контрольные

Кроме того, аксиома действия и противодействия и аксиома связей используются в динамике при изучении движения несвободных материальной точки и твердого тела.
Система сходящихся сил. Система сил называется сходящейся, если линии действия всех сил системы пересекаются в одной точке.
Рассмотрим приведение системы сходящихся сил и найдем условия равновесия твердого тела под действием этой системы сил.
Приведение системы сходящихся сил. Пусть система сходящихся сил (F1, F2,…Fn) приложена к твердому телу (рис. 8, а).
Согласно следствию второй аксиомы, переносим все силы системы в точку пересечения линий действия А и получаем систему сил, приложенных в одной точке (рис. 8, b). По аксиоме параллелограмма сил, начиная с сил F1 и F2, последовательно складываем силы, добавляя каждый раз к полученной сумме по одной силе системы. Дойдя до последней силы Fn, выясняем, что система сил (рис. 8, b) эквивалентна одной силе или равнодействующей R* (рис. 8, с), равной геометрической сумме сил системы.



Рис. 8 Лист 10 Изм. Лист № докум. Подпись Дата


Таким образом, система сходящихся сил приводится к равнодействующей, которая равна геометрической сумме сил системы и приложена в точке пересечения линий действия сил:
(F1, F2,…Fn) ~ R*; R* = F1 + F2 + … + Fn. (1)
Условия равновесия системы сходящихся сил. Эти условия определяют, когда твердое тело находится в равновесии под действием системы сходящихся сил.
Для равновесия твердого тела под действием системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы геометрическая сумма всех сил системы была равна нулю:
F1 + F2 + … + Fn = 0 (2)
Необходимость условия сразу следует из (1). При выполнении условия (2) получим R* = 0, следовательно (F1, F2,…Fn) ~ 0.
Достаточность условия равновесия докажем методом от противного. Предположим, что условие (2) не выполняется, а твердое тело находится в равновесии. Но если (2) не выполняется, то система сходящихся сил приводится к одной силе, а тело под действием одной силы не может находиться в равновесии. Таким образом, достаточность условия равновесия доказана.
Выражение (2) представляет собой условие равновесия в векторной или геометрической форме. Вспомнив суммирование векторов по правилу векторного многоугольника (рис. 9), формулируем условие равновесия иными словами. На рисунке вектор R* является суммой векторов и не равен нулю. Но если R* = 0, то конец последнего вектора попадет в начало первого вектора, и векторный многоугольник, который в нашем случае можно назвать силовым многоугольником, окажется замкнутым.
Следовательно, для равновесия твердого тела под действием системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы силовой многоугольник системы был замкнутым.



Лист 11 Изм. Лист № докум. Подпись Дата





Рис. 9

Применение условия равновесия в геометрической форме ограничено трудностью построения силового многоугольника в пространстве. Более универсальными являются условия равновесия в аналитической форме. Для получения этих условий выберем систему координат OXYZ, связанную с поверхностью Земли. Проектируя на оси координат векторное равенство (2), имеем
F1x + F2x + … + Fnx = 0; F1y + F2y + … + Fny = 0; F1z + F2z + … + Fnz = 0.
Записав эти выражения в компактной форме, получаем:
(3)
По математической записи формулируем условия равновесия в аналитической форме для системы сходящихся сил.
Для равновесия твердого тела под действием системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций сил системы на оси координат были равны нулю.
В плоской системе сходящихся сил все силы лежат в одной плоскости, например XOY, и третье условие в (3) вырождается в тождество 0=0. Отбрасывая его, имеем условия равновесия для плоской системы сходящихся сил в аналитической форме:
(4)
Лист 12 Изм. Лист № докум. Подпись Дата

Проекция силы на ось – это алгебраическая величина, равная произведению модуля силы на косинус угла между положительным направлением оси и вектором силы (т.е. это отрезок, откладываемый силой на соответствующие оси) рис. 10:
Fx= Fcosα; Px= Pcosβ= P⋅cos90o=0; Rx= Rcosγ = -R⋅cos(180o-γ).


Рис. 10

Проекция силы на ось может быть положительной, рис. 10, а (0 ≤ α < π/2), равной нулю, рис. 10, б (β = π/2) и отрицательной, рис. 10, в (π/2 < γ ≤ π).
Иногда для нахождения проекции силы на ось сначала нужно найти ее проекцию на плоскость, а потом проекцию на ось (рис. 11):
 Pz= P sinα; Px= (P cosα)cosβ; Py= (P cosα)cosγ = P cosα⋅cos(90o-β).



Рис. 11


Лист 13 Изм. Лист № докум. Подпись Дата