Содержание формы и методы изучения уравнений и неравенств с параметрами в основной школе

Как отмечалось выше, ввод понятий осуществляется на следующем примере: «Решить уравнение . Текст параграфа содержит 2 примера на решение уравнений с параметром, а в § 25 задачника представлено 5 заданий на решение уравнений с параметром. К решению данного класса задач в данном учебнике переходят лишь в главе 5 «Неравенства» при решении квадратных неравенств, когда необходимо определить количество корней в зависимости от значений параметра. Задачник содержит 8 задач на решение неравенств с параметром. Таким образом, базовый курс данного УМК содержит скудный материал, как для изучения нового материала по данной теме, так и для закрепления навыков и выработки УУД.Профильный же курс алгебры пoдредакцией Мордковича А.Г. имеет содержательно-методическую линию «Задачи с параметрами» в явном виде.В главе 6 «Алгебраические уравнения» § 41посвящен задачам с параметрами и имеет одноименное название. Текст параграфа содержит5 примеров с замечаниями и приводится определение параметра: «Если дано уравнение , которое надо решить относительно переменной и в котором буквой обозначено произвольное действительное число, то говорят, что задано уравнение с параметром» [8]. Задачник содержит 83 задания по данной теме[4].Для представленного выше примера в учебнике после решения указано, что уравнение можно решить устно, если заметить, что .После преобразований и приведения уравнения к видукорни уравнения определяются на основании теоремы Виета ().Пример 2. Решить уравнение .Решение.В отличие от предыдущего примера, данное уравнение нельзя решить сразу по формуле корней квадратного уравнения в виду того, что нельзя утверждать однозначно, что уравнение является квадратным. Так.при получим линейное уравнение , откуда получаем .После решения данного уравнения в учебнике указано замечание, которое объясняет замену выражения выражением , вместо использования знака модуля . Следующим замечанием к решению данного примера является следующее: квадратное уравнение может быть решено, без применения формулы корней квадратного уравнения. Для этогодостаточно заметить, что значение удовлетворяет уравнению (при , получаем - верное равенство). В этом случае можно воспользоваться теоремой Виета для нахождения второго корня. Таким образом, учебник для углубленного изучения математики при решении уравнений с параметрами используется много ссылок на использование теоремы Виета. Кроме того, в нем переходят к более употребительной для обозначения параметров букве а, в то время как в учебнике для общеобразовательных классов используют букву p.В качестве основных трудностей, связанных с решением уравнений с параметрами следует выделить:при одних значениях параметра уравнение не имеет корней, при других - имеет; для нахождения корней уравнения различается используемый аппарат формул в зависимости от значений параметра. Далее в учебнике представлен пример решения линейного уравнения с подробными рассуждениями:Пример 3. Решить уравнение с параметром а: .Решение. Чаще всего корень уравнения легко находится по формуле при /В заданном уравнении коэффициент при x равен , и, поскольку, значение параметраа неизвестно, а оно может быть любым, то следует предусмотреть возможность обращения указанного коэффициента в нуль. Это возможноприа = 0 или при а = 2. Рассмотрим следующие случаи:Приа = 0уравнение примет вид . Данное уравнение не имеет корней.Приа = 2уравнение принимает вид . Данному уравнению удовлетворяют любые значения х.Таким образом, учебник 8 класса с углубленным изучением математики содержит отдельный параграф с задачами с параметрами. В параграфе представлен широкий круг уравнений с параметрами (линейные и квадратные, иррациональные уравнения и уравнения, содержащие модуль).[19]Разбивка задач с параметрами по темам в действующих учебниках для средней школыАнализируя методологические особенности изучения линии задач с параметрами в основной школе, целесообразно отметить, что в 7 классе данная группа заданий носит пропедевтический характер. При этом используются задания с параметрами:на решение линейных уравнений и систем линейных уравнений;на выражение одной переменной через другую.В 7 классе учащиеся еще не знакомы с понятием параметра, но в учебниках указано, что более подробно такие задания будут рассмотрены в 8 классе.Рассмотрим более подробно систему заданий по учебникам различных авторов в разбивке по видам задач. В 7 классе это следующие виды задач:уравнения с одной переменой;задания с использованием формул сокращенного умножения «Разность квадратов и сумма и разность»;линейные уравнения с двумя переменными;область определения выражения;системы линейных уравнений;задания на решение уравнений относительно x;задания, связанные с графиками функций.В таблице 4 представлено распределение указанных типов задач с конкретными заданиями учебников.Распределение задач с параметрами по типам и учебникам средней школы (7 класс)Типы задачУчебникУравнения с одной переменойпод ред. С.А. Теляковского№ 236*, 237 на поиск значений коэффициентов уравнения, представленного параметром. Задания с использованием формул сокращенного умножения «Разность квадратов и сумма и разность»под ред. С.А. Теляковского№ 1073*. Анализ многочлена на содержание переменных x2;x?Линейные уравнения с двумя переменнымиС.М. Никольский№ 982. Решение линейного уравненияВ заданном уравнении выразить x через y.под ред. С.А. Теляковского№ 1100. Выражение переменных уравнения друг через друга при известной паре решенийСистемы линейных уравненийС.М. Никольский№ 1067,1076Поиск значений параметра, при котором системы уравнений являются равносильнымиЗадания на решение уравнений относительно xС.М. Никольский№ 213* Решение уравнений относительно x;№ 1147*. Решение уравнений по известнымa,b - данные числа, а х - неизвестное.Задания, связанные с графиками функцийА.Г. Мордкович№ 902. Поиск значения параметра по графику функции и точке, принадлежащей графику. № 907. Объяснить расположение в координатной плоскости хОу графика линейной функции.В 8 классе производится ввод научного понятия параметра. В связи с этим для достижения определенного уровня его понимания все задания должны быть сформулированы с использованием этого понятия. Кроме того, следует отметить, что аналогичные задания встречались и в 7 классе, но теперь они называются, например, уравнениями с параметрами. Приведем разбивку заданий учебников в разбивке по типам и учебникам (таблица 5).Распределение задач с параметрами по типам и учебникам средней школы (8 класс)Типы задачУчебникЗадачи, связанные с графиками функцийА.Г. Мордкович№ 483. Поиск значения коэффициента по точке пересечения графика c осью ординат № 500. Поиск значения параметра уравнения при заданной точке вершины параболы.?Задачи, в которых параметр является левой частью уравненияА.Г. Мордкович№ 518, 522. Поиск значений параметра для ответа на вопрос о количестве корней уравнения.Задания, приводящие к формированию умения отыскания множества допустимых значений параметраА.Г. Мордкович№ 793. Определение вида уравнения в зависимости от значения параметра Решение квадратных уравнений с параметром с вычислением дискриминантаА.Г. Мордкович№ 838. Определение числа корней квадратного уравнения в зависимости от величины параметра№ 842, 953. Решение уравнений с параметромС.М. Никольский№ 337. Поиск второго корня уравнения при известном значении первого. Использование теоремы ВиетаА.Г. Мордкович№ 791. Поиск значений параметра при заданном уравнении значении суммы корней квадратного уравнения № 1000. Решение уравнения с параметром при заданном значении произведения корней № 1360. Определение числа корней квадратного уравнения в зависимости от значений параметраЗаключениеНа современном этапе обучения математики в основной школе усвоение знаний перестает носитьхарактер заучивания, многообразие форм поисковой, проектной, мыслительной деятельности позволяет реализовывать обучение, как продуктивный творческийпроцесс. Существенным отличием современных технологий обучения является выдвижение на первый план развития личности и ее социальной адаптации. Поэтому большое внимание уделяется групповым формам обучения, совместной деятельности. Важное значение при этом уделяется многообразию форм взаимодействия, межличностным отношениям и общению.В свете внедрения Федеральных государственных образовательных стандартов разработан диагностический инструментарий, а также методы и формы внедрения активных технологий обучения в образовательный процесс. В рамках данного исследования была раскрыты психолого-педагогические аспекты при решении уравнений и неравенств с параметрами в основной школе, изучены вопросы развитие универсальных учебных действий при решении задач средствами проектной технологии обучения, выполнен содержательный анализ «линии задач с параметрами» в программе математики основной школы, а также тематический анализ учебников математики основной школы.Анализ показал следующие особенности реализации обучения решению задач с параметрами на современном этапе в основной школе: отсутствие задач с параметрами в учебных программах основной средней школы;сложность данного класса задач в техническом плане;развитие более глубокого понимания всего школьного курса математики обучающимися в процессе овладения методами решения задачи с параметрами;высокая диагностическая и прогностическая ценность задач с параметрами.Указанные особенности определили необходимость проведения тематического и содержательного анализа линии задач с параметрами в основной школе, в результате которого сделан вывод о целесообразности использования в процессе обучения метода проектов, как активной формы обучения и формирования системы задач с параметрами для обеспечения преемственности обучения в основной школе.Список использованных источниковЗакон Российской Федерации «Об образовании». М.: Новая школа, 1996.Федеральный государственный образовательный стандарт основного общего образования. Утвержден приказом Министерства образования и науки Российской Федерации от «17» декабря 2010 г. № 1897Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского. – 18-е изд. – М.: Просвещение, 2015.Бадмаев Б.Ц. Психология в работе учителя: В 2-х кн./ Б.Ц. Бадмаев. -М.:ВЛАДОС, 2012. 380 с.Валеев Г.Х. Объект, предмет и тема научного исследования // Педагогика, 2012. №2. 31 с.Волков Б.С. Психология подросткового возраста : учебник / Б.С. Волков. — 4-е изд., перераб. и доп. — М. : КНОРУС, 2016. — 266 с.Высоцкий В. С. Задачи с параметрами при подготовке к ЕГЭ.М.: Научный мир, 2011. - 316 сГорнштейн П.И., Полонский В.Б. Якир М.С. Задачи с параметрами - М: ИЛЕКСА, 2007Гузеев В. В. Образовательная технология: от приема до философии. М., 2013.Гузеев В.В. Познавательная самостоятельность учащихся и развитие образовательной технологии / В.В. Гузеев. М.: НИИ школьных технологий, 2013. - 128 с.Дворецкий С. Формирование проектной культуры // Высшее образование в России. 2013. № 4. 193 с.Джуринский А.Н. История педагогики: Учебное пособие для студентов пед. вузов. М.: Гуманитарный издательский центр «ВЛАДОС», 2011. 431 с.Дружинин В.Н. Экспериментальная психология: Учеб. пособие / В.Н. Дружинин. М.: ИНФРА, 2011. - 296 с.Зимняя И.А. Педагогическая психология / И.А. Зимняя. Ростов-на-Дону, 2013.-С. 41.Козко А. И., Панферов В. С, Сергеев И. Н., Чирский В. Г. ЕГЭ 2011. Математика. Задача С5. Задачи с параметром / Под ред. А. Л. Семенова и И. В.Ященко. — М.: МЦНМО, 2011Кулакова Е.А. Развитие творческих способностей учащихся в процессе проектной и учебно-исследовательской деятельности // Исследовательская деятельность учащихся в современном образовательном пространстве: Сборник статей / Под общей редакцией к. пс. Н. А.С. Обухова. М.: НИИ школьных технологий, 2006. Ломакина О.Н. Этапы проектирования деятельности // Высшее образование в России. 2003. № 3. 168 с.Леонтьева О. Школа, где учатся общению и занимаются без всяких отметок // Директор школы. 2013. № 1. 97 с.Методология учебного проекта. Сборник статей / Ред.-сост. Н.Ю.Пахомова. М.: Изд-во МИОО, 2001.- 132 с.Мордкович А.Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч.Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 с.Мордкович А.Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч.Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / (А. Г. Мордкович и др.]; под ред. А.Г. Мордковича. - М.: Мнемозина, 2009. - 255 с.Мордкович А.Г. Алгебра. 8 класс: учеб, для учащихся общеобразоват. учреждений / А.Г. Мордкович, Н.ГI. Николаев. - М.: Мнемозина, 2008. - 240 с.Мордкович А.Г. Алгебра. 9 класс: учеб, для учащихся общеобразоват. учреждений / А.Г. Мордкович, Н.ГI. Николаев. - М.: Мнемозина, 2008. - 255 с.Новые педагогические и информационные технологии в системе образования: Учебное пособие для студентов педагогических вузов и системы повышения квалификации педагогических кадров / Е.С. Полат и др. / Под ред. Е.С. Полат. М.: Издательский центр «Академия», 2011.Пахомова Н.Ю. Учебный проект: его возможности // Учитель. 2012. № 4.Пахомова Н.Ю. Учебные проекты: методология поиска // Учитель. 2013. № 1. Палецкий С.В. Педагогическая технология освоения учащимися исследовательской деятельности: Учебно-методическое пособие. Омск, 2014. 71 с.Прокофьева Л.Б. Технологии организации и сопровождения поисковой деятельности – путь творческого развития ученика и учителя //Исследовательская деятельность учащихся в современном образовательном пространстве: Сборник статей / Под общей редакцией к. пс. Н. А.С. Обухова. М.: НИИ школьных технологий, 2011. С.184 Прокофьев А.А. Задачи с параметрами: пособие по математике для учащихся старших классов – М.: МИЭТ, 2004. – 258 сПрограммы. Математика. 5-6 классы. Алгебра. 7-9 классы. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. / авт.-сост. И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович. - М.: Мнемозина, 2009. - 63 с.Савенков А.И. Психологические основы исследовательского подхода к обучению: Учебное пособие. – М.: «Ось-89», 2012. Сибирская М.П. Педагогические технологии: теоретические основы Ир проектирование. - СПБ., 1998. Стойлова Л.П. Математика: Учебник для студ. высш. пед. учеб. заведений.- М.: Издательский центр «Академия», 2011.-424 с.Субханкулова С.А. Задачи с параметрами - М: ИЛЕКСА, 2016.Стожарова М.Ю. Развитие интеллектуальных способностей детей старшею дошкольного возраста в математической деятельности: монография / М.Ю Стожарова, С Г Михалёва - 2-е изд , стер - М. ФЛИНТА, 2013 - 128 с.Тарасова И.П. Метод проектов в образовательном учреждении // Приложение к журналу «Профессиональное образование». 2014. № 12. 110 с.Фельдштейн Д.И. Проблемы возрастной и педагогической психологии. М., 1995.Шестаков С.А. Математика с параметром-М: МЦНМО, 2017Шахмейстер А.Х. Уравнения и неравенства с параметрами СПб "Петроглиф": М: МЦНМО-ИД КДУ, 2012Ястребцева Е.Н. Пять вечеров. Беседы о телекоммуникационных образовательных проектах. М.: «Проект Гармония» и ЮНПРЕСС, 2012.Ясвин В.А. Образовательная среда: от моделирования к проектированию. - М., 2012. Приложение 1Таблица 8 – Модель урокаТемаРешение дробных рациональных уравненийВид учебного занятияОбобщающее занятиеТехнология проведения занятияДеловая играФорма организации учащихсягрупповаяСредства обученияКарточки с заданием, компьютерная презентацияЦельСистематизация и закрепление теоретических знаний и практических навыков решения задач с параметрами, создание условий для развития у учащихся активной познавательной деятельности, развитие мотивов учения, мышления, восприятия, внимания, памяти, речи, воображения. ЗадачиПродолжить формирование навыков работы в группе.Повторить основные понятия темы.Стимулировать учащихся к овладению навыками аналитического и творческого мышления. Ход занятияОрганизационный моментУчитель формулирует тему и цель урока, представляет структуру учебного занятия Введение в игруУчитель разделяет учащихся на группы - предлагает каждому выбрать жетон определенного цвета (желтый, красный, синий). Таким образом, будет сформировано три команды, в каждой из которых сами учащиеся выбирают капитана – руководителя фирмы.I этап игрыКоманды получают задание:Подготовить презентацию команды:название;девиз;отношение к математике;перспективы участия в игре.На подготовку презентации командам дается 5 минут, на выступление по 3 минуты. Жюри оценивает команды по следующим критериям:творческий подход;последовательность изложения;четкое следование регламенту.II этап игрыКоманды получают задание:Решить уравнения с параметрами.За каждое правильно решенное уравнение команда получает 1 балл.III этап игрыУчитель проводит пресс-конференцию с капитанами групп. Руководители при ответе на вопрос вправе обратиться за помощью к своей группе.Вопросы пресс-конференции:что такое параметр?какие методы решения уравнений с параметрами Вы знаете;опишите алгоритм решения уравнений с параметром.Жюри оценивает ответы по следующим критерием:правильность ответов;четкость и логичность в изложении своих доводов.Заключительный этап игрыЖюри подсчитывает итоги заседания и выносит решении о присвоения звания «Лучшая команда» группе, набравшей наибольшее число баллов.Учитель предлагает капитанам оценить работу каждого участника в группе по следующим критериям:степень участия в выполнении командных заданий;оказание помощи в конкурсе капитанов;коммуникативные навыки.Задание на домУчащимся предлагается написать свое видение возможности применения задач с параметрами в реальной жизни; подготовиться к итоговой контрольной работе по теме