Трансцендентные уравнения с параметром

Такая замена на количестве общих точек не сказывается. Поэтому рассмотрим функции и . Графиком первой функции является парабола, второй - прямая параллельной оси х или с ней совпадает. Вершина параболы - точка (1; 1). Из рис.1 видно, что при 2a + 1 <1, то есть при а <0 графики не имеют точек пересечения; при а = 0, единственная точка пересечения; при а> 0, две точки пересечения.Описанный метод очень нагляден. Кроме того, в нем находят применение почти все основные понятия курса алгебры и начал анализа. Задействуется весь набор знаний, связанных с исследованием функции: применение производной к определению точек экстремума, нахождение предела функции, асимптот и т. д. Применяется также использование параметра как равноправной переменнойЭтот метод применяется при решении некоторых задач с параметрами, когда непосредственный поиск переменной затруднен. В этом случае параметр объявляется переменной и решение проводится относительно параметра. В частности, этот метод эффективен в тех случаях, когда степень переменной относительно высока, а наибольшая степень параметра равна двум. Также этот метод применим для решения определенного типа задач, где в качестве переменной объявляется часть аналитического выражения, участвующего в задаче, в котором могут присутствовать или отсутствовать и параметр и основная переменная, и решение проводится относительно новой переменной.4.Примеры решения трансцендентных уравнений с параметром  4.1 Показательные уравнения с параметрамиУравнение, содержащее переменную в показателе степени, называется показательным.Большинство показательных уравнений с параметрами сводятся к показательным уравнениям вида(5)где .Область допустимых значений такого уравнения находится как пересечение областей допустимых значений функций и .Для решения уравнения (5) следует рассмотреть следующие случаи:a=b=1 решением уравнения (5) является его ОДЗрешением уравнения (5) в ОДЗ служит решение уравнения ;решением уравнения (5) в ОДЗ служит решение уравнения ;(5) в ОДЗ равносильно уравнению ;уравнение (5) в ОДЗ тождественно уравнениюНеобходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Необходимо решить логарифмическое уравнение. Вычисление логарифма от левой и правой части уравнения (5) называют логарифмированием. Такое преобразование может привести к потере корней.Следует отметить, что, исходя из определения показательной функции, случай, когда основание a отрицательно, рассматривать не следует.Пример1.[17] Решить уравнение.Решение.Выполним замену.При a=3 уравнение решений не имеет.Если , тоПроверяя условия и , получим неравенствТак как была произведена замена, то.Ответ:при;при решений нет.Пример 2.[23] Найдите все значения параметра a, при которых уравнение имеет ровно один корень.Решение.Рассмотрим функцию . По теореме 1 она является возрастающей на множестве всех действительных чисел.Тогда исходное уравнение можно записать в видеВсе это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. .По теореме 3 оно равносильно уравнению.Т. к. по условию задачи нужно найти те значения параметра, при которых уравнение имеет ровно один корень, а это возможно, когда дискриминант полученного равносильными преобразованиями квадратного уравнения равен нулю, то .Ответ:приуравнение имеет ровно один корень [12, № 9].4.2 Логарифмические уравнения с параметрамиУравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании, называется логарифмическим уравнением. Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида , где .При решении логарифмических уравнений удобно использовать следующие утверждения:Утверждение 1. Если , уравнение при любом действительном b имеет единственное решение .Утверждение 2. Уравнение равносильно системе Утверждение 3. Уравнение равносильно системеПример 3.[21] Для каждого значения параметра a решить уравнениеРешение.ОДЗ: ..Последнее равенство возможно только при равенстве степеней, т.е..Это уравнение на ОДЗ сводится к уравнению.Если , то .Если , то уравнение решений не имеет.Исключим также значения параметра, при которых, т. е. .Ответ: при;при решений нет [22, № 35].Пример 4.[19] При каких значениях параметра уравнениеимеет одно решение.Решение. При замене на (и наоборот) уравнение не меняет смысла, поэтому если точка с координатами – решение то и – решение. А так как в условии необходима единственность решения, то , тогдаТогда получаемгде .Т. к. требуется найти единственное решение, то дискриминант должен быть равен 0, т. е. .Ответ:при уравнениеимеет одно решение [24, № 3.60].4.3Тригонометрические уравнения с параметрамиТригонометрическое уравнение - уравнение, содержащее тригонометрические функции неизвестного аргумента.Формулы решений простейших тригонометрических уравнений:Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. Все это я написал сам. При решении тригонометрических уравнений удобно использовать следующие принципы:При решении простейшего тригонометрического уравнения удобно понизить его степень за счет изменения его аргумента.В случае необходимости проверки удобно подставлять в уравнение не значение найденного аргумента, а значения используемых в решении тригонометрических функций.Пример 5.