Задача Штурма-Лиувилля. Свойства собственных значений и собственных функций.
Заказать уникальный реферат- 15 15 страниц
- 5 + 5 источников
- Добавлена 14.01.2017
- Содержание
- Часть работы
- Список литературы
- Вопросы/Ответы
Введение 3
1 Вычисление минимального собственного значения нелинейной задачи Штурма-Лиувилля 4
2 Свойства собственных значений и собственных функций 8
Заключение 13
Список использованных источников 15
Переходя в уравнении a(η,uη,v) = γ(η)b(η,uη,v) к пределу при η = η ′′′ → → µ, выводим равенство a(µ,w,v) = ξb(µ,w,v) для любого элемента v ∈ V. Имеем 1 = b(η,uη,uη) → b(µ,w,w) при η = η ′′′ → µ, поэтому b(µ,w,w) = 1. Предположим, что w = −uµ . Тогда получим b(η,uη,uµ) → −b(µ,uµ,uµ) = −1, что противоречит соотношению b(η,uη,uµ) > 0. Это означает, что ξ = γ(µ) и w = = uµ есть минимальное собственное значение и отвечающая ему положительная собственная функция задачи (2.6).
Докажем сильную сходимость uη → uµ в V при η = η ′′′ → µ. Действительно, имеем:
(2.20)
Таким образом, установлено, что из каждой последовательности η ′ → µ можно выбрать подпоследовательность η ′′ → µ со свойством γ(η) → γ(µ), uη → uµ в V при η = η ′′ → µ.
Предположим, что существует последовательность η ′ → µ такая, что γ(η) → ξ при η = η ′ → µ, где ξ 6= γ(µ). Повторяя проведенные рассуждения, из последовательности η ′ → µ выберем подпоследовательность η ′′ → µ такую, что γ(η) → γ(µ) при η = η ′′ → µ. В результате получим сходимость γ(η) → γ(µ) при η → µ.
Предположим, что для последовательности η ′ → µ выполняется неравенство |uη − uµ|1 > c при η = η ′ → µ. Тогда, повторяя проведенные выше рассуждения, устанавливаем существование подпоследовательности η ′′ → µ такой, что |uη − uµ|1 → 0 при η = η ′′ → µ. Но это противоречит предыдущему неравенству.
Теорема доказана.
Заключение
Следовательно, можно подвести следующие итоги.
Задача Штурма-Лиувилля состоит в следующем.
Пусть дана краевая задача:
Требуется найти значения параметра , при которых существуют ненулевые решения данной краевой задачи.
При этом значения называются собственными значениями задачи Штурма-Лиувилля, а соответствующие ненулевые решения называются собственными функциями задачи Штурма-Лиувилля.
Характеристическое уравнение исходного дифференциального уравнения:
имеет мнимые корни:
.
Следовательно, общее решение исходного дифференциального уравнения:
.
Подставляем в первое граничное условие:
Получаем:
и
Подставляем во второе граничное условие:
.
Если принять , то получим тривиальное решение .
Поэтому , и следовательно,
.
Отсюда находим собственные значения задачи Штурма-Лиувилля:
.
Тогда собственные функции задачи Штурма-Лиувилля
.
Список использованных источников
Ковалевский А.А., Строгова А.С., Лабунов В.А., Шевченок А.А. Аккумулирование водорода порошками кремния в плазме ВЧ-индукционного разряда // Журн. техн. физики. – 2011. – Т. 81, Вып. 10. – С. 140–143.
Мекешкина-Абдуллина Е.И., Кулевцов Г.Н. Придание готовым изделиям из меха заданных декоративных и потребительских свойств с одновременным повышением стойкости к атмосферной биокоррозии за счет модификации ННТП // Вестн. Казан. технол. ун-та. – 2012. – Т. 15, № 21. – С. 244–248.
Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1977; М.: Изд. МГУ, 2004.
Хубатхузин А.А., Абдуллин И.Ш., Гатина Э.Б., Калашников Д.И. Изменение физико-механических свойств металлов и их сплавов с помощью ВЧ-плазмы пониженного давления // Вестн. Казан. технол. ун-та. – 2013. – Т. 16, № 4. – С. 268–271.
Хубатхузин А.А., Абдуллин И.Ш., Башкирцев А.А., Гатина Э.Б. Формирование нанодиффузионных алмазоподобных покрытий на поверхности твердых сплавов с помощью ВЧ-плазмы пониженного давления // Вестн. Казан. технол. ун-та. – 2013. – Т. 16, № 4. – С. 262–264.
2
3
5
4
1. Ковалевский А.А., Строгова А.С., Лабунов В.А., Шевченок А.А. Аккумулирование водорода порошками кремния в плазме ВЧ-индукционного разряда // Журн. техн. физики. – 2011. – Т. 81, Вып. 10. – С. 140–143.
