критерии оптимального эксперимента

Соответствующие планы экспериментов позволяют эффективно извлекать информацию либо только о неизвестных параметрах, либо только об исследуемых моделях.
Пусть потери в случае неправильного решения характеризуются величиной [4]:


где W1 и W2, — некоторые весовые множители, D — потери в случае неправильного решения при дискриминации моделей и L —потери за счет недостаточно точного определения оценок неизвестных параметров.
Представление потерь R в указанном виде является компромиссом между двумя чаще всего противоречивыми требованиями. А именно: R как функция D и L должна иметь простой вид и должна достаточно хорошо описывать реальные ситуации.
В качестве мер D и L в зависимости от нужд экспериментатора могут быть взяты любые меры точности.
Весовые множители должны в процессе измерении, вообще говоря, изменяться. Действительно, если полученные результаты говорят о том, что вероятность одной из моделей близка к единице, то соотношение весовых множителей должно быть таково, чтобы [4]:



Если же из полученных результатов следует, что вероятности всех (или части) моделей близки к друг другу, то должно иметь место обратное неравенство:



В качестве одной из возможных реализаций можно, например, выбрать функцию, определяемую весовыми множителями [4]:



где Р(N) – maxP(Hj, N), P(Hj, N) — вероятность j-й гипотезы после N измерений , — константа, заключенная между 0 и .
Весовые множители обладают указанными выше свойствами. Когда ни одной из гипотез нельзя отдать предпочтение, т. е. , W1 равно единице и W2 – нулю, и задача сводится к задаче дискриминации гипотез. С другой стороны, когда одна из гипотез заведомо верпа , задача сводится к задаче по поиску оценок параметров.
Для промежуточных случаев W монотонно убывает при росте Р(N).
Скорость убывания определяется значением , которое выбирается экспериментатором. Для любого фиксированного значения Р (N) весовая функция W1 уменьшается с ростом . Поэтому, увеличивая , можно уменьшить роль проблемы дискриминации моделей и увеличить роль проблемы поиска оценок параметров.
На каждом N-м этапе отыскивается точка ХN, соответствующая максимальному среднему уменьшению величины [4]:



Последующее измерение (пли группа измерении) должно размещаться в точке ХN. Затем производится обработка данных и все операции повторяются вновь и т. д.
Выбор весовых множителей предусматривает, чтобы потери L и D были выражены в одних и тех же единицах (например, денежных).

Заключение

Математические методы анализа широко используют при исследовании различных систем и процессов – природных, технических, экологических, экономических, социальных и тому подобное. Учитывая это, формирование соответствующих знаний и навыков является необходимой составляющей в области системных наук и кибернетики, информатики и многих других отраслей знаний.
Классический регрессионный анализ включает методы построения математических моделей исследуемых систем, методы определения параметров этих моделей и проверки их адекватности.
Успешность применения любого метода анализа данных зависит от соответствия анализируемых данных его исходным предположением. Методы, пригодные для одного типа данных, могут приводить к серьезным ошибкам при их использовании для данных других типов. В этом случае естественно обратиться к таким критериям оптимальности экспериментов, которые позволили бы объединить проблемы поиска истинной модели и определения оценок неизвестных параметров.
Имеется два возможных пути создания таких критериев. Первый — это обращение к критериям, опирающимся на меру, являющуюся композицией используемых ранее мер потерь при дискриминирующих экспериментах и потерь при определении или уточнении неизвестных оценок параметров. Второй — обращение к повой мере точности (которая в свою очередь определяет потери) результатов эксперимента, одновременно учитывающей сведения по дискриминации моделей, и по определению оценок искомых параметров.

Список источников

Волосухин В. А., Тищенко А. И. Планирование научного эксперимента: учебник. – 2-е изд.. – Москва: Инфра-М РИОР, 2014. – 175 с.
Лукьянов, С. И. Основы инженерного эксперимента: учебное пособие / С. И. Лукьянов, А. Н. Панов, А. Е. Васильев. – Москва: Инфра-М РИОР, 2014. – 99 с.
Сидняев Н. И. Теория планирования эксперимента и анализ статистических данных: учебное пособие для вузов – Москва: Юрайт, 2011. – 390 с.
Федоров В. В. Теория оптимального эксперимента. – М.: «Наука», 1971. – 312 с..








2



Проверка согласия между моделью и данными

Пересмотр модели. Выдвижение конкурирующей модели

Обработка экспериментальных данных. Поиск оценок искомых параметров

Планирование эксперимента по уточнению параметров

Планирование дискриминирующего эксперимента


Эксперимент

1

2

4

5

6

3

+

-