Непротиворечивость евклидовой геометрии
Заказать уникальный реферат- 9 9 страниц
- 3 + 3 источника
- Добавлена 28.05.2017
- Содержание
- Часть работы
- Список литературы
- Вопросы/Ответы
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 9
ЛИТЕРАТУРА 9
Пусть, например, b≠0. Возьмем произвольные числа x1≠x2 и найдем числа y1≠y2 по формуле
Точки (x1-y1), (x2, y2) лежат на этой прямой.
Рассмотрим точки (0,0), (0,1), (1,0). Эти три точки не лежат на одной прямой. Действительно, допустим, что они лежат на некоторой прямой ax + by + c = 0. Подставляем координаты точек в это уравнение, получим a=0, b=0, c=0.Ghb ‘njv получим противоречие нашему определению прямой.
Теперь, дадим арифметический смысл понятию «длина отрезка».
Назовем число расстоянием между точкам (x1-y1), (x2, y2). Длиной отрезка называют расстояние между его концами. В этом случае выполняется аксиома существования отрезка данной длины.
Действительно, каким бы ни было число d>0, существует отрезок длины d. Таким отрезком будет, например, отрезок с концами в точках (0,0), (d,0) т.к. .
Теперь проверим выполнимость аксиомы параллельности, а именно: покажем, что в декартовой реализации через точку , которая не лежит на прямой ax + by + c = 0, можно провести не больше одной прямой параллельной ей.
Допустим, существует две прямые , которые проходят через данную точку и параллельны данной прямой. Тогда имеем системы уравнений:
, они будет несовместны.
Тогда выполняется условие:
. Отсюда выходит, что . Поскольку система уравнений имеет решение , то ее уравнения линейно независимы. А это означает, что прямые совпадают, что противоречит условию.
Аналогично можно показать, что в данной реализации выполняются все аксиомы евклидовой геометрии и геометрии Гильберта.
Мы построили арифметическую реализацию системы аксиом евклидовой геометрии, найдя геометрическим понятиям конкретный арифметический смысл и показав, что все аксиомы евклидовой геометрии в этой реализации выполняются. Поскольку аксиомы геометрии в этой реализации доказывались на основе аксиом арифметики, то вопрос о непротиворечивости системы аксиом евклидовой геометрии сводится к
вопросу о непротиворечивости арифметики, таким образом, евклидова геометрия непротиворечива, поскольку непротиворечива арифметика действительных чисел.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ:
Евклид внес колоссальный вклад в систематизацию понятий геометрии. Существуют, также, неевклидовы системы аксиом. Непротиворечивость является одним из требований к любой системе аксиом наравне с требованиями полноты и независимости. В данной работе приведен пример доказательства непротиворечивости системы аксиом на основе доказательства непротиворечивости аксиом арифметики.
ЛИТЕРАТУРА:
Дубнищева Т.Я. Концепции современного естествознания: учеб. пособие для студ. вузов / Татьяна Яковлевна Дубнищева. — 6-е изд., испр. и доп. — М.: Издательский центр «Академия», 2006. — 608 с., стр 10.
Костин В. И. Основания Геометрии, Издание 2е,. — М.: Гос. Учебно-педагогическое издательство министерства просвещения РСФСР,1948., 306с, стр. 156
Гильберт Д., Основания геометрии, пер. с нем., М.-Л., 1948, 256с, стр.13
1
2. Костин В. И. Основания Геометрии, Издание 2е,. — М.: Гос. Учебно-педагогическое издательство министерства просвещения РСФСР,1948., 306с, стр. 156
3. Гильберт Д., Основания геометрии, пер. с нем., М.-Л., 1948, 256с, стр.13
Вопрос-ответ:
Какое условие должны удовлетворять точки, лежащие на одной прямой?
Точки, лежащие на одной прямой, должны удовлетворять уравнению прямой ax + by + c = 0.
Можно ли утверждать, что точки (0, 0), (0, 1) и (1, 0) лежат на одной прямой?
Нет, эти три точки не лежат на одной прямой. Если бы они лежали на одной прямой, то их координаты удовлетворяли бы уравнению прямой. Однако, после подстановки координат в это уравнение получается противоречие, что означает, что точки не лежат на одной прямой.
Какие числа нужно взять для получения чисел y1 и y2?
Для получения чисел y1 и y2 нужно взять произвольные числа x1 и x2 и использовать формулу, которая связывает координаты точек, лежащих на одной прямой.
Что произойдет, если точки (0, 0), (0, 1) и (1, 0) лежат на некоторой прямой?
Если точки (0, 0), (0, 1) и (1, 0) лежат на некоторой прямой, то их координаты удовлетворяют уравнению этой прямой ax + by + c = 0. Однако, если мы подставим координаты этих точек в это уравнение, получим противоречие с нашим определением прямой.
Какое противоречие возникает при подстановке координат точек (0, 0), (0, 1) и (1, 0) в уравнение прямой?
При подстановке координат точек (0, 0), (0, 1) и (1, 0) в уравнение прямой ax + by + c = 0 получается противоречие с нашим определением прямой. Это противоречие свидетельствует о том, что эти три точки не лежат на одной прямой.
Каково определение прямой в евклидовой геометрии?
Прямая в евклидовой геометрии определяется как множество точек, которое удовлетворяет уравнению ax + by + c = 0, где a, b и c - произвольные числа, и a и b не равны одновременно нулю.
Как можно доказать, что три точки (0, 0), (0, 1) и (1, 0) не лежат на одной прямой?
Для доказательства этого предположим, что эти три точки лежат на некоторой прямой ax + by + c = 0. Подставим координаты точек в это уравнение и получим a*0 + b*0 + c = 0, a*0 + b*1 + c = 0 и a*1 + b*0 + c = 0. Так как a и b не равны одновременно нулю, получаем противоречие с нашим определением прямой.
Каким образом можно найти координаты точек y1 и y2, если известны координаты точек x1 и x2?
Чтобы найти координаты точек y1 и y2 по известным координатам точек x1 и x2, необходимо использовать формулу ax + by + c = 0, где a, b и c - произвольные числа. Подставьте координаты точек x1 и x2 в это уравнение и решите его относительно y.
Какое условие должно быть выполнено для определения прямой в евклидовой геометрии?
Условие, которое должно быть выполнено для определения прямой в евклидовой геометрии, заключается в том, что коэффициенты a и b в уравнении ax + by + c = 0 должны быть ненулевыми одновременно.
Каким образом можно доказать, что три точки не лежат на одной прямой в евклидовой геометрии?
Чтобы доказать, что три точки не лежат на одной прямой в евклидовой геометрии, необходимо предположить обратное и подставить координаты этих точек в уравнение прямой ax + by + c = 0. Если получится противоречие, то это будет означать, что точки не лежат на одной прямой.
Что такое евклидова геометрия?
Евклидова геометрия - это классическая геометрия, основанная на аксиоматической системе, разработанной Евклидом. В евклидовой геометрии используются понятия точек, прямых, отрезков, углов и т.д., а также принимаются определенные аксиомы (несуперпозиция, сумма углов треугольника и др.), которые описывают свойства этих понятий и их взаимное расположение.
Что значит, что евклидова геометрия непротиворечива?
Непротиворечивость евклидовой геометрии означает, что в рамках ее аксиоматической системы нельзя вывести противоречивые утверждения. Это связано с тем, что аксиомы, на которых основана геометрия, являются истинными по определению и не могут быть опровергнуты. Таким образом, все высказывания, полученные из аксиом и логических правил, будут согласованы и логически верными в рамках евклидовой геометрии.