавальери в вычислении площади шарового пояса и шара [Текст] / Е. Л. Ситкин // Российский научный журнал. - 2011. - №2(21). - С. 212-215.Ситкин, Е. Л. Стереометрия. Как решить проще!? [Текст] : учеб. пособие: элективный курс / Е. Л. Ситкин. - 2-е изд. , испр. - М. : ИЛЕКСА, 2013. - 79 с.Ситкин, Е. Л. Три принципа обучения на примере стереометрии [Текст] / Е. Л. Ситкин // От теории к практике преподавания и консультирования : сб. статей. - М. : РГСУ, 2011. - С. 72-76.Смирнов В.А. ЕГЭ 2011. Математика. Задача С2. - М.:МЦНМО, 2010г. - 128 с.Смирнов, А. А. Развитие памяти [Текст] / А. А. Смирнов // Психологическая наука в СССР : в ... т. Т. 1. - М. : изд-во АПН, 1959. - 343 с.Смирнов, В. А. ЕГЭ 2010. Математика. Задача С2 [Текст] / В. А. Смирнов. - М. : МЦНМО, 2010. - 132 с.Смирнова, И. М. Геометрия 10-11 кл. [Текст] : учеб. для учащихся общеобразовательных учреждений / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - М. : Мне- мозина, 2008. - 288 с.Смирнова, И. М. Расстояния и углы в пространстве [Текст] / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - М. : Экзамен, 2009. - 160 с.