Методика обучения решению текстовых задач на смеси и сплавы.

, доработанное. М.: Просвещение, 1989Кузнецова Л.В. Сборник заданий для подготовки к государственной итоговой аттестации в 9 классе - М.: Просвещение, 2010.Хеннер Е.К., Шестаков А.П. Математическое моделирование. Пособие для учителя. – Пермь, 1995. – 158 с.Лебедев В. Анализ и решение текстовых задач // Математика в школе. – 2002. - №11. - С. 8.Левитас Г.Г. Об алгебраическом решении текстовых задач // Математика в школе. – 2000. - №8. - С. 13.Приложение 1. КИМ по теме «Задачи на смеси и сплавы»Контрольная работаЧасть 11.Смешали 22 кг 15%-го раствора кислоты и 18 кг 25%-го растворатой же кислоты. Определить концентрацию нового раствора.2.Кусок сплава меди с оловом массой 12 кг содержит 55% меди. Сколько чистого олова надо добавить к этому куску, чтобы новый сплав содержал 30% меди?3.Морская вода содержит 5% соли по массе. Сколько пресной воды надо добавить к 300 кг морской воды, чтобы концентрация соли снизилась до 2%?4.К раствору, содержащему 18 г соли, добавили еще 600 г воды, после чего концентрация раствора уменьшилась на 4%. Найти первоначальную концентрацию соли в растворе.5.Имеются два сплава меди с другим металлом, причем относительное содержание меди в одном из этих сплавов на 40% меньше, чем во втором. После того как сплавили кусок первого сплава, содержащий 6 кг меди, с куском второго сплава, содержащим 12 кг меди, получили слиток, содержащий 36% меди. Определить процентное содержание медив первом сплаве.6.Чашка до краев наполнена черным кофе в количестве 100 мл, а в кувшин налито 300 мл молока. Какое количество кофе надо перелить из чашки в кувшин и, перемешав, снова наполнить ее до краев полученной смесью, чтобы молока и кофе в чашке оказалось поровну?7.Имеются два слитка сплавов золота c медью. В первом слитке отношение золота к меди равно 1:2, а во втором — 2:3. Если сплавить первого слитка с  второго, то в полученном слитке окажется столькозолота, сколько было меди в первом слитке, а если сплавить первогослитка с второго, то в полученном слитке окажется меди на 1 кг больше, чем было золота во втором слитке. Сколько золота было в каждомслитке?8.Если к сплаву меди с цинком добавить 20 г меди, то ее содержание в сплаве увеличится на 10%, Если же к первоначальному сплаву добавить 100 г цинка, то содержание меди уменьшится на 20%. Найтипервоначальную массу сплава.9. Имеется три сплава, в состав которых входят металлы , и . Первый сплав содержит 20% металла , 30% металла , 50% металла . Второй сплав содержит 50% металла , 20% металла , 30% металла . Третий сплав содержит 30% металла , 40% металла , 30% металла . Сколько килограммов каждого сплава нужно взять, чтобы получить 10 кг нового сплава, который содержал бы 25% металла , а процентное содержание металла было бы минимально возможным?10.В 100 г черной смородины содержится 250 мг витамина C. Какая концентрация витамина C в черной смородине?11. Суточная потребность подростка в витамине C составляет 60 мг. Концентрация витамина C в вишне — 0,00015, в банане — 0,0001. Маша съела 300 г бананов. Сколько ей надо съесть грамм вишни, чтобы получить суточную дозу витамина C?12.Смертельная доза уксусной кислоты составляет 12 г. Какова смертельная доза 6% уксуса?13.По рецепту для закатки огурцов требуется взять 100 г 9%-го уксуса. У хозяйки имеется 70%-ная уксусная эссенция.Сколько грамм уксусной эссенции надо использовать для закатки огурцов? Ответ округлите до целых.14.По рецепту требуется 5 мл 70%-ой уксусной эссенции на 1 л воды, а в наличии у вас лишь 3%-ый уксус. Сколько надо взять уксуса и воды? Ответ округлите до целых.Часть 215.