Узлы и косы

Можно рассматривать функции, похожие на те, которые используются в теории представлений групп и изучать их свойства. Оказывается, что некоторые такие функции (так называемый след Окнеану) очень хорошо ведут себя при движениях Маркова.Алгеброй Гете Н(q,n) называется алгебра над полем С от формальной переменной q, заданная следующим копредставлением:[q1, ….qn-1│q2i=(q-1)qi+q, i = 1, …..n-1,qiqi+1qi=qi+1qiqi+1, i = 1,2,….n-2,qiqj=qjqi, │i-j│≥2]Теорема о следе Окнеану: Для каждого z∈ С существует след – линейная функция tr от переменных z,q – на Н(q,n), определенная следующими аксиомами:tr(ab)=tr(ba)tr(1)=1tr(xqn)=z tr(x)для каждого x∈Н (q,n).В случае n=0 последняя формула означает, что tr(q1)=z. [3, С.120]2.4 Алгоритмы распознавания косГеометрический алгоритм[3, С.144]Для произвольного nмы построим инвариант группы кос из n нитей. Этот вариант имеет простое геометрическое описание как отображение (не гемоморфное) из группы кос Br(n) в набор из nкопий свободной группы с nобразующими.Мы также опишем некоторые обобщения этого инварианта на случай цилиндрических и сферических кос. Основная идея доказательства полноты этих инвариантов состоит в том, что косы кодируются некоторым набором классов кривых, при этом изотопический класс косы может быть однозначно восстановлен по этим кривым.Отметим, что цилиндрические косы из nнитей могут быть рассмотрены как косы в R3/Oz, что равносильно рассмотрению кос с n+1 нитью, одна из которых вертикально идет по оси Oz. Тем самым крашене цилиндрические косы из nнитей образуют подгруппу в группе крашеных кос из nнитей, что сводит проблему распознавания цилиндрических кос к проблеме распознавания обычных кос. По допустимой системой из nкривых мы понимаем семейство из nнепересекающихся несамопересекающихся кривих в верхней полуплоскости ( у>0) плоскости Oxy такое, что каждая кривая соединяет точку с ординатой ноль с точкой с ординатой единица, а абсциссы ковцов всех кривых – натуральные числа от 0 до n. Пусть β– диаграмма косы на плоскости, соединяющая набор нижних точек{(1,0),…..(n,0)} с набором верхних точек {(1,1),…..(n,1)}. Рассмотрим самый верхний перекресток С диаграммы β и протянем его нижнюю ветвь вдоль верхней. Наглядно это показано на рисунке 2.4.1.Рисунок 2.4.1 – Разведение верхнего перекресткаПроделаем ту же операцию со следующим перекрестком, а именно протянем его нижнюю ветвь вдоль верхней до верхней точки. Наглядно это показано на рисунке 2.4.2. Рисунок 2.4.2 – Разведение следующего перекресткаПовторяя эту процедуру для всех перекрестков ( до самого нижнего) мы получим допустимую систему кривых. Обозначим класс эквивалентности этой допустимой системы через f(β).Функция fявляется инвариантом кос, то есть для двух диаграмм β,β’одной и той же косы мы имеем f(β)= f(β’).На рисунке 2.4.3 покажем инвариантность функции fпри втором движении Рейдемейстера.Рисунок 2.4.3 – Инвариантность функции fпри втором движении РейдемейстераНа рисунке 2.4.4 покажем инвариантность функции fотносительно третьего движения Рейдемейстера.Рисунок 2.4.4 – Инвариантность функции fотносительно третьего движения РейдемейстераLD-системы и алгоритм Деорнуа[3, С.153]Для распознавания кос есть и чисто алгебраический алгоритм. Он предположен французским математиком Патриком Деорнуа. Этот алгоритм является довольно быстрым.Его идея очень близко к той, которая используется в дистрибутивных группоидах. Мы рассматриваем некоторое (конечное) множество цветов и связываем цвета с дугами косы. Затем мы определяем некоторый способ сведения косы к тривиальной и, если коса не является тривиальной, мы указываем отчего коса нетривиальна. Более точно для “хороших цветовых систем”, каждая коса определяет оператор цветовой системы и этот оператор нетривиален для нетривиальной косы.Назовем косу β 1- положительной если коса может быть представлена словом W’, в которой буква σ1 встречается только в положительных степенях. Аналогично определяется 1-отрицательная коса. Если коса может быть записана словом W’ без σ1 и σ1-1, то мы скажем, что эта коса нейтральна. LD-система или LD-множество – множество М с левой самодистрибутивной структурой.Инвариантность отображения fотносительно третьего движения означает левую дистрибутивность операции ( Рисунок 2.4.5).Рисунок 2.4.5 – Левая дистрибутивность операции при третьем движенииИнвариантность относительно второго движения будет иметь следующий вид (Рисунок 2.4.6):Рисунок 2.4.6 – Инвариантность относительно второго движенияРассмотрим слово ABacBCBaCbaa.Применим к нему алгоритм Деорнуа.ABacBCBaCbaabABcBCBaCbaabbABcbABCbABCbaabbABcbABCbAcBCaabbABcbABCbcbABCabbABcbABCbcbbABCПолученное слово является 1-отрицательным. Следовательно коса нетривиальна. [3, С.164]Таким образом мы получили простой и эффективный алгоритм для распознавания кос, который называется алгоритм Деорнуа. Он со временем имеет свойство останаваливаться.ЗаключениеВ данной курсовой работе мы ознакомились более детально с двумя теориями: теорией узлов и зацеплений и теорией кос.Предметом теории узлов являются вложения сфер в многообразия и вобще вложение многообразий.Основной вопрос теории узлов – как определить изотопны два заданных узла или нет. Эта задача носит название проблемы распознавания узлов.Теория кос связывает воедино перестановки запутывание узлов. Она находится на стыке алгебры, геометрии и топологии.Теория узлов, тесно связанная с теорией кос, за последние пару десятков лет претерпела существенные изменения и теперь узлами занимаются не только математики, но и ученые других точных и естественных наук.Список использованных источниковДжонс, Воган Ф. Р.Теория узлов и статистическая механика.Кроуэлл Р., Фокс Р. Введение в теорию узлов / Пер. с англ. — Череповец: Меркурий-Пресс, 2000. — 348 с. Мантуров В. О. Теория узлов. — М.: РХД, 2005. — 512 с. Мандельбаум Р. Четырёхмерная топология / Пер. с англ. — М.: Мир, 1981. — 286 с.Мантуров В. О. Лекции по теории узлов и их инвариантов. — М.: Едиториал УРСС, 2001. — 204 с. Мантуров В. О. Экскурс в теорию узлов // Сетевой образовательный журнал. — 2004. — Т. 8, № 1. — С. 122—127.Милнор Дж. Особые точки комплексных гиперповерхностей / Пер. с англ. — М.: Мир, 1971. — 127 с.Сосинский, А. Б.Узлы и косы. — М.: МЦНМО, 2001. — Т. 10. — 24 с. — (Библиотека «Математическое просвещение»). Сосинский А. Б. Узлы. Хронология одной математической теории: — М.:МЦНМО, 2005. — 112 с. Hillman J. A. Alexander ideals of links B. — Hdlb. — N. Y., 1981.https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D1%83%D0%B7%D0%BB%D0%BE%D0%B2