1. Корни, степени, логарифмы

Поэтому сначала рассмотрим степенные функции при нечетных положительных значениях показателя a, далее - при четных положительных, далее - при нечетных отрицательных показателях степени, и, наконец, при четных отрицательных a.
Свойства степенных функций с дробными и иррациональными показателями (как и вид графиков таких степенных функций) зависят от значения показателя a. Их будем рассматривать, во-первых, при a от нуля до единицы, во-вторых, при a больших единицы, в-третьих, при a от минус единицы до нуля, в-четвертых, при a меньших минус единицы.
В заключении этого пункта для полноты картины опишем степенную функцию с нулевым показателем.
Рассмотрим степенную функцию при нечетном положительном показателе степени, то есть, при а=1,3,5,….
На рисунке ниже приведены графики степенных фнукций – черная линия, – синяя линия, – красная линия, – зеленая линия. При а=1имеем линейную функцию y=x.

Свойства степенной функции с нечетным положительным показателем:
Область определения: .
Область значений: .
Функция нечетная, так как .
Функция возрастает при .
Функция выпуклая при и вогнутая при (кроме линейной функции).
Точка (0;0) является точкой перегиба (кроме линейной функции).
Асимптот нет.
Функция проходит через точки (-1;-1), (0;0), (1;1).
Рассмотрим степенную функцию с четным положительным показателем степени, то есть, при а=2,4,6,….
В качестве примера приведем графики степенных функций – черная линия, – синяя линия, – красная линия. При а=2 имеем квадратичную функцию, графиком которой является квадратичная парабола.


Свойства степенной функции с четным положительным показателем:
Область определения: .
Область значений: .
Функция четная, так как .
Функция возрастает при , убывает при .
Функция вогнутая при .
Точек перегиба нет.
Асимптот нет.
Функция проходит через точки (-1;1), (0;0), (1;1).
Посмотрите на графики степенной функции при нечетных отрицательных значениях показателя степени, то есть, при а=-1,-3,-5,….


На рисунке в качестве примеров показаны графики степенных функций – черная линия, – синяя линия, – красная линия, – зеленая линия. При а=-1 имеем обратную пропорциональность, графиком которой является гипербола.
Свойства степенной функции с нечетным отрицательным показателем:
Область определения: .
При x=0 имеем разрыв второго рода, так как приа=-1,-3,-5,…. Следовательно, прямая x=0 является вертикальной асимптотой.
Область значений: .
Функция нечетная, так как .
Функция убывает при .
Функция выпуклая при и вогнутая при .
Точек перегиба нет.
Горизонтальной асимптотой является прямая y = 0, так как

при а=-1,-3,-5,….
Функция проходит через точки (-1;-1), (1;1).
Перейдем к степенной функции при а=-2,-4,-6,….

На рисунке изображены графики степенных функций – черная линия, – синяя линия, – красная линия.
Свойства степенной функции с четным отрицательным показателем:
Область определения: .
При x=0 имеем разрыв второго рода, так как приа=-2,-4,-6,…. Следовательно, прямая x=0 является вертикальной асимптотой.
Область значений: .
Функция четная, так как .
Функция возрастает при , убывает при .
Функция вогнутая при .
Точек перегиба нет.
Горизонтальной асимптотой является прямая y=0, так как

при а=-2,-4,-6,….
Функция проходит через точки (-1;1), (1;1).
Рассмотрим степенную функцию с рациональным или иррациональным показателем a, причем .
Приведем графики степенных функций при а=11/12 (черная линия), а=5/7(красная линия), (синяя линия), а=2/5 (зеленая линия).

При других значениях показателя степени a, графики функции будут иметь схожий вид.
Свойства степенной функции при :
Область определения: .
Область значений: .
Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.
Функция возрастает при .
Функция выпуклая при .
Точек перегиба нет.
Асимптот нет.
Функция проходит через точки (0;0), (1;1).
Рассмотрим степенную функцию с нецелым рациональным или иррациональным показателем a, причем .
Приведем графики степенных функций, заданных формулами (черная, красная, синяя и зеленая линии соответственно).