Имеются два слитка сплавов золота с серебром. Процентное содержание золота в первом слитке в 2,5 раза больше, чем во втором. Если сплавить оба слитка вместе, то получится слиток, в котором содержится 40% золота.Во сколько раз первый слиток тяжелее второго, если известно, что при сплавке равных по массе частей первого и второго слитков получается слиток, в котором содержится 35% золота?16. Из сосуда, наполненного медом, отлили 2 кг, а к оставшемуся меду долили 2 кг воды. После перемешивания отлили 2 кг смеси и долили 2 кг воды. Наконец, перемешав еще раз, снова отлили 2 кг смеси и долили 2 кг воды. После этих операций воды в сосуде стало на 3 кг больше, чем меда. Определить массу меда, находившегося в сосуде с самого начала.17. Даны три сплава. Состав первого сплава: 55% хрома и 45% никеля. Состав второго сплава: 60% никеля, 25% хрома и 15% кобальта. Состав третьего сплава: 70% хрома и 30% кобальта. Из них нужно приготовить новый сплав, содержащий 20% кобальта. Какие значения может принимать процентное содержание никеля в этом новом сплаве?Решение задач1. В 22 кг 15%-го раствора содержится 15%(22 кг) = 3,3 кг чистой кислоты.В 18 кг 25%-го раствора содержится 25%(18 кг) = 4,5 кг кислоты.Новый раствор содержит 3,3 кг + 4,5 кг =7,8 кг кислоты.Масса нового раствора равна 22 кг + 18 кг = 40 кг.Концентрация нового раствора составляет .Ответ: 19,5.2.Данный сплав содержит кг меди. Так как в новом сплаве эти 6,6 кг меди составляют по массе 30%, то масса нового сплава равна кг олова. Значит, нужно добавить (кг) олова.Ответ: 10 кг.3. В 300 кг морской воды содержится кг соли.Предположим, что к этим 300 кг морской воды добавили кг пресной воды и получили новый раствор массой кг, содержащий 15 кг соли.Доля соли в новом растворе равна , и эта величина должна быть равна 0,02. Получаем уравнение , откуда .Ответ: 450 кг.4.Пусть (г) — масса первоначального раствора. Тогда (г) — масса нового раствора.Доля соли в первоначальном растворе равна , а в новом она равна .Так как доля соли в первоначальном растворе на 0,04 большедоли соли в новом растворе, то получаем уравнениеоткуда находим (г).Значит, первоначальная концентрация соли в растворе составляла.Ответ: 6%.5. Пусть % — процентное содержание меди в первом сплаве; тогда %— процентное содержание меди во втором сплаве.Найдем массу полученного слитка: (кг).Она складывается из массы куска первого сплава, равной (кг), и массы куска второго сплава, равной (кг).Составим уравнение, откуда , (не подходит по смыслу задачи).Ответ: 20%.6.Пусть — искомый объем кофе (в мл). Отлить это количество из чашки можно, если .После того, как из чашки перелили в кувшин мл кофе, в чашке осталось мл кофе, а в кувшине оказалось мл смеси кофе и молока. Абсолютное содержание молока в кувшине равно300 мл, а его концентрация равна .Количество смеси, которое перелили из кувшина в чашку, очевидно, равно мл (чашка должна быть снова наполнена до краев). Относительное содержание молока в переливаемой части смеси такое же, как и в кувшине, то есть . Поэтому абсолютное содержание молока в этой части смеси равно .После того, как чашка опять наполнится, абсолютное содержание молока в ней будет. Поусловию задачи эта величина равна 50 мл. Решая уравнениемы получим . Это значение удовлетворяет ограничению , отмеченному в начале решения.Ответ: 60 мл.7.Пусть в первом слитке было (кг) золота, тогда в нем содержалось (кг) меди.Пусть во втором слитке было (кг) золота, тогда в нем содержалось (кг) меди.После того как сплавили первого и второго слитков, полученный слиток будет содержать (кг) золота — столько же,сколько было меди в первом слитке, т.е. (кг).Получаем первое уравнение.