Метод Монте-Карло

Обозначим данную величину через и будем называть её средним квадратом расстояния. Очевидно, что после одного шага  всегда равно +1, поэтому делаем вывод о том, что , что означает тот факт, что за единицу расстояния всюду будет выбираться один шаг, и поэтому в дальнейшем не будем писать единиц длины.
Ожидаемая величина  для может быть получена, зная . Если после шагов мы оказались на расстоянии  , то еще один шаг даст либо , либо. Или для квадратов будет справедлива следующая формула:

Если процесс повторяется большое число раз, то мы ожидаем, что каждая из этих возможностей осуществляется с вероятностью 0,5; из чего следует, что средняя ожидаемая величина будет просто средним арифметическим этих значений, т. е. ожидаемая величина  будет просто . Теперь попытаемся определить значение величины , или, точнее сказать, её ожидаемое значение. Из определения очевидно, что это должно быть среднее ожидаемое значение , поэтому
.
Ранее упоминалось, что , поэтому получается очень простой результат .
 
Отклонение от начального положения можно характеризовать величиной типа расстояния (а не квадрата расстояния); для этого нужно просто извлечь квадратный корень из и получить так называемое среднее квадратичное расстояние, которое обозначим . Таким образом, получаем, что .
Ранее неоднократно упоминалось, что случайные блуждания очень похожи на опыт с подбрасыванием монет. Если представить себе, что каждое продвижение вперед или назад обусловливается выпадением «орла» или «решки», то будет просто равно , т. е. разности числа выпадений «орла» и «решки». Или поскольку (где — полное число подбрасываний), то . Вспомним, что раньше мы уже получали выражение для ожидаемого распределения величины и поскольку является некоторой константой, то теперь такое же распределение получилось и для . (Появление каждого «орла» исключает появление «решки», поэтому в связи между  и появляется множитель 2.) Таким образом, график представляет одновременно и распределение расстояний, на которые мы можем уйти за 30 случайных шагов ( соответствует , а соответствует и т. д.).
Отклонение от ожидаемой величины будет равно

откуда для среднего квадратичного отклонения получаем

 
Вспомним теперь наш результат для . Ожидается, что среднее расстояние, пройденное за 30 шагов, должно быть равно , откуда среднее отклонение k от 15 должно быть Заметим, что средняя полуширина нашей кривой (т. е. полуширина «колокола» где-то посредине) как раз приблизительно равна 3, что согласуется с этим результатом.
Теперь рассмотрим вопрос, о том, как узнать, «честна» ли наша монета? На данном этапе существует возможность хотя бы с долей вероятности ответить на него. Если монета «честная», то мы ожидаем, что в половине случаев выпадет «орел», т. е. Кроме того, скорее всего действительное число выпадений «орла» должно отличаться от на величину порядка , или, если говорить о доле отклонения, она равна
т. е. чем больше N, тем ближе к половине отношение .
На рисунке справа отложены числа для тех подбрасываний монеты, о которых мы говорили раньше. Как видите, при увеличении числа N кривая все ближе и ближе подходит к 0,5. Но, к сожалению, нет никаких гарантий, что для каждой данной серии или комбинации серий наблюдаемое отклонение будет близко к ожидаемому отклонению. Всегда есть конечная вероятность, что произойдет большая флуктуация — появление большого числа выпадений «орла» или «решки»,— которая даст произвольно большое отклонение. Единственное, что можно сказать,— это если отклонения близки к ожидаемому (скажем, со множителем 2 или 3), то нет оснований считать монету «поддельной» (или что партнер плутует).
Мы не рассматривали еще случаи, когда для монеты или какого-то другого объекта испытания, подобного монете (в том смысле, что возможны два или несколько достоверно не предсказуемых исхода наблюдения, например камень, который может упасть только на какую-то из двух сторон), имеется достаточно оснований полагать, что вероятности разных исходов не равны. Мы определили вероятность как отношение. Но что принять за величину и каким образом можно узнать, что ожидается? Во многих случаях самое лучшее, что можно сделать, это подсчитать число выпадений «орла» в большой серии испытаний и взять (наблюдаемое). При этом, однако, нужно понимать, что различные наблюдатели и различные серии испытаний могут дать другое значение , отличное от нашего.
Следует ожидать, однако, что все эти различные ответы не будут расходиться больше чем на (если близко к половине).
Физики-экспериментаторы обычно говорят, что «экспериментально найденная» вероятность имеет «ошибку», и записывают это в виде
При такой записи подразумевается, что существует некая «истинная» вероятность, которую в принципе можно подсчитать, но что различные флуктуации приводят к ошибке при экспериментальном ее определении. Однако нет возможности сделать эти рассуждения логически согласованными. Лучше все-таки, чтобы вы поняли, что вероятность в каком-то смысле — вещь субъективная, что она всегда основывается на какой-то неопределенности наших познаний и величина ее колеблется при их изменении.
Литература
Бусленко Н.П., Голенко Д.И., Соболь И.М., Срагович В.Г., Шреацидер Ю.А. Метод стохастических испытаний (метод Монте-Карло).–М.: ГИМФЛ, 1962.
Бусленко Н.П., Шрейдер Ю.А. Метод статистических испытаний Монте-Карло и его реализация в цифровых машинах.–Физматгиз, 1961.
Гмурман В.Е. Теория вероятности и математическая статистика.–М.: Высшая школа, 1977.
Ермаков С. М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы.–М., 1971.
Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Статистическое моделирование. М: Наука, 1982.
Ермаков С.Н., Михайлов Г.А. Курс статистического моделирования.– М.:Наука, 1976.
Крамер Г.. Математические методы статистики. М: Мир, 1975.
Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло.–М.:Наука, 1973.














2