При других значениях показателя степени a, графики функции будут иметь схожий вид.
Свойства степенной функции при :
Область определения: .
Область значений: .
Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.
Функция возрастает при .
Функция вогнутая при , если ; при , если .
Точек перегиба нет.
Асимптот нет.
Функция проходит через точки (0;0), (1;1).
Переходим к степенной функции , когда .
Чтобы хорошо представлять вид графиков степенных функций при , приведем примеры графиков функций (черная, красная, синяя и зеленая кривые соответственно).

Свойства степенной функции с показателем a, :
Область определения: . при , следовательно, х=0 является вертикальной асимптотой.
Область значений: .
Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.
Функция убывает при .
Функция вогнутая при .
Точек перегиба нет.
Горизонтальной асимптотой является прямая y=0.
Функция проходит через точку (1;1).
Приведем примеры графиков степенных функций при , они изображены черной, красной, синей и зеленой линиями соответственно.

Свойства степенной функции с нецелым отрицательным показателем, меньшим минус единицы:
Область определения: .
при , следовательно, х=0 является вертикальной асимптотой.
Область значений: .
Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.
Функция убывает при .
Функция вогнутая при .
Точек перегиба нет.
Горизонтальной асимптотой является прямая y=0.
Функция проходит через точку (1;1).
При а=0 и имеем функцию - это прямая из которой исключена точка(0;1) (выражению 00 условились не придавать никакого значения).
Одной из основных элементарных функций является показательная функция.
График показательной функции , где и принимает различный вид в зависимости от значения основания а. Разберемся в этим.
Сначала рассмотрим случай, когда основание показательной функции принимает значение от нуля до единицы, то есть, .
Для примера приведем графики показательной функции при а = 1/2 – синяя линия ,a = 5/6 – красная линия. Аналогичный вид имеют графики показательной функции при других значениях основания из интервала .

Свойства показательной функции с основанием меньшим единицы:
Областью определения показательной функции является все множество действительных чисел: .
Область значений: .
Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть, она общего вида.
Показательная функция, основание которой меньше единицы, убывает на всей области определения.
Функция вогнутая при .
Точек перегиба нет.
Горизонтальной асимптотой является прямая y = 0 при х стремящемся к плюс бесконечности.
Функция проходит через точку (0;1).
Переходим к случаю, когда основание показательной функции больше единицы, то есть, .
В качестве иллюстрации приведем графики показательных функций – синяя линия и – красная линия. При других значениях основания, больших единицы, графики показательной функции будут иметь схожий вид.

Свойства показательной функции с основанием большим единицы:
Область определения показательной функции: .
Область значений: .
Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.
Показательная функция, основание которой больше единицы, возрастает при .
Функция вогнутая при .
Точек перегиба нет.
Горизонтальной асимптотой является прямая y = 0 при х стремящемся к минус бесконечности.
Функция проходит через точку (0;1).
Следующей основной элементарной функцией является логарифмическая функция , где , . Логарифмическая функция определена лишь для положительных значений аргумента, то есть, при .
График логарифмической функции принимает различный вид в зависимости от значения основания а.
Начнем со случая, когда .
Для примера приведем графики логарифмической функции при а = 1/2 – синяя линия, a = 5/6 – красная линия. При других значениях основания, не превосходящих единицы, графики логарифмической функции будут иметь схожий вид.

Свойства логарифмической функции с основанием меньшим единицы:
Область определения логарифмической функции: . При х стремящемся к нулю справа, значения функции стремятся к плюс бесконечности.
Область значений: .
Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.
Логарифмическая функция убывает на всей области определения.
Функция вогнутая при .
Точек перегиба нет.
Горизонтальных асимптот нет.
Функция проходит через точку (1;0).
Перейдем к случаю, когда основание логарифмической функции больше единицы ().
Покажем графики логарифмических функций – синяя линия, – красная линия. При других значениях основания, больших единицы, графики логарифмической функции будут иметь схожий вид.

