Методы исследования операций

Однако статистические модели также имеют свои минусы: громоздкость, плохая обозримость, большой расход машинного времени, а главное, крайняя трудность поиска оптимальных решений. Но, несмотря на это лучшие работы в области исследования операций основаны на совместном применении аналитических и статистических моделей [1,c.64].Методы исследования операций:Линейное программирование применяется в том случае, есликритерий эффективности (целевая функция) представляет линейную функцию, а функции в системе ограничений также линейны. В случае, когда ее решения представлены целыми числами, то эта задача целочисленного линейного программирования. Целочисленноелинейное программированиепрменяется для решения задач, у которых все либо некоторые переменные принимают целочисленные значения.Нелинейное программирование представляет собой методы решения задач, согласно чему критерий эффективности и система ограничений задаются нелинейными функциями. Выпуклое программирование применяется в том случае, если указанные функции обладают свойствами выпуклости.Задачи,решаемые с помощьюсетевого моделирования (теория графов), могут быть сформулированы и решены методами линейного программирования, однако специальные сетевые алгоритмы способствуют решать их более эффективно. Пример: задачи нахождения короткого пути, критического пути, максимального потока, уменьшение стоимости потока в сети с ограниченной пропускной способностью и другие.Целевое программированиепредставляет собой методы решения задач линейного программирования с несколькими целевыми функциями, каждый из которых может конфликтовать друг с другом.Динамическое программированиеподразумевает разбиение задачи на некоторое количество этапов, каждый из которых представляет собой подзадачу относительно одной переменной и решается раздельно от других подзадач.Геометрическое программирование применяется,когда аспект эффективности и система ограничений задаются функциями представляющих собой сумму произведений степенных функций от независимых переменных.Параметрическоепрограммировании представляет собой сумму произведений степенных функций от независящих переменных, которые носят случайный характер, - задачу стохастического программирования.Эвристическое программирование применяется в случае невозможности отыскать точный оптимум алгоритмическим способом по причине большого числа вариантов решения. Этот способ позволяет значительно уменьшитьпросматриваемоеколичество вариантов и найти наилучшее решение с точки зрения практики.Теория вероятностейупотребляется почти во всех задачах исследования операций, к примеру, для прогнозирования(регрессионный и корреляционный анализ), вероятностного управления запасами, моделирования систем массового обслуживания, имитационного моделирования и другие.Методы моделирования и прогнозирования временных рядовпозволяет обнаружить тенденции изменения фактических значений параметра Yво времении прогнозировать будущие значения Х.Теория игр и принятия решенийрассматривает процессы выбора лучшей из нескольких альтернатив в ситуациях определенности, в условиях риска (данные можно описать с применением вероятностных распределений), в условиях неопределенности (вероятностное распределение либо неизвестно, либо не может быть определено).Методы теории нечетких множествдают возможность представить задачу в математической форме и применить для принятия решений субъективную словесную экспертную информацию: предпочтения, критерий, оценки значений как количественных так и качественных показателей.На практике в большинстве случаев успех исследования операции оценивается не по одному конкретному методу, а сразу по нескольким. Методы исследования операций, как и математические методы, постоянно в той либо иной мере упрощают, отражая иногда нелинейные процессы линейными моделями, стохастические системы - детерминированными, динамические процессы - статическими моделями и т.д. Потому не следует ни преувеличивать значение количественных методов исследования операций, ни преуменьшать его, ссылаясь на примеры неудачных решений.Наиболее распространенным и разработанным из перечисленных методов исследования операций является линейное программирование.Рассмотримна примере задачи линейного программированияПример 1. Задача составления рациона[4,c.127].Исходные данные: Поголовье 20000 цыплят. Средний расход корма на единицу на период планирования – 0,5 кгТаблица2Требования по питательностиКормСодержание питательных веществ кг кормаЦена руб/кгкальцийбелокклетчаткаИзвестняк0,380--4Зерно0,0010,090,0215Соевые бобы0,0020,500,0840Требования к кормовой смеси по питательности - смесь должна содержать:1) не менее 0.8%, но не более 1.2% кальция;2) не менее 22% белка;3) не более 5% клетчатки.Цель: птицеводческой ферме необходимо составить рацион минимальной стоимости при соблюдении требований по питательности.Процесс построения математической модели можно представить как ответы на следующие три вопроса:Для определения каких величин должна быть построена модель? 2. В чем состоит цель, для достижения которой из всех допустимых значений переменных нужно выбрать те, которые будут соответствовать оптимальному (наилучшему) решению задачи?3. Какие ограничения должны быть наложены на переменные, чтобы выполнить условия, отраженные в содержательной постановке задачи?