[22] Для всех допустимых значений параметра a решить уравнениеРешение.Преобразуем уравнение.Согласно выше указанному принципу 1, преобразуем первое уравнение системы:Отметим, что .Таким образом, уравнение (1) равносильно системе:В результате, чтобы уравнение (1) не имело решений, достаточно выполнения неравенства .Пусть .Теперь, когда первое уравнение системы (2) всегда имеет решения, необходимо выполнение второго условия.На основании вышеизложенного принципа 2 равносильными преобразованиями:приведем систему(2) к виду:Если , то .Однако при таких a уравнение (3) принимает вид и не всякое его решение удовлетворяет совокупности (4).Таким образом, при уравнение (1) имеет решениями те значения переменной x, для которой , т. е. .Если , то , т. е..При таких значениях параметра a уравнение (3) принимает вид:Чтобы уравнение (1) имело, решения нужно, чтобы .Тогда остается, что.При остальных уравнение имеет решение вида.Ответ:при уравнение не имеетрешений; при при ; при [16, №1].Пример 6.[18] Определить количество корней уравнения на отрезке .Решение.Преобразуем левую часть.Тогда исходное уравнение примет видПеренесем все слагаемые в левую часть и снова преобразуем уравнение.Первое уравнение на отрезке имеет четыре корня: Второе уравнение при корней не имеет. Если , то очевидно, на рассматриваемом отрезке уравнение имеет единственное решение. Если , то , т.е. на отрезке уравнение имеет два корня.Заметим, что при корни второго уравнения совокупности содержатся среди корней первого уравнения.Ответ: при уравнение имеет ыетыре корня;при уравнение имеет пять корней; при уравнение имеет шесть корней [7, № III.27].ЗаключениеЗадачи с параметрами дают возможность для приобретения школьниками навыков научной математической деятельности. Решение этих задач открывает перед учащимися значительное число эвристических приемов общего характера, ценных для математического развития личности, применимых в исследованиях и на любом другом математическом материале.Спецификой задач с параметрами является то, что наряду с неизвестными величинами в них фигурируют параметры, численные значения которых не указаны конкретно, но считаются известными и заданными на некотором числовом множестве. При этом значения параметров существенно влияют на логический и технический ход решения задачи и форму ответа.В курсовой работе рассмотрены основные методы и идеи решения трансцендентных уравнений с параметрами. Большинство рассмотренных задач – задачи, предлагавшиеся на Едином государственном экзамене (ЕГЭ) и в пособиях по подготовке к ЕГЭ. Материал курсовой работы может служить основой для разработки элективных курсов для учащихся 10 – 11 классов и при подготовке к выпускному экзамену.ЛитератураАмелькин В. В., Рабцевич В. Л. Задачи с параметрами: Справочное пособие по математике. Мн.: Асар, 2004. 464с.Википедия. Свободная энциклопедия. – Режим доступа: http://ru.wikipedia.org/Виртуальная школа юного математика. – Режим доступа:http://www.math.md/Власова А.П., Латанова Н.И. Задачи с параметрами. Логарифмические и показательные уравнение, неравенства, системы уравнений: учебное пособие. М.: Дрофа.-2007.93с.Голубев В. О задачах с параметром // Математика. 2002. № 23.С. 27-32.Голубев В.И., Гольдман А.М., Дорофеев Г.В. О параметрах – с самого начала //Репетитор 1991. № 2.С. 3–13.Горнштейн П. И., Полонский В. Б., Якир М. С.Задачи с параметрами.К.: РИА «Текст», МП «Око», 1992. 290 с.Дацык О. Н. Электронный учебник: Задания с параметром. – Режим доступа:http://www.dvoek-net.ru/cor/book/sod.htmlЕгерман Е. Задачи с параметрами// Математика в школе 2003. №3.С. 17-20.Епифанова Т. Н. Графические методы решения задач с параметрамиМатематика в школе 2003. № 7. С. 17-20.Кожухов С. К. Различные способы решения задач с параметромМатематика в школе 1998. № 6.С. 9-12Кожухова С. А., Кожухов С. К. Свойства функций в задачах с параметром//Математика в школе 2003. № 7. С. 14-17.Крамор В.С. Задачи с параметрами и методы их решения. М.: Издательство «Оникс», 2007. 416с.Литвиненко В. Н., Мордкович А. Г. Практикум по элементарной математике: Алгебра. Тригонометрия: учебное пособие для студентов физико-математических специальностей педагогических институтов. М.: Просвещение, 1991. 352с.Локоть В. В. Задачи с параметрами. Иррациональные уравнения, неравенства, системы, задачи с модулем. М.: АРКТИ, 2010. 64 с.Материалы вступительных экзаменов в СПбГУ. Задачи с параметрами// Математика в школе 1998. № 16. С. 11-12.Мещерякова Г. П. Функционально – графический метод решения задач с параметрами// Математика в школе 1999. № 6.С. 69-71.Мирошин В. В. Решение задач с параметрами. Теория и практика. М.: Издательство «Экзамен», 2009. 286с.Моденов В. П.Задачи с параметром. Координатно-параметрический метод.М.: Издательство «Экзамен», 2007. 285 с.Натяганов В. Л., Лужина Л. М. Методы решения задач с параметрами:Учебное пособие. М.: Издательство МГУ, 2003. 368 с.Прокофьев А. А. Задачи с параметрами. М.: МИЭТ, 2004. 258 с.Севрюков П. Ф., Смоляков А. Н. Школа решения задач с параметрами: Учебно-методическое пособие. М.: Илекса,2009. 212с.Тиняков Г. А., Тиняков И. Г. Задачи с параметрами. М.: МГУ, 1996.96с.Фалин Г. И.Обратные тригонометрические функции. 10-11 классы.М.: Издательство «Экзамен», 2012. 221 с.