Применение свойств функции к решению задач школьного курса математики повышенной сложности

Геометрические гомологии чередуются с логистикой. Геометрические гомологии чередуются с логистикой. Геометрические гомологии чередуются с логистикой. Геометрические гомологии чередуются с логистикой. Геометрические гомологии чередуются с логистикой. Геометрические гомологии чередуются с логистикой. Геометрические гомологии чередуются с логистикой. Геометрические гомологии чередуются с логистикой. Геометрические гомологии чередуются с логистикой. Геометрические гомологии чередуются с логистикой. Геометрические гомологии чередуются с логистикой. Геометрические гомологии чередуются с логистикой. Геометрические гомологии чередуются с логистикой. Геометрические гомологии чередуются с логистикой. Геометрические гомологии чередуются с логистикой. Геометрические гомологии чередуются с логистикой. Геометрические гомологии чередуются с логистикой. Геометрические гомологии чередуются с логистикой. Геометрические гомологии чередуются с логистикой. Геометрические гомологии чередуются с логистикой. Геометрические гомологии чередуются с логистикой. Геометрические гомологии чередуются с логистикой. Геометрические гомологии чередуются с логистикой. Геометрические гомологии чередуются с логистикой. Геометрические гомологии чередуются с логистикой. Геометрические гомологии чередуются с логистикой. Геометрические гомологии чередуются с логистикой. Геометрические гомологии чередуются с логистикой. Геометрические гомологии чередуются с логистикой. Геометрические гомологии чередуются с логистикой. Геометрические гомологии чередуются с логистикой. Геометрические гомологии чередуются с логистикой. Геометрические гомологии чередуются с логистикой. Геометрические гомологии чередуются с логистикой. Геометрические гомологии чередуются с логистикой. Геометрические гомологии чередуются с логистикой. Геометрические гомологии чередуются с логистикой. Геометрические гомологии чередуются с логистикой. Геометрические гомологии чередуются с логистикой. Геометрические гомологии чередуются с логистикой. Геометрические гомологии чередуются с логистикой. Геометрические гомологии чередуются с логистикой. Геометрические гомологии чередуются с логистикой. Геометрические гомологии чередуются с логистикой. Геометрические гомологии чередуются с логистикой. Геометрические гомологии чередуются с логистикой. Геометрические гомологии чередуются с логистикой. Геометрические гомологии чередуются с логистикой. Геометрические гомологии чередуются с логистикой. Геометрические гомологии чередуются с логистикой. Геометрические гомологии чередуются с логистикой. Геометрические гомологии чередуются с логистикой. Геометрические гомологии чередуются с логистикой. Геометрические гомологии чередуются с логистикой. Геометрические гомологии чередуются с логистикой. Геометрические гомологии чередуются с логистикой. Геометрические гомологии чередуются с логистикой. Геометрические гомологии чередуются с логистикой. Геометрические гомологии чередуются с логистикой. Геометрические гомологии чередуются с логистикой. Геометрические гомологии чередуются с логистикой. Геометрические гомологии чередуются с логистикой. Геометрические гомологии чередуются с логистикой. Геометрические гомологии чередуются с логистикой. Геометрические гомологии чередуются с логистикой. Геометрические гомологии чередуются с логистикой. Геометрические гомологии чередуются с логистикой. Геометрические гомологии чередуются с логистикой. Геометрические гомологии чередуются с логистикой. Геометрические гомологии чередуются с логистикой. Геометрические гомологии чередуются с логистикой. Геометрические гомологии чередуются с логистикой. Геометрические гомологии чередуются с логистикой. Геометрические гомологии чередуются с логистикой. Геометрические гомологии чередуются с логистикой. Геометрические гомологии чередуются с логистикой. Геометрические гомологии чередуются с логистикой. Геометрические гомологии чередуются с логистикой. Геометрические гомологии чередуются с логистикой. Геометрические гомологии чередуются с логистикой. Геометрические гомологии чередуются с логистикой. 2.3 Использование свойств монотонности функцииПример 3.[21]Найдите наименьшее значение a, при котором функция f(x) возрастает на всей числовой прямой.Решение: f(x)=e2x ∙x2 +a∙ e2x +3.f '(x)=2e2x ∙x2 +2x∙e2x +2ae2x=2e2x (x2 +x+a).По условию задачи f '(x)≥0 при любом x, то есть x2 +x+a≥0.D=1-4a≤0, a≥ . Ответ:0,25.Пример 4.Решить уравнение Решение:Область определения данного уравнения x>0. Исследуем на монотонность функции. Первая из них –убывающая (так как это - логарифмическая функция с основанием больше нуля, но меньше единицы), а вторая – возрастающая (это линейная функция с положительным коэффициентом при х). Подбором легко находится корень уравнения х=3, который является единственным решением данного уравнения.Ответ: х=3.2.4 Решение неравенств методом замены множителейПриведем теперь примеры решения неравенств , используя метод замены множителей. Все задачи взяты из [7] и [8] из перечня.предлагающихся для самостоятельного решения задач. Напомним , что в методе множителей любой множитель можно заменить на знакосовпадающий с ним и имеющий одни и те же корни (в области существования всех множителей).Пример 5. Решить неравенство: Корень из трехчлена в области допустимых значений (то есть при неотрицательности подкоренного выражения) всегда совпадает по знаку с этим трехчленом, поэтому имеем В результате получаем ответ:ПриложениеВ приложении приведем задачи, решая которые школьник может проверить свои знания по использованию свойств функций.3.1 Условия задач[3] Решить уравнение: ;[10]Решить уравнение:. [5]Решить уравнение: 4 .Решить неравенство . 5.[11]Решить уравнение . 6.[1]Решить уравнение: 7. [22]Решить уравнение 8.[12]Решить уравнение 9. [5]. Решите уравнение . 10.[5]Решите уравнение .11. Решить неравенство:.12.Решить неравенство13.Решить неравенство:14.Решить неравенство15.Решить неравенство16.Решить неравенство.Решение задач и ответыРешение.Рассмотрим функцию f (x) = ,D (f) = [-2, + ∞); E (f) = [13; + ∞).φ (x) = 32; E (φ) = 9;E (f)> 9, таким образом, ØПоэтому, можно утверждать, что x є ØОтвет: Ø.Решение: Пусть у = 2x + 2 –x. Так как , то область значений этой функции имеет вид: Е (у) = [2, ∞).В это же время , т.е. Е (g) = [0; 2]. Итак, заданное уравнение сводится к системе уравнений:Из второго уравнения системы находим х = 0. Видим, что х = 0 удовлетворяет и первому уравнению системы. Таким образом, x = 0 - корень системы, и корень заданного уравнения Ответ: 0.Решение. После преобразований имеем: . Так как , а на промежутке (0; ] функция у = tg(x) растет, то ,то есть: Итак, правая часть уравнения должна быть положительной.Более того, поскольку , имеем .В результате получим систему уравнений: Первое уравнение системы выполняется только при х = - 2.Поскольку этот корень удовлетворяет и второму уравнению системы, то x = - 2 - единственный корень уравнения.Ответ: -2.Решение. Переписав неравенство в виде , мы найдем, что областью определения функции, расположенной в левой части этого неравенства, является отрезок -1 ≤ х ≤2, причем во всех точках своей области определения эта функция неотрицательная (так как каждое ее значение представляет собой арифметический корень из неотрицательных чисел) [5].Но при -1 ≤ х ≤ 2 правая часть является отрицательной и поэтому данное неравенство выполняется при всех х из промежутка -1 ≤ х ≤ 2. Таким образом, решениями неравенства есть все числа из промежутка [- 1; 2].Ответ: [- 1, 2]Решение. Оценим области значений левой и правой части уравнения.Пусть . Тогда . Пусть . Таким образом, Е (g) = [1; ∞). Следовательно, E (у) ∩ E (g) = 1Итак, области изменения левой и правой частей имеют одно общее значение {1}, поэтому заданное уравнение равносильно системе:Ответ:x=1.6. Решение. Оценим области изменения левой и правой частей уравнения:1) 2) Сравнивая полученные значения, находим, что области изменения левой и правой частей имеют только одно общее значение 8. Итак, исходное уравнение равносильно системе:Ответ:Решение: Данному уравнению удовлетворяет число х=2. Проверим, удовлетворяют ли функции, образующие уравнение, условиям, при которых можно утверждать, что других корней нет. Сначала рассмотрим . Исследуем ее на монотонность с помощью производной: . при всех значениях хR., следовательно, функция f(x)- возрастающая.Теперь исследуем функцию . Как легко установить, она убывает при всех значениях хR. Из проведенного исследования можно сделать вывод, что х=2 – единственный корень данного уравнения.Ответ: х=2Решение: Легко проверить, что х=1 – корень данного уравнения, но мы пока не можем утверждать, что других корней нет, так как и левая и правя части уравнения – возрастающие функции. Преобразуем данное уравнение к виду . Функция в левой части – сумма двух убывающих функций, а следовательно, она также убывающая. В правой же части стоит постоянная функция. Таким образом, рассматриваемое уравнение может иметь только один корень.Ответ: х=1Решение. Рассмотрим функции и . Функция возрастает на всей области определения, а функция убывает на области определения. Следовательно, данное уравнение имеет не более одного корня. Проверкой убеждаемся, что x=1 действительно корень уравнения.Ответ: 1.Решение. Рассмотрим функцию . На области определения эта функция монотонно возрастает, значит, предложенное уравнение имеет не более одного корня. Легко убедиться, что x=0.5 – решение данного уравнения.Ответ: x=0,5Решение. Перенесем все слагаемые в левую часть и выполним замену , . ПолучимТак как разность (2f–2g) в области допустимых значений имеет тот же знак, что и разность (f–g) показателей степеней, то при замене множителей вида (2t– 2g) на (f–g) получаем равносильное неравенство:Разность неотрицательных чисел совпадает по знаку с разностью квадратов этих чисел.Двойное неравенство при a