Неизвестными являются, содержание в смеси кормов. Отсюда переменные задачи:- содержание известняка в смеси;- содержание зерна в смеси;- содержание соевых бобов в смеси.Критерием эффективности при сравнении различных вариантов рациона служит стоимость смеси. Следовательно, целевая функция задачи будет иметь вид: Содержательный смысл ограничений.1). Ограничение на минимальный недельный рацион для всего поголовья2). Смесь должна содержать не менее 0.8% кальция3).Смесь должна содержать не более 1.2% кальция4). Смесь должна содержать не менее 22% белка5). Смесь должна содержать не более 5% клетчаткиПосле преобразования система ограничений будет иметь вид:Пример 2.Задача использования ресурсов[4,c.140].Для отделочных работ поступает мраморная крошка 3-х видов и цветной цемент в количестве 50 т., 30 т., 40 т., 30 т.. Эти материалы используются для приготовления 2-х видов облицовочных растворов. Растворы получают при смешивании компонентов в пропорциях 2:3:2:1:2 и 2:1:2:1:4. Последний член пропорции приходится на прочие материалы, которые поступают без ограничения.Определить оптимальный план приготовления облицовочных растворов, при котором достигается минимум стоимости неиспользованных материалов, если стоимость 1т материалов соответственно равна 500, 800, 300, 100 рублям.Предварительный расчет параметровГде, с1,с2 - стоимость материалов, идущих на приготовление 1т растворов;с0 - общая стоимость материалов. План приготовления растворов включает две переменные: х1 - количество раствора 1-го вида;х2 - количество раствора 2-го вида.Целевая функция задачи:Система ограничений включает один тип ограничений - ограничения по ресурсам, то есть расход всех имеющихся ресурсов не должен превышать их количество.Пример 3. Решение задачи линейного программирования графическим способом.Первый этап. Переходим к стандартной форме записи модели. Когда число переменных в системе ограничений равно 2, то такая задача линейного программирования может быть решена графически.Второй этап.Происходит графическое построение области допустимых решений системы ограничений задачи.Рассмотрим одно из неравенств системы ограничений:Приравняем нулю левую часть неравенства. Получим уравнение прямой которая может быть построена на плоскости X1OX2 Рис. 2Область решения неравенстваСогласно рис. 2 прямая делит плоскость на две полуплоскости.Можно доказать, что областью решения неравенства является одна из двух полуплоскостей. Третий этап.Создается геометрическая интерпретация целевой функции и находится оптимальное решение задачиметодом линейного программирования.Рассмотрим целевую функцию:Разным значениям целевой функции соответствует семейство параллельных прямых. При переходе прямой F1=0 по направлениюк векторуN1(c1, c2) целевая функция будет увеличиваться, а в направленииN2(-c1, -c2) уменьшаться.Рис.3Положение прямой, ассоциированной с целевой функцией при различных значениях СРассмотрим примеры графической интерпретации целевой функции max а) F=-2x1+3x2-6б) F=-2x1+2x2-8в) F=3x1-2x2+6Решение достигается в одной из вершинобласти допустимых решений. При этом координаты этой вершины определяют значение переменных в точке оптимума.рис. 4Графическое решение задачи линейного программированияИз рис. 1 видно, что оптимальное решение х1=50,х2 = 150.Подставляя полученные значения переменных в выражение целевой функции, определяем оптимальное значение целевой функции F=600. Таким образом, применение методов исследования операций позволяет снизить издержки и увеличитьпроизводительность.Методы исследования операций широко применяют в армии и правительстве многих развитых и развивающихстранв качестве оценкивооружений,военной техникиивоинских формирований, развития новейших видов вооружений, решения комплексных задач обеспечения армий, продвижения армий, развития стратегий войн, развития межгосударственных торговых механизмов, а также с целью прогнозирования развития. Список литературыАлексинская Т.В. Основы логистики. Общие вопросы управления логистики:учебное пособие/ Т.В. Алексинская. Таганрог - Изд-во ТРУ, 2010.- 241 c.Бодров В.И., Лазарева Т.Я., Мартемьянов Ю.Ф. Методы исследования операций при принятии решений, учебное пособие/ В.И. Бодров. Тамбов - Изд-во М.: Москва, 2004 – 171 с.Вентцель Е.С. Исследование операций. Задачи, принципы, методология, учебное пособие/ Е.С. Вентцель –М., Изд-во Знание, 1976.- 351 с.Кремер Н.Ш. Исследование операций в экономике: учеб. пособие для вузов/ Н.Ш.Кремер, Б.А. Путко и др. – М.: Банки и Биржи, ЮНИТИ, 2012 – 407 с. Лутманов С.В. Курс лекций по методам оптимизации: учебное пособие/ С.В. Лутманов – М.: Москва, 2001-201 с.Смородинский, С.С. Оптимизация решений на основе методов и моделей математического программирования: Учебное пособие по курсу «Системный анализ и исследование операций»/ С.С. Смородинский, Н.В. Батин - Мн.: БГУИР, 2003.-136с.Таха, А. Х. Введение в исследование операций, 5-е издание.: Переведен с англ. / /Таха, А. Хемди – М.: Издательский дом “Вильямс”, 2012.-912 с.Шикин, Е.В. Исследование операций: учебное пособие / Е.В. Шикин, Г.Е. Шикина – М.: ТК Велби, Издательство Проспект, 2007. - 280с.