Надежности системы

Для невосстанавливаемой системы мы будем рассматривать три возможных состояния элемента:•«работает» - работоспособен и работает - это состояние понадобится для описания работающих элементов и элементов, находящихся в горячем резерве:•«не работает» - работоспособен и не работает - это состояние понадобится при описании элементов, находящихся в холодном резерве и состояния работоспособных элементов, когда отказала вся система целиком;•«отказал» - неработоспособен и поэтому не работает - это состояние описываетотказавшие элементы.Кроме того, бывает необходимо учитывать порядок отказов элементов. Таким образом, множество состояний системы может быть велико.Множество всех возможных состоянии системы обозначим как Е. Это множество разделим на два непересекаюшпхся подмножества работоспособных и неработоспособных состояний системы: Е+и Е-. На графе работоспособные состояния обозначают в виде кружков, а неработоспособные - в виде квадратиков.К смене состояния невосстанавливаемой системы могут привести только отказы элементов. Рядом с дугой графа будем ставить интенсивность отказа того элемента, отказ которого соответствует дуге. Также мы будем учитывать условие, что одновременный отказ двух и более элементов невозможен.В итоге получим граф, изображенный на рис. 3.1. В таблице под графом приводится расшифровка всех состояний графа.Рис.3.1. Граф состоянийСостояниеКодСистемаЭлемент 1Элемент 2Элемент 3Элемент 411111РаботаетРаботаетРаботаетНе работаетРаботает20111РаботаетОтказРаботаетРаботаетРаботает30011ОтказОтказОтказНе работаетНе работает40101ОтказОтказНе работаетОтказНе работает50011ОтказОтказОтказНе работаетНе работает61001ОтказНе работаетОтказОтказНе работает71100ОтказНе работаетне работаетОтказОтказ80001ОтказОтказОтказОтказНе работает90010ОтказОтказОтказНе работаетОтказ100100ОтказОтказНе работаетОтказОтказОбозначим через Х(t) номер состояния, в котором система будет находиться в момент времени т. Функция X(t) является случайным процессом, поскольку нельзя достоверно сказать, в какой момент и какая именно произойдет смена состояния.Единственное, что мы можем рассчитать это вероятности Рi(t), что в момент времени t система будет находиться в i-м состоянии.Функции рi(t) находятся как решение системы дифференциальных уравнении (ДУ),которая составляется на основе графа состояний. В общем виде система ДУ имеет следующий вид:Полученную систему ДУ необходимо дополнить начальными условиями, тогда это будет задача Коши, которую можно решить аналитически или численно. Известно, что изначально система находится в состоянии 1, т.е. X (t = 0) = 1. Поэтому р1(t = 0) = 1, ар2(t = 0) = р3 (t = 0) =p11 (t = 0) = 0.3.2 Решение системы дифференциальных уравнений А.Н. Колмогорова и анализ безотказности невосстанавливаемой системыСистема ДУ может быть решена аналитически или численно. Мы будет рассматривать численное решение в ПК «МВТУ».После того как будут найдены значения функций pi(t) могут быть вычислены показатели безотказности:Ri(t) = ехр(-λit), Fi(t)= 1- ехр(-λit),,,.Рис.3.2 График плотности наработки до отказаРис.3.3. График интенсивности отказовРис. 3.4. График средней наработки до отказаВ результате получаем, что средняя наработка до отказа Т=3,66, что на целых 32% больше, чем значение, полученное логико-вероятностным методом. Причина такого существенного расхождения состоит в том, что в логико-вероятностном методы мы пренебрегли тем, что второй элемент находится в холодном резерве.