Байесовский подход в работе с числовой информацией

Необходимо с использованием сопряженного априорного распределения параметра получить байесовские точечные и интервальные оценки величины средней интенсивности вызовов скорой помощи в течение часа и провести сравнение этих оценок с результатами применения метода максимального правдоподобия.
Сопряженные априорные распределения описываются гамма-законом, с параметрами и, которые определяются по системе уравнений:

Отсюда .
По формулам пересчета параметров апостериорного гамма-распределения найдем:


Поэтому,

Исходя из вышеприведенных формул можно сделать утверждение, что справедливы неравенства с вероятностью:

- стопроцентная точка гамма-распределения с параметрами . Воспользуемся формулами:

при m>100 будет:
,
в котором - являются стопроцентными точками распределения хи-квадрат и нормального распределения, отсюда:
с вероятностью Ро = 0,95
Решая эту же задачу по методу максимального правдоподобия получаем:

с вероятностью Ро = 0,95
Таким образом, применение априорных данных о неизвестном параметре при байесовском подходе позволяет сужать интервал оценок больше, чем вдвое.


Заключение

В ходе проделанной работы рассмотрено понятие Байесовского подхода и его использование в эконометрических исследованиях. Рассмотрено несколько конкретных примеров применения этого подхода - оценка интенсивности вызовов скорой помощи и оценка закона распределения домашних хозяйств в регионе по величине среднедушевых доходов. В ходе проведения оценок было сделано сравнение результатов байесовского подхода и метода максимального правдоподобия, в ходе которого оказалось, что байесовский подход дает результаты, точнее в 1,5-2 раза, чем метод максимального правдоподобия.
Байесовские способы оценки могут давать ощутимые преимущества в точности расчетов при ограниченном объеме выборки, в сравнении с классическими методами. При росте числа наблюдений в выборке оба подхода будут примерно одинаковыми.
В практическом применении байесовского подхода возникают три проблемы [9]:
1. Выбор общего вида априорного распределения оцениваемого неизвестного параметра ;
2. Выбор численных значений параметров D, которые определяют конкретное состояние априорного распределения и при выбранном общем виде в п.1.
3. Преодоление трудностей реализации формулы:

при вычислении апостериорного распределения .
Таким образом, если удается решить три указанные проблемы, то байесовский подход является идеальным методом точных оценок неизвестных параметров модели в эконометрических исследованиях при небольших объемах выборок.

Список использованной литературы

1. Зельнер А. Байесовские методы в эконометрике. Пер. с англ. М.: Статистика. c.133-198, 1980.
2. Айвазян С.А. Прикладная статистика и основы эконометрики. Том 2: Основы эконометрики. Издание 2-е. Юнити, 2001, c. 38-47.
3. С. А. Айвазян, В. С. Мхитарян. Теория вероятностей и прикладная статистика. Издание 2-е. М.: Юнити, 2001. — 656 с., с. 224-243.
4. Айвазян С.А. Байесовский подход в эконометрическом анализе. Прикладная эконометрика 1, с. 93-130., 2008.
5. Ghosh J.K., Delampady M., Samanta T. An Introduction to Bayesian Analysis. Theory and Methods. — Springer, 2006, p. 15-17.
6. Murphy, K.P. Machine Learning: A Probabilistic Perspective. // MIT Press, 2012, p 113-119.
7. Jackman, S. (2009) Bayesian Analysis for the Social Sciences. John Wiley & Sons, Ltd. p.49-52.
8. Kruschke J.K. (2011) Doing Bayesian data analysis: A Tutorial with R and BUGS . Academic Press / Elsevier. p.112-116.
9. Гобатков С. А., Полупанов Д. В., Фархиева С. А. Обобщение метода вложенных математических моделей на основе байесовского подхода к регуляризации задач нейросетевого моделирования налогового и финансового контроля // Всероссийская научно-техническая конференция "Нейроинформатика-2010": сборник научных трудов: в 2-х ч. М.: НИЯУ МИФИ, 2010. Ч. 2. c. 228-236.
10. Згуровский М.З. Методы построения байесовских сетей на основе оценочных функций / М.З. Згуровский, П.И. Бидюк, А.Н. Терентьев // Кибернетика и системный анализ. – 2009. – № 2. – c. 81 – 88.









7



Зельнер А. Байесовские методы в эконометрике. Пер. с англ. М.: Статистика. c.133-198, 1980.
Айвазян С.А. Прикладная статистика и основы эконометрики. Том 2: Основы эконометрики. Издание 2-е. Юнити, 2001, c. 38-47.
Kruschke J.K. (2011) Doing Bayesian data analysis: A Tutorial with R and BUGS . Academic Press / Elsevier. p.112-116.
Айвазян С.А. Байесовский подход в эконометрическом анализе. Прикладная эконометрика 1, с. 93-130., 2008.
Згуровский М.З. Методы построения байесовских сетей на основе оценочных функций / М.З. Згуровский, П.И. Бидюк, А.Н. Терентьев // Кибернетика и системный анализ. – 2009. – № 2. – c. 81 – 88.
Ghosh J.K., Delampady M., Samanta T. An Introduction to Bayesian Analysis. Theory and Methods. — Springer, 2006, p. 15-17.
Jackman, S. (2009) Bayesian Analysis for the Social Sciences. John Wiley & Sons, Ltd. p.49-52.
С. А. Айвазян, В. С. Мхитарян. Теория вероятностей и прикладная статистика. Издание 2-е. М.: Юнити, 2001. — 656 с., с. 224-243.
Murphy, K.P. Machine Learning: A Probabilistic Perspective. // MIT Press, 2012, p 113-119.
Гобатков С. А., Полупанов Д. В., Фархиева С. А. Обобщение метода вложенных математических моделей на основе байесовского подхода к регуляризации задач нейросетевого моделирования налогового и финансового контроля // Всероссийская научно-техническая конференция "Нейроинформатика-2010": сборник научных трудов: в 2-х ч. М.: НИЯУ МИФИ, 2010. Ч. 2. c. 228-236.