Метод множителей Лагранжа, решение задач на условный экстремум

Или знание того, что градиент функции в каждой точке области определения направлен по нормали к линии уровня.Метод множителей ЛагранжаСуществует несколько методов нахождения условного экстремума функции, одним из которых является метод множителей Лагранжа. Он является более универсальным по сравнению с уже приведенным прямым методом, в котором необходимо выражение переменных одну через другую из уравнений связи, что не всегда представляется возможным. Также не всегда очевидна геометрия задачи, что делает неудобным применение прямого метода.Пусть у нас есть некоторая функция и некоторые ограничения к ней:Суть метода состоит в том, что сначала мы составляем функцию Лагранжа в виде линейной комбинации нашей функции и функций , взятых с коэффициентамиλi, называемыми множителями Лагранжа:После чего мы составляем систему из n+mуравнений, приравняв к нулю частные производные функции Лагранжа по xjи λi. Если полученная система имеет решение относительно параметров xj’и λi’, тогда точка х’ может быть условным экстремумом.Для наглядности посмотрим, как используется метод множителей Лагранжа на практике. Пусть задана функция и уравнения связи:На первом шаге представим уравнения связи в видеи составим функцию Лагранжа.В нашем случаеДалее алгоритм нахождения условных экстремумов похож на алгоритм нахождения безусловных экстремумов. Сначала найдем частные производные функции Лагранжа, считая множители Лагранжа за константы:После чего мы составляем и решаем систему уравнений:Из первого уравнения выражаем:Из второго уравнения выражаем:Подставляем найденные значения xи yв уравнение связи и проводим упрощения:В результате получаем две стационарные точки. Если коэффициент Лагранжа равен , то:Если коэффициент Лагранжа равен , то:Следовательно, в первом случае координаты точки экстремума M1(-3,-4), а во втором случае M2(3,4).Легко видеть, что координаты обеих точек удовлетворяют уравнению связи.Теперь проверим выполнение достаточного условия экстремума для найденных стационарных точек. Рассмотрим три подхода к решению данной задачи.Геометрический способ обоснования заключается в следующем. Сначала вычисляем значение нашей функции в стационарных точках:Сечение плоскости:круговым цилиндром:представляет собой эллипс, в верхней вершине которого достигается максимум, а в нижней – минимум. Таким образом, большее значение( z = 30) есть условный максимум, а меньшее (z = -20) – условный минимум.Аналитический способ обоснования основан на использовании знаков дифференциала второго порядка.Если в стационарной точке дифференциал второго порядка меньше нулято в данной точке функция достигает своего условного максимума, если дифференциал больше нуля – условного минимума соответственно.Итак, найдем частные производные второго порядка:И составим дифференциал:При коэффициенте Лагранжа равном :Значит, функция достигает максимума в точке М1. При коэффициенте Лагранжа равном :Значит, функция достигает минимума в точке М2.Рассмотренный метод хорош, но обладает тем недостатком, что в ряде случаев практически невозможно определить знак второго дифференциала.Тогда можно воспользоваться третьим методом обоснования – дифференцированием уравнения связи по xи y.Сначала продифференцируем уравнение связи по каждой из переменных:И составим следующую симметричную матрицу:Если в стационарной точке:то функция достигает в данной точке минимума, если:то функция достигает в данной точке максимума.Запишем матрицу, подставляя в нее значение коэффициента Лагранжа равное :Вычислим ее определитель:следовательно функция имеет максимум в данной точке М1.Аналогично для значения коэффициента Лагранжа равного :Тогда ее определитель равен:следовательно функция имеет минимум в данной точке М2.Ответы, полученные всеми методами, совпадают, следовательно, мы можем пользоваться любым удобным в каждом конкретном случае методом.Также рассмотрим случай функции трех переменных. Пусть у нас есть функция:при условии:Сначала запишем функцию Лагранжа:И найдем ее частные производные первого порядка:Составим стандартную систему:Из первого уравнения выразим множитель Лагранжа:Подставим это во второе уравнение:И получим единственное нетривиальное решение:Подставим множитель Лагранжа в третье уравнение:И получим единственное нетривиальное решение:Подставим получившиеся решения в уравнение связи:Тогда:Найдем частные производные второго порядка:Видим, что смешанные частные производные не равны нулю, а значит, оценка знака дифференциала затруднена. В таком случае составим следующую симметричную матрицу:И в стационарной точке вычислить ее угловые миноры третьего и четвертого порядка:Если окажется, что:то функция достигает своего условного минимума в стационарной точке. Если :то функция достигает своего условного максимума в стационарной точке.Для этого сначала продифференцируем уравнение связи по каждой из переменных:Таким образом:Подставим координаты стационарной точки М(1,2,3):Теперь найдем угловой минор четвертого порядка (или, в нашем случае, просто определитель матрицы):Определитель матрицы получился отрицательным, а значит, в стационарной точке действительно есть максимум или минимум. Теперь найдем угловой минор третьего порядка:Поскольку:то наша функция имеет условный максимум в стационарной точке М(1,2,3).И значение максимума функциипри условии равно:ВыводыВ результате данной работы мы освежили общие знания по функциям многих переменных и разобрали на примерах способы нахождения их условных и безусловных экстремумов. Плотнее познакомились с методом множителей Лагранжа и укрепили свои знания в поиске частных производных функций многих переменных.Список литературыДемидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. – М., Изд. Моск. ун-та,ЧеРо, 1997– 624 с.Демидович Б.П., Моденов В.П. Дифференциальные уравнения. – СПб.: Издательство «Лань», 2008– 288 с.ЗоричВ.А. Математический анализ. – М., ФАЗИС, 1997, ч.1 – 554 с.Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: учеб.для студентов физ.-мат. и инж.-физ. специальностей вузов. В 3 т. – М.: Высшая школа, 1988, т.2. – 576 с. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. – М., 1966, т.1 – 607 с.