Методы линейного программирования в исследованиях в менеджменте

Рисунок 3 – Целевая функция2.2. Применение графического метода линейного программирования для исследованияПоскольку графический метод позволяет исследовать выпуск только двух изделий, то рассмотрим производство, позволяющее сохранить производство конфет «Батончик», помимо которого будет изготовляться конфета «Ореховый звон». Расходы сырья, прибыль от продажи и запасы сырья представлены в таблице 3.Таблица 3 – Расходная матрицаРесурсы Запасы Продукты БатончикОреховый звонТемный шоколад141110,8Светлый шоколад1490,10,2Сахар815,50,60,3Карамель4660,30,2Орехи10800,90,7Прибыль/пакет, тыс. руб.1,11Обозначим количество производимых конфет «Батончик» –Х1и «Ореховый звон»— Х2. Целевая функция (прибыль) –будет иметь видP=1,1X1+X2, а ограничения состоят в том, что расход ресурсов не должен превышать их запасы: темный шоколадХ1+0,8Х2 ≤ 1411, светлый шоколад0,1Х1+0,2Х2 ≤ 149, сахар0,6Х1+0,3Х2 ≤ 815,5, карамель 0,3Х1+0,2Х2 ≤ 466, орехи 0,9Х1+0,7Х2 ≤ 1080. Любой план выпуска продукции цеха характеризуется двумя числами Х1и Х2 , поэтому его можно изобразитьточкой на плоскости в координатах (Х] и Х2). Построим на графике линии, изображающие предельные расходы ресурсов:Х1+0,8Х2 ≤ 1411, 0,1Х1+0,2Х2 ≤ 149, 0,6Х1+0,3Х2 ≤ 815,5, 0,3Х1+0,2Х2 ≤ 466, 0,9Х1+0,7Х2 ≤ 1080. На рис. 4 построены все пять линий - границы области допустимых планов.Рисунок 4 – Графический методОбластьдопустимых планов – это область, ограниченная пересечением линии светлого шоколада и орехов. Любая точка, лежащая внутри данной области, имеет координаты Х1, Х2 удовлетворяющие всем ограничениям на расход ресурсов, а также требованию положительности переменных решения. Теперь изобразим выражение для прибыли от производства Х1«Батончика» и Х2 «Орехового звона». Очевидно, что максимум прибыли достигается в угловой точке области допустимых планов. Прямая, которая проходит через эту точку, - последняя из семейства прямых прибыли, которая имеет хотя бы одну общую точку с областью допустимых планов. В данном случае оптимальный план лежит на пересечении границ ресурсов "светлый шоколад" и "орехи". Остальные ресурсы при этом расходуется не полностью. Это означает, что координаты точки, соответствующей оптимальному плану, одновременно удовлетворяют уравнениям двух линий, изображающих предельные расходы ресурсов "светлый шоколад " и " орехи ": 0,1Х1+0,2Х2 ≤ 149, 0,9Х1+0,7Х2 ≤ 1080.Решив эту систему уравнений, получаем значения Х1=1015,45, Х2 =237,27. При этом максимальная прибыль составит 1354,273. Значит необходимо производить конфеты «Батончик» в объеме 1015 т и «Ореховый звон» - 237, 27т. Если сравнить полученные результаты с результатами производства пяти видов конфет, то заметно, что прибыль снизилась незначительно. Однако, данный вид производства приводит к значительным остаткам сырья на складе, и, следовательно, к издержкам на их хранение.Заметим, что подобное графическое решение очень трудно провести для большего количества конфет, поскольку получается многогранник в многомерном пространстве.Поэтому, графическое решение нельзя рассматривать как практический метод решения задач линейного программирования. Однако проведенный графический анализ дает важное представление о том, где находится оптимальный план-решение задачи линейной оптимизации. 2.3 Составление оптимального плана перевозокРассмотрим составление оптимального плана перевозок кондитерских изделий от четырех поставщиков к пяти потребителям. Издержки перевозки единицы груза от i-го поставщика в j-й пункт назначения, запасы поставщиков и заказы потребителей представлены в таблице 4.Таблица 4– Матрица затрат