Аналогично составляем второе уравнение Решив систему уравнений, находим , .Ответ: 1,2 кг; 2,4 кг.8. Пусть (г) — первоначальная масса меди в сплаве, а (г) — первоначальная масса всего сплава. Тогда из условия задачи следует системаРешив эту систему, находим .Ответ: 100 г.9. Понятно, что для получения нового сплава с 25% содержанием металла в основном надо использовать первый сплав (только в этом сплаве процентное содержание металла меньше 25), добавляя к нему некоторое количество второго или третьего сплава. Однако добавление третьего сплава увеличивает концентрацию металла , а добавление второго сплава ее уменьшает. Следовательно, надо добавлять к первому сплаву только второй.В терминах приведенного выше решения это означаетЕдинственное решение этой системы , , .10.Ответ: 0,0025.11.Съев 300 г бананов Маша получила 30мг витамина C. Значит, ей надо получить еще 30 мг витамина C. Для этого ей надо съесть 200 г вишни.Ответ: 200 г.12.Пусть (г) — смертельная доза. Поусловию задачи получаем уравнение: , откуда г.Ответ: 200 г.13.В 100 г 9%-ного уксуса содержится 9 г уксусной кислоты. Пусть г — необходимый объем уксусной эссенции. Из условия задачи получаем уравнение , откуда г.Ответ: 13 г.14.По рецепту требуется 5 мл 70%-ой уксусной эссенции на 1 л воды, а в наличии у вас лишь 3%-ый уксус. Сколько надо взять уксуса и воды?В 5 мл 70% уксусной эссенции содержится 3,5 мл уксусной кислоты. Для получения этого объема уксусной кислоты необходимо взять мл 3%-ного уксуса, и соответственно г воды.Ответ: 117 и 888 г.15.Пусть в 1 г второго слитка содержится г золота; тогда в 1 г первого слитка содержится 2,5 г золота.Если сплавить по 1 г из каждого слитка, то получится слиток массой в 2 г, содержащий 3,5 г золота.По условию 3,5 г составляют 35% от 2 г, поэтому ,откуда .Итак, в 1 г второго слитка содержится 0,2 г золота, а в 1 г первого слитка содержится 0,5 г золота.Пусть (г) — масса первого слитка, а (г) — масса второгослитка. Тогда в первом слитке имеется 0,5 г золота, в во втором —0,2 г золота.Сплавив оба слитка вместе, получим слиток массой г, в котором содержится г золота.По условию г составляют 40% от г; значитИз этого равенства находим, что . Это означает, что первый слиток в 2 раза тяжелее второго.Ответ: в 2 раза.16. Предположим, что начальная масса меда равна кг.После первой операции получили смесь, содержащую кг меда.Полная масса смеси остается прежней, т.е. кг, а доля меда в ней равна После второй операции получили новую смесь массой кг; масса меда в ней кг,а его доля равна .После третьей операции получили новую смесь прежней массойв кг, содержащуюкг меда.Вода в этой смеси занимает оставшуюся часть массы, т.е. кг,и по условию эта величина на 3 кг больше, чем масса меда.Таким образом, приходим к уравнениюВыполнив равносильные преобразования уравнения, получимУсловию задачи удовлетворяет только корень .Ответ: 4 кг.17. Предположим, что для приготовления нового сплава взяли кг первого сплава, кг второго и кг третьего. Тогда новый сплав будет иметь массу кг и будет содержать кг хрома, кг никеля, кг кобальта.Относительное содержание кобальта в новом сплаве равно , а относительное содержание никеля — , область значений этой функции мы должны найти.Условие позволяет исключить одну из переменных, например, : . Теперь функция станет зависеть только от двух переменных: . Мы должны найти область ее значений при изменении независимых переменных и в области , (нетрудно понять, что эти переменные не могут быть одновременно равны нулю, так как тогда относительное содержание кобальта в новом сплаве будет 0,3).Если , то можно рассматривать как дробно-линейную функцию одной переменной (считая параметром). Записывая в виделегко видеть, что при росте от 0 до величина убывает от 0,4 до 0,15.