Свойства логарифмической функции с основанием большим единицы:
Область определения: . При х стремящемся к нулю справа, значения функции стремятся к минус бесконечности.
Областю значений логарифмической функции является все множество действительных чисел, то есть, интервал .
Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.
Функция возрастает при .
Функция выпуклая при .
Точек перегиба нет.
Горизонтальных асимптот нет.
Функция проходит через точку (1;0).

Параллельность прямых и плоскостей

Начнем с определения параллельных прямой и плоскости.
Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.
Для обозначения параллельности используется символ «». То есть, если прямая a и плоскость параллельны, то можно кратко записать a.

Заметим, что выражения «прямая a и плоскость параллельны», «прямая a параллельна плоскости » и «плоскость параллельна прямой a» одинаково употребимы.
В качестве примера параллельных прямой и плоскости приведем натянутую гитарную струну и плоскость грифа этой гитары.
Параллельность прямой и плоскости далеко не всегда является очевидным фактом. Другими словами, параллельность прямой и плоскости приходится доказывать. Существует достаточное условие, выполнение которого гарантирует параллельность прямой и плоскости. Это условие называют признаком параллельности прямой и плоскости. Прежде чем ознакомиться с формулировкой этого признака, рекомендуем повторить определение параллельных прямых.
Теорема.
Если прямая a, не лежащая в плоскости , параллельна некоторой прямой b, которая лежит в плоскости , то прямая a параллельна плоскости .
Озвучим еще одну теорему, которую можно использовать для установления параллельности прямой и плоскости.
Теорема.
Если одна из двух параллельных прямых параллельна некоторой плоскости, то вторая прямая либо также параллельна этой плоскости, либо лежит в ней.
Доказательство признака параллельности прямой и плоскости и доказательство озвученной теоремы приводятся в учебнике геометрии за 10-11 классы, который указан в конце статьи в списке рекомендованной литературы.
Определение направляющего вектора прямой и определение нормального вектора плоскости позволяют записать необходимое и достаточное условие параллельности прямой и плоскости.
Теорема.
Для параллельности прямой a, не лежащей в плоскости , и плоскости необходимо и достаточно, чтобы направляющий вектор прямой a был перпендикулярен нормальному вектору плоскости .
Это условие удобно использовать для доказательства параллельности прямой и плоскости, которые заданы в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве некоторыми уравнениями.
Пусть прямую a в прямоугольной системе координат Oxyz задают канонические уравнения прямой в пространстве вида или параметрические уравнения прямой в пространстве вида , а плоскости соответствует общее уравнение плоскости . Тогда - направляющий вектор прямой a, а - нормальный вектор плоскости . Для перпендикулярности векторов и необходимо и достаточно, чтобы скалярное произведение равнялось нулю (об этом написано в статье условие перпендикулярности двух векторов).
Следовательно, необходимое и достаточное условие параллельности прямой a и плоскости (a не лежит в плоскости ) примет вид , где - направляющий вектор прямой a, - нормальный вектор плоскости .
Разберем решения нескольких примеров.
Пример.
Являются ли прямая и плоскость параллельными?
Решение.
Заданная прямая не лежит в плоскости, так как координаты точки прямой не удовлетворяют уравнению плоскости: . Проверим выполнение необходимого и достаточного условия параллельности прямой и плоскости. Очевидно, - направляющий вектор прямой , - нормальный вектор плоскости . Вычислим скалярное произведение векторов и : . Таким образом, векторы и перпендикулярны. Следовательно, заданные прямая и плоскость параллельны.
Ответ:
да, прямая и плоскость параллельны.
Пример.
Параллельна ли прямая АВ координатной плоскости Oyz, если .
Решение.
Точка не лежит в координатной плоскости Oyz, так как абсцисса этой точки отлична от нуля.
Нормальным вектором плоскости Oyz является вектор . В качестве направляющего вектора прямой AB возьмем вектор . Координаты точек начала и конца вектора позволяют вычислить координаты этого вектора, тогда . Проверим выполнение необходимого и достаточного условия перпендикулярности векторов и : . Следовательно, прямая AB и координатная плоскость Oyz не параллельны.
Ответ:
нет, не параллельны.
Разобранное условие не совсем удобно для доказательства параллельности прямой aи плоскости , так как отдельно приходится проверять, что прямая a не лежит в плоскости . Поэтому, доказывать параллельность прямой a и плоскости удобнее с помощью следующего необходимого и достаточного условия.
Пусть прямая a задана уравнениями двух пересекающихся плоскостей ,а плоскость - общим уравнением плоскости .
Теорема.
Для параллельности прямой a и плоскости необходимо и достаточно, чтобы система линейных уравнений вида не имела решений.
Доказательство.
Действительно, если прямая a параллельна плоскости , то они по определению не имеют общих точек. Следовательно, не существует ни одной точки в прямоугольной системе координат Oxyz, координаты которой удовлетворяли бы одновременно и уравнениям прямой и уравнению плоскости . Значит, система уравнений вида несовместна.
И обратно: если система уравнений вида не имеет решений, то не существует ни одной точки в прямоугольной системе координат Oxyz, координаты которой удовлетворяли бы одновременно всем уравнениям системы. Тогда, не существует точки, координаты которой одновременно удовлетворяют и уравнениям прямой и уравнению плоскости . Следовательно, прямая a и плоскость не имеют общих точек, то есть, они параллельны.
В свою очередь система уравнений не имеет решений, когда ранг основной матрицы системы меньше ранга расширенной матрицы (это следует из теоремы Кронекера-Капелли, при необходимости смотрите статью решение систем линейных уравнений). Несовместность этой системы уравнений можно также показать, используя метод Гаусса для решения систем линейных уравнений.
Пример.
Докажите параллельность прямой и плоскости .
Решение.
Перейдем от канонических уравнений прямой к уравнениям двух пересекающихся плоскостей:
Для доказательства параллельности прямой и плоскости покажем, что система уравнений не имеет решения. Воспользуемся методом Гаусса:

Действительно, система уравнений несовместна, следовательно, заданные прямая и плоскость не имеют общих точек. Этим доказана параллельность прямой и плоскости .
Рассмотрим следующие задачи.
1). Задача 1.

Доказательство
МN - средняя линия треугольника АВС, значит МN || АВ, АВ a .
Таким образом, МN || a (по признаку параллельности прямой и плоскости).
2). Задача 2.

Доказательство
МN - средняя линия трапеции АВСD, значит МN || АВ; АВ a (по условию),
Таким образом, МN || a (по признаку параллельности прямой и плоскости).
3). Задача 3.
Сторона АС треугольника АВС параллельна плоскости a , а стороны АВ и ВС пересекаются с этой плоскостью в точках М и N. Докажите, что треугольники АВС и МВN подобны.
Перед решением данной задачи необходимо вспомнить признаки подобия треугольников.

Доказательство
1. По утверждению 1° : МN || АC. Тогда угол А = углу ВМN (как односторонние при параллельных прямых).
2. угол В - общий.
З. Таким образом, по двум углам треугольник АВС подобен треугольнику МВN.
4). Задача 4.
На сторонах АВ и АС треугольника АВС взяты соответственно точки D и E так, что ОE = 5 см и ВD = 2/3. Плоскость a проходит через точки B и С и параллельна отрезку ОE. Найдите длину отрезка ВС.

Решение:
Из условия задачи № 26: треугольник АВС подобен треугольнику АDЕ.
Тогда АВ/АD = ВС/DЕ, 5/3 = х/5, х = 25/3, х = 81/3.
Ответ: 81/3.

Заключение

Таким образом, в данной работы были раскрыты вопросы параллельности прямой и плоскости, изучены корни, степени и логарифмы, а также исследована показательная, степенная, логарифмическая функция.





Список использованных источников

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений.
Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.
Погорелов А.В., Геометрия. Учебник для 7-11 классов общеобразовательных учреждений.
Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.












38