Статистическая модель межотраслевой баланс Леонтьева

Правильность расчетов подтвердить проверкой равенств .
Для нового вектора конечной продукции найти вектор валовой продукции Y по формуле .

Решение
Балансовые соотношения
Введем следующие обозначения:
xi – общий (валовой) объем продукции i-ой отрасли (i=1,2,…,n);
xij – объем продукции i-ой отрасли, потребляемой j-ой отраслью в процессе производства (i,j = 1,2,…,n);
yi – объем конечного продукта i-ой отрасли для непроизводственного потребления.
Так как валовой объем продукции любой i-ой отрасли равен суммарному объему продукции, потребляемой n отраслями конечного продукта, то:
xi = (xi1+xi2+…+xin) + yi, i=1,2,…, n
Эти уравнения (их n штук) называются соотношениям баланса. Будем рассматривать стоимостный межотраслевой баланс, когда все величины, входящие в эти уравнения имеют стоимостное выражение.
Запишем уравнения:



Получим объем конечной продукции – вектор

Построим матрицу А

Введем коэффициенты прямых затрат:

Они характеризуют затраты i-ой отрасли на производство единицы стоимости продукции j-ой отрасли.

Существует несколько критериев продуктивности матрицы A. Один из них говорит о том, что матрица A продуктивна, если максимум сумм элементов ее столбцов не превосходит единицы, причем хотя бы для одного из столбцов сумма элементов строго меньше единицы.

Матрица прямых затрат неотрицательная и удовлетворяет критерию продуктивности.
Поэтому для любого вектора конечного продукта Y можно найти необходимый объем валового выпуска X по формуле X=(E–A)-1Y.
Найдем матрицу полных затрат .

Найдем обратную матрицу:
Главный определитель
∆ = 0.9 • (0.8 • 0.5-(-0.3 • (-0.1)))-(-0.1 • (-0.1 • 0.5-(-0.3 • (-0.15))))+0 • (-0.1 • (-0.1)-0.8 • (-0.15)) = 0.3235
Алгебраические дополнения

∆1,1 = (0.8 * 0.5-(-0.1 * (-0.3))) = 0.37

∆1,2 = -(-0.1 * 0.5-(-0.15 * (-0.3))) = 0.095

∆1,3 = (-0.1 * (-0.1)-(-0.15 * 0.8)) = 0.13

∆2,1 = -(-0.1 * 0.5-(-0.1 * 0)) = 0.05

∆2,2 = (0.9 * 0.5-(-0.15 * 0)) = 0.45

∆2,3 = -(0.9 * (-0.1)-(-0.15 * (-0.1))) = 0.105

∆3,1 = (-0.1 * (-0.3)-0.8 * 0) = 0.03

∆3,2 = -(0.9 * (-0.3)-(-0.1 * 0)) = 0.27

∆3,3 = (0.9 * 0.8-(-0.1 * (-0.1))) = 0.71
Обратная матрица:

Выполним проверку:

Для нового вектора конечной продукции найти вектор валовой продукции Y по формуле .

Пример расчета 3
Дана матрица прямых материальных затрат

Известна конечная продукция отраслей .
Задание:
1. Рассчитать валовую продукцию, используя матрицу прямых материальных затрат, построить баланс совокупного общественного продукта.
2. Рассчитать матрицу полных материальных затрат через обращение матрицы прямых материальных затрат.
3. Рассчитать валовую продукцию, используя матрицу полных материальных затрат.
Решение
1. Величина валовой продукции рассчитывается по формуле:


Найдем обратную матрицу .
По формуле обратной матрицы размерности 2 получим:


Построим баланс:






2. Матрица полных затрат через обращение матрицы прямых материальных затрат

3. Валовая продукция через матрицу полных материальных затрат:


Заключение

Действия над матричными моделями позволяют рассчитать необходимые показатели в производственном планировании:
- количество деталей каждого типа, требуемое для производства запланированных изделий, а также суточную программу выпуска деталей;
- продолжительность времени работы единицы оборудования каждого
вида для производства запланированных изделий, а также дефицит времени работы по каждому виду оборудования;
- количество материала каждого вида, необходимое для выполнения плана выпуска изделий;
- затраты рабочего времени рабочим каждой специальности, необходимые для выполнения плановой программы выпуска изделий, а также дефицит времени по каждой специальности.
Межпродуктовый баланс описывает распределение продукции. Производственные связи между отраслями измеряются с помощью матрицы коэффициентов прямых материальных затрат. Валовая продукция непосредственно выражается через конечную продукцию с помощью матрицы коэффициентов полных материальных затрат (обратной матрицы Леонтьева).
Литература
Абчук В.А. Экономико - математические методы. – СПб., Союз, 1999. Багриновский К.А., Матюшок В.М. Экономико – математические методы и модели. – М.: РУДН, 1999. Гаркас В.А. Использование VS Excel и VBA в экономике и финансах. – СПб. , 1999. Горбовцов Г.Я. Методы оптимизации и: Учебно – практическое пособие. – М.: МЭСИ, 2000. Горчаков А.А., Орлова И.В. Компьютерные экономико – математические модели. – М.: ЮНИТИ, 1995. Жданов С.А. Экономические модели и методы в управлении. – М.: ДиС, 1998. Зайцев М.Г. Методы оптимизации управления для менеджеров. Компьютерно – ориентированный подход: Учеб. Пособие. – М.: Дело, 2002. Замков О.О., Толтопятенко А.В., Черемных Ю.П. Математические методы в экономике: Учебник. – М.: ДИС, 1997. Касимов Ю.Ф. Основы теории оптимального портфеля ценных бумаг. – М.ИИД «Филинъ», 1998. Мельник М.М. Экономико – математические методы в планировании и управлении материально – техническим снабжением. – М.: Высшая школа, 1990. Орлова И.В., Половников В.А., Федосеева Г.В. Курс лекций по экономико – математическому моделированию. – М.: Экономическое образование, 1993. Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике: Учебник. В 2-х частях. Ч.1. –М.: Финансы и статистика, 1999. Уотшем Т. Дж., Паррамоу К. Количественные методы в финансах. – М.: Финансы, ЮНИТИ, 1999. Федосеев В.В., Гармаш А.Н. и др. Экономико – математические методы и прикладные модели. – М.: ЮНИТИ, 1999. Хазинова Л.Э. Математическое моделирование в экономике. – М.: БЕК, 1998. Шипин Е.В., Чхартиневили А.Г. Математические методы и модели в управлении. – М.: Дело, 2000. Эддоус М., Стенсфилд Р. Методы принятия решения. – М.: ЮНИТИ, 1997.








2