ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ

Альтернативная гипотеза будет заключаться в том, что основнаягипотеза H0отвергается.Для нормального закона распределения вероятность p(iX i) попадания значений Xна интервал (ii) вычисляется по формулеp(iX i) = Ф, (1)гдеФ(x)=– функция Лапласа, a = M(x)– математическое ожидание случайной величины;σ = σ(x) – ее среднее квадратическое отклонение; (ii) – рассматриваемые интервалы. Имеются таблицы значений функцииФ(x) для значенийx: 0≤.x≤ 5. Для значенийx>5 полагают Ф(x) = 0,5. Для отрицательных значений используют свойство нечетности функции Лапласа: Ф(-x) = - Ф(x).Для выборки B приa ≈ = 8,92, σ≈S = 6,24 формула (1) примет вид:p(iX i) = Ф. (2)Вычисления теоретических вероятностей удобно разместить в виде расчетной таблице (табл. 5), понимая в ней под xiконцы рассматриваемых промежутков. Таблица 5. ixi1-0,52-6-2,390- 0,49130,0087}0,05373-1,16-1,614- 0,44630,04543,69-0,838- 0,29950,146858,53-0,062- 0,02390,2756613,370,7140,26110,285718,221,4900,43190,1708823,062,2660,48810,0562}0,0681927,93,0420,498650,01055100,50,00135Σ---1С целью уменьшения объёма вычислений в таблице 5 в начале и конце её объединяются интервалы, которым соответствуют малые (<0,1) вероятности. В соответствии с этими преобразованиями объединяются интервалы (табл. 6) и суммируются относительные частоты из таблицы 2. Таблица 6.i12345I(- ; −1,16)[−1,16;3,69)[3,69;8,53)[8,53;13,37)[13,37;(+ )wi0,060,130,280,310,22pi0,050,150,280,290,23Сравнение значений относительных частотwi и теоретических вероятностей pi, показывает, что они незначительно отличаются: pi≈wi.Для проверки гипотезы о нормальном распределенииH0 генеральной совокупности (о согласовании статистического и теоретического распределений) вычисляют статистику: χ2набл = .Для удобства составляется таблица (табл. 7).Таблица 7.piwipi - wi(pi - wi)2(pi - wi)2/pi0,050,06-0,011E-040,0020,150,130,020,00040,00270,280,280000,290,31-0,020,00040,00140,230,220,010,00010,00041---0,0065Находимχ2набл = 100∙0,0065= 0,65.Нормальный закон распределения зависит от двух параметровa и σ, поэтомуr =2. Для выборки B число интервалов l= 5. Число степеней свободыраспределения Пирсонаk = l – r – 1 = 5–2–1 = 2.Из таблицы (прил. 3) распределения Пирсона при и уровне значимости α = 0,05 находим χ2кр = 5,99.В результате сравнения значений χ2набл = 0,65и χ2кр = 5,99, видно, что . χ2набл< χ2кр. Это дает основания принять гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности или сделать вывод о том, что при уровне значимости α = 0,05теоретические исследования не противоречат опытным данным. Уровень значимости α = 0,05означает, что лишь в пяти случаях из 100 имеется риск отвергнуть правильную гипотезу.Для случайной величины, распределенной по нормальному закону, доверительный интервал, покрывающий неизвестное математическое ожидание a сдоверительной вероятностью γ , имеет вид:,где – выборочная средняя, S – исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение, n – объем выборки, tλ – величина, определяемая из таблицы (прил. 4) по доверительной вероятности γ и объему выборки n. ДлявыборкиB имеем: = 8,92,S =6,24, n = 100, γ = 0,95(т.к.α=0,05, α= 1–γ), tλ = 1,984.Тогда = ≈ 1,24, следовательно, доверительный интервал (8,92–1,24; 8,92+1,24) или (7,68; 10,16).Таким образом, с надёжностью (доверительной вероятностью) можно утверждать, что истинное значение измеряемой величины заключено в доверительном интервале7,68a 10,16.ЗАДАНИЕ 347. а) Что собой представляют графическое изображение вариационных рядов?б) Что называют графиком плотности нормального распределения?в) Какие возникают задачи при выявлении характера распределения генеральной совокупности?Ответы:а) При графическом изображении вариационного ряда в статистике используется полигон распределения, гистограмма и кумулята.б) График плотности распределения вероятности нормального закона называется нормальной кривой или кривой Гаусса.в) При выявлении характера распределения генеральной совокупности возникают следующие задачи:- оценка параметров распределения генеральной совокупности на основе выборочных данных (вычисление математического ожидания, среднего квадратического отклонения),- нахождения функции распределения, - построение графического изображения распределения,- выдвижение гипотезы о законе распределения,- проверка этой гипотезы с использованием статистических критериев.ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА:Баврин И.И. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник/И.И. Баврин. − М.: Высш. шк., 2005. − 160 с. Боровков А.А. Математическая статистика. − Новосибирск: Наука; Издательство ин-ститута математики, 1997. − 772 с. Боровков А.А. Математическая статистика. − Учебник. − М.: Наука. Главная редакция физико-математическрй литературы, 1984. − 472 с. Бочаров П.П., Печинкин А.В. Теория вероятностей. Математическая статистика. − 2-е изд. − М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. − 296 с. Вуколов Э.А. Основы статистического анализа. Практикум по статистическим методам и исследованию операций с использованием пакетов STATISTICA и EXCEL.: учебное пособие. − 2-е изд., испр. и доп. − М.: ФОРУМ, 2008. − 464 с. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учеб.пособие для студентов вузов/В.Е. Гмурман. − 9-е изд., стер. − М.: Высш. шк., 2004. − 404 с. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб.пособие для вузов/В.Е. Гмурман. − 9-е изд., стер. − М.: Высш. шк., 2003. − 479 с.