2. Мекешкина-Абдуллина Е.И., Кулевцов Г.Н. Придание готовым изделиям из меха заданных декоративных и потребительских свойств с одновременным повышением стойкости к атмосферной биокоррозии за счет модификации ННТП // Вестн. Казан. технол. ун-та. – 2012. – Т. 15, № 21. – С. 244–248.
3. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1977; М.: Изд. МГУ, 2004.
4. Хубатхузин А.А., Абдуллин И.Ш., Гатина Э.Б., Калашников Д.И. Изменение физико-механических свойств металлов и их сплавов с помощью ВЧ-плазмы пониженного давления // Вестн. Казан. технол. ун-та. – 2013. – Т. 16, № 4. – С. 268–271.
5. Хубатхузин А.А., Абдуллин И.Ш., Башкирцев А.А., Гатина Э.Б. Формирование нанодиффузионных алмазоподобных покрытий на поверхности твердых сплавов с помощью ВЧ-плазмы пониженного давления // Вестн. Казан. технол. ун-та. – 2013. – Т. 16, № 4. – С. 262–264.
Вопрос-ответ:
Какие свойства имеют собственные значения и собственные функции в задаче Штурма-Лиувилля?
Собственные значения и собственные функции в задаче Штурма-Лиувилля обладают рядом важных свойств. Во-первых, собственные значения являются действительными числами. Во-вторых, существует бесконечное множество собственных значений, упорядоченное по возрастанию. Третье свойство состоит в ортогональности собственных функций, отвечающих различным собственным значениям. Это означает, что произведение двух собственных функций, отнесенных к разным собственным значениям, равно нулю при интегрировании по всему пространству. Все эти свойства являются важными для решения задачи Штурма-Лиувилля и имеют физическую интерпретацию в различных областях науки и техники.
Как вычислить минимальное собственное значение в нелинейной задаче Штурма-Лиувилля?
Вычисление минимального собственного значения в нелинейной задаче Штурма-Лиувилля является сложной задачей. Процесс вычисления может включать использование различных численных методов, таких как методы стрельбы, методы конечных разностей или методы конечных элементов. Однако точное решение для минимального собственного значения в общем случае может быть достигнуто только при использовании специальных аналитических методов. В любом случае, вычисление минимального собственного значения в нелинейной задаче Штурма-Лиувилля является нетривиальной задачей и требует глубоких знаний математики и численных методов.
Какие свойства обладают собственные значения и собственные функции в задаче Штурма-Лиувилля?
Собственные значения и собственные функции в задаче Штурма-Лиувилля обладают рядом характерных свойств. Во-первых, собственные значения являются действительными числами. Во-вторых, существует бесконечное множество собственных значений, которые могут быть упорядочены по возрастанию. Третье свойство состоит в ортогональности собственных функций, отвечающих различным собственным значениям. Это означает, что собственные функции, отнесенные к разным собственным значениям, ортогональны друг другу относительно некоторой весовой функции. Все эти свойства являются важными для понимания и анализа решений задачи Штурма-Лиувилля в различных областях приложения.
Какие свойства собственных значений и собственных функций рассматриваются в статье?
В статье рассматриваются свойства собственных значений и собственных функций задачи Штурма-Лиувилля.
Что такое задача Штурма-Лиувилля?
Задача Штурма-Лиувилля - это математическая задача, которая состоит в поиске собственных значений и собственных функций определенного дифференциального уравнения.
Как вычисляется минимальное собственное значение нелинейной задачи Штурма-Лиувилля?
В статье описывается метод вычисления минимального собственного значения нелинейной задачи Штурма-Лиувилля.
Какие свойства имеют собственные значения и собственные функции задачи Штурма-Лиувилля?
В статье приводятся свойства собственных значений и собственных функций задачи Штурма-Лиувилля, такие как ортогональность, нормированность и существование бесконечного множества собственных значений и функций.
Какие источники были использованы при написании статьи?
В статье указан список использованных источников, где приводятся работы исследователей, которые занимались изучением задачи Штурма-Лиувилля.
Что такое задача Штурма-Лиувилля?
Задача Штурма-Лиувилля - это математическая задача нахождения собственных значений и собственных функций дифференциального оператора второго порядка. Она играет важную роль в различных областях физики и математики, таких как квантовая механика, теория колебаний и теплопроводность.
Какие свойства имеют собственные значения и собственные функции задачи Штурма-Лиувилля?
Собственные значения задачи Штурма-Лиувилля являются действительными числами и могут быть упорядочены по возрастанию. Соответствующие им собственные функции являются ортогональными в некотором смысле и полными в смысле разложения любой функции из пространства на собственные функции.
Как вычислить минимальное собственное значение нелинейной задачи Штурма-Лиувилля?
Вычисление минимального собственного значения нелинейной задачи Штурма-Лиувилля является сложной задачей и требует применения численных методов. Один из методов - метод Рэлея-Ритца, который основан на аппроксимации собственных функций в некотором подпространстве конечной размерности.
Какие источники были использованы при написании статьи?
В статье использованы следующие источники: (список источников)