Расчет цепей синусоидального тока с применением комплексных чисел

Для ветви, которая содержит конденсатор , комплексное значение тока определяются формулой:
. (52)
Действующее значение тока А.
На рис.16 приведена векторная диаграмма напряжения и тока для указанной ветви. Для напряжения выбран масштаб: 1 см=0,01 В. Для тока выбран масштаб:
1 см=0,1 А.

Рис.16

Вектор комплексного тока опережает по фазе вектор напряжения на 90(.
Для ветви, которая содержит резистор , комплексное значение напряжения определяются формулой:
В. (53)
Действующее значение напряжения В.
Для ветви, которая содержит резистор , комплексное значение тока определяются формулой:
А. (54)
Действующее значение тока А.
На рис.17 приведена векторная диаграмма напряжения и тока для указанной ветви. Для напряжения выбран масштаб: 1 см=1 В. Для тока выбран масштаб:
1 см=0,1 А.

Рис.17

Вектор комплексного тока совпадает по фазе с вектором напряжения .
Для ветви, которая содержит резистор , комплексное значение напряжения определяются формулой:
В. (55)
Действующее значение напряжения В.
Для ветви, которая содержит резистор , комплексное значение тока определяются формулой:
А. (56)
Действующее значение тока А.
На рис.18 приведена векторная диаграмма напряжения и тока для указанной ветви. Для напряжения выбран масштаб: 1 см=1 В. Для тока выбран масштаб:
1 см=0,1 А.

Рис.18

Вектор комплексного тока совпадает по фазе с вектором напряжения .
Для ветви, которая содержит конденсатор , комплексное значение напряжения определяются формулой:
В. (57)
Для ветви, которая содержит конденсатор , комплексное значение тока определяются формулой:
А. (58)
Действующее значение тока А.
На рис.19 приведена векторная диаграмма напряжения и тока для указанной ветви. Для напряжения выбран масштаб: 1 см=0,01 В. Для тока выбран масштаб:
1 см=0,1 А.

Рис.19

Вектор комплексного тока опережает по фазе напряжение на угол .
Для ветви, которая содержит индуктивность , комплексное значение напряжения определяются формулой:
В. (59)
Действующее значение напряжения В.
Для ветви, которая содержит индуктивность , комплексное значение тока определяются формулой:
А. (60)
Действующее значение тока А.
На рис.20 приведена векторная диаграмма напряжения и тока для указанной ветви. Для напряжения выбран масштаб: 1 см=10-3 В. Для тока выбран масштаб:
1 см=10-3 А.

Рис.20

Вектор комплексного тока отстает по фазе от вектора напряжения на угол .

2.3. Построение треугольника сопротивлений, треугольника мощностей, определение коэффициента мощности

Для построения треугольника сопротивлений воспользуемся схемой рис.21.

Рис.21

Входное сопротивление цепи определяется формулой:
Ом. (61)
На рис.22 приведен график треугольника сопротивлений. При построении графика использован масштаб: по оси - 1 см=10 Ом; по оси - 1 см=10 Ом.

Рис.22

Модуль комплексного сопротивления представляет собой гипотенузу прямоугольного треугольника, один катет которого представляет собой активную составляющую входного сопротивления, а второй – мнимую часть входного сопротивления [1]:
Ом. (62)
Значение рассчитывается по формуле:
. (63)
Для того, чтобы построить треугольник мощностей, необходимо катеты треугольника сопротивлений (рис.22) умножить на квадрат действующего значения тока.
Активная мощность рассчитывается по формуле:
Вт. (64)
Реактивная мощность рассчитывается по формуле:
ВАр. (65)
Полная мощность рассчитывается по формуле:
ВА. (66)
На основании приведенных выше формул построен треугольник мощностей (рис.23). При построении графика использован масштаб: по оси - 1 см – 0,1 ВАр; по оси - 1 см=0,1 Вт.


Рис.23

Активная мощность – это действительная часть комплексного значение полной мощности :
. (67)
Реактивная мощность – это мнимая часть комплексного значение полной мощности :
. (68)
Отношение активной мощности к полной мощности называется коэффициентом мощности . Для анализируемой цепи его значение равно:
. (69)

2.4. Расчет проектных значений элементов синусоидальной цепи для приведения коэффициента мощности к гостовским значениям.

Как упоминалось выше, для увеличения коэффициента мощности необходимо увеличивать емкостную составляющую входного сопротивления (путем увеличения емкости конденсаторов , ) и уменьшать индуктивную составляющую входного сопротивления (путем уменьшения индуктивности , ).
Были произведены расчеты значения для случаев, когда емкости конденсаторов , увеличивалась в раз (по сравнению с исходными значениями 50 мкФ и 65 мкФ), т.е. , . Значение изменялось от 1 до 5.
Одновременно значения индуктивностей , уменьшались раз (по сравнению с исходными значениями 70 мГн и 12 мГн), т.е. , .
Результаты расчетов приведены в таблице 3.

Табл.3
1 2 3 4 5 0,816 0,88 0,929 0,956 0,97
На рис.24 приведен графики зависимости от значения . Используя этот график можно рассчитать проектные значения реактивных элементов для обеспечения заданного значения .
Например, для обеспечения значения =0,96 значение 4,2.


Рис.24

Проектные значения емкостей , конденсаторов рассчитываются по формулам:
Ф. (70)
Ф. (71)
Проектные значения , индуктивностей рассчитываются по формулам:
Гн. (72)
Гн. (73)


Выводы по работе

В разделе 1 «Теоретическая часть» курсового проекта рассмотрены основные вопросы, которые касаются применения метода комплексных чисел для анализа цепей синусоидального тока. Приведены основные соотношения между комплексными значениями тока и напряжения для пассивных компонентов цепи (резистор, конденсатор, катушка индуктивности). Приведены векторные диаграммы для комплексных значений тока и напряжения этих элементов. Приведены определения и графики треугольника сопротивления, треугольника мощности, коэффициента мощности.
В разделе 2 «Практическая часть» курсового проекта произведен расчет цепи синусоидального тока методом преобразования по исходным данным с применением метода комплексных чисел. Рассчитаны комплексные значения токов во всех ветвях и комплексные значения напряжений на каждой ветви. Произведена проверка правильности расчетов с помощью баланса мощностей.
Составлены векторные диаграммы для каждой ветви в действующих значениях U и I. Построены треугольники сопротивлений и мощностей. Рассчитан коэффициент мощности цепи.
Рассчитаны проектные значения элементов синусоидальной цепи для обеспечения заданного значения коэффициента мощности.


Литература

1. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. М.: Высшая школа, 1978. - 528 с.
2. Нейман Л.Р., Демирчан К.С. Теоретические основы электротехники. Л.: Энергия, 1981. - 536 с.
3. Евдокимов Ф.Е. Теоретические основы электротехники. М.: Высшая школа, 1981. - 488 с.
4. Касаткин А.С., Немцов М.В. Электротехника: Учеб. пособие для вузов. – 4-е изд., перераб. - М.: Энергоатомиздат, 1983. - 440 с.
5. https://ru.wikipedia.org/wiki/Коэффициент_мощности









4


35