Значение достигается при . Значение достигается при .Ответ: процентное содержание никеля в новом сплаве меняется от 15 (новый сплав составлен только из первого и третьего сплавов) до 40% (новый сплав составлен только из второго и третьего сплавов).Структура КИМПервая часть экзамена включает в себя 9 задач стандартных задач и 7 заданий по реальной математике. Каждое из этих заданий хоть и решается по-разному, но оценивается в 1 балл и считается заданием базового уровня сложности.Вторая часть состоит из трёх заданий более высокой сложности, каждое из которых оценивается в два балла.Первые две задачи решаются арифметически. Задачи 3–5 сводятся к решению линейного уравнения.Задача 6 сводится к решению квадратного уравнения.Задачи 7–9 сводятся к решению систем уравнений.Задачу 9 можно также свести к нахождению наименьшего значения линейной функции на отрезке.Задачи 10–14 решаются арифметически, либо с использованием линейных уравнений.Задача 15 сводится к уравнению с двумя неизвестными.Задача 16 сводится к кубическому уравнению.Задача 17 сводится к исследованию функции на экстремум.Критерии оцениванияКритерии оценивания и баллы за каждое задание приведены в таблице 1.Таблица 1. № заданияБаллКритерий1–141Получен правильный ответ0Другой ответ152Приведено полное решение и получен верный ответ.1Найдено процентное содержание золота в каждом из слитков, но ответ не получен.0Другие случаи, не соответствующие указанным критериям162Приведено полное решение и получен верный ответ.1Составлено уравнение по задаче, но не решено.0Другие случаи, не соответствующие указанным критериям172Приведено полное решение и получен верный ответ.1Найдено выражение для содержания никеля и исключена одна из переменных.0Другие случаи, не соответствующие указанным критериямШкала перевода баллов в пятибалльную оценку отражена в таблице 2.Таблица 2.ОценкаБаллы517–20413-1637-12, при этом за блок реальной математики должно быть набрано не менее 3 баллов20–6, либо за блок реальной математики набрано не более 2 баллов.Приложение 2. Задачи для самостоятельного решения1. Сколько воды нужно выпарить из 50 кг целлюлозной массы, содержащей 85% воды, чтобы получить массу с 75%-м содержанием воды?2. Кусок сплава меди с цинком массой 36 кг содержит 45% меди.Сколько меди нужно добавить к этому куску, чтобы новый сплав содержал 60% меди?3. В сосуде было 10 л соляной кислоты. Часть кислоты отлили идополнили сосуд таким же количеством воды. Затем снова отлили такое же количество смеси и дополнили сосуд таким же количеством воды. Сколько литров отливали каждый раз, если в результате в сосудеоказался 64%-й раствор соляной кислоты?4. Два раствора, из которых первый содержал 800 г серной кислоты, а второй — 600 г серной кислоты, соединили вместе и получили10 кг нового раствора. Определить массу каждого из растворов, если известно, что число процентов содержания кислоты в первом растворе на 10 больше, чем во втором.5. Руда содержит 40% примесей, а выплавленный из нее металл — 4% примесей. Какое количество металла можно получить из 24 т руды? Известно, что при выплавке металл не теряется, а только уменьшается часть примесей.6. Одно ведро содержит смесь спирта с водой в отношении 2:3, а другое — в отношении 3:7. Сколько килограммов нужно взять из каждого ведра, чтобы получить 12 кг смеси, в которой спирт и вода были бы в отношении 3:5?7. Из 38 т сырья второго сорта, содержащего 25% примесей, после переработки получается 30 т сырья первого сорта. Сколько процентов примесей содержится в сырье первого сорта?8. Пчелы, перерабатывая цветочный нектар в мед, освобождают его от значительной части воды. Сколько килограммов нектара приходится перерабатывать пчелам для получения 1 кг меда, если известно, что нектар содержит 70% воды, а полученный из него мед — 17% воды?9. Сплавили два сорта чугуна с различным процентным содержанием хрома. Если одного сорта взять в 5 раз больше другого, то процентное содержание хрома в сплаве вдвое превысит процентное содержание хрома в меньшей из сплавляемых частей. Если же взять одинаковое количество обоих сортов, то сплав будет содержать 8% хрома. Найти процентное содержание хрома в каждом сорте чугуна.10. Масса двух кусков латуни составляет 60 кг. Первый кусок содержит 10 кг чистой меди, второй — 8 кг. Сколько процентов меди содержит первый кусок, если второй содержит меди на 15% больше первого?11. В каждой из двух бутылей растворили по 2 кг кислоты, причем концентрация раствора в первой бутыли на 10% больше, чем во второй, а масса раствора в первой бутыли на 10 кг меньше, чем во второй. Найти концентрацию раствора в каждой из бутылей.12. Из 40 т руды выплавили 20 т металла, содержащего 6% примесей. Каков процент примесей в руде?13. От двух кусков сплавов массой в 12 и 8 кг с различным процентным содержанием меди отрезали поровну. Каждый из отрезанных кусков сплавили с остатком другого, после чего процентное содержание меди в новых сплавах стало одинаковым. Какова масса каждого из отрезанных кусков?14. Первый сплав содержит 30% цинка и 70% меди, а второй 40% цинка и 60% меди. Сколько граммов первого сплава нужно прибавить к 120 г второго сплава, чтобы получить сплав, содержащий 32% цинка?15. В одном сосуде имеется 15%-я йодная настойка, а в другом — 20%-я. Сколько граммов настойки нужно взять из каждого сосуда, чтобы получить 300 г 18%-й настойки?16. Имеется сплав серебра с медью. Найти массу и пробу данного сплава, если после переплавки его с 3 кг чистого серебра получается сплав 900-й пробы, а после переплавки его с 2 кг сплава 900-й пробы получается сплав 840-й пробы.17. В расплаве массой 500 кг содержатся медь и олово. Из этой смеси отлили часть, по массе превышающую на 100 кг массу меди в расплаве, и добавили количество олова, равное по массе отлитой части расплава. После этого отлили столько же получившейся смеси. В результате последней операции количество меди в расплаве уменьшилось в 6,25 раза по сравнению с ее содержанием в исходном расплаве. Определить процентное содержание олова в исходном расплаве.18. Из сосуда, до краев наполненного чистым глицерином, отлили 2 л, а к оставшемуся глицерину долили 2 л воды. После перемешивания отлили 2 л смеси и долили 2 л воды. В результате этих операций объем воды в сосуде стал на 3 л больше объема оставшегося в нем глицерина. Сколько глицерина и сколько воды оказалось в сосуде в результате проведенных операций?19. Имеются 6 л раствора A и 4 л раствора B с разными концентрациями соли. Сначала от обоих растворов отливают по одинаковому количеству жидкости, а затем часть, отлитую от раствора A, вливают в раствор B, а часть, отлитую от раствора B, вливают в раствор A. В результате концентрации соли во вновь полученных растворах оказываются одинаковыми. Определить количество жидкости, отлитое от каждого раствора.20. Имеется раствор, содержащий 20% примесей. Найти наименьшее число фильтров, через которые нужно пропустить раствор так, чтобы окончательное содержание примесей не превышало 0,01%. Известно, что каждый фильтр поглощает 80% примесей.Ответы:1.20 кг. 2.13,5 кг. 3.2 л. 4.4 кг; 6 кг. 5.15 т. 6.9 кг; 3 кг. 7.5%.8. кг. 9. 5%; 11%. 10.25%. 11.5%; 4%. 12.53%. 13.4,8 кг. 14.480 г.15.120 г; 180 г. 16. 3 кг; 800-я проба. 17.60%. 18.0,5 л глицерина; 3,5 лводы. 19.2,4 л. 20. 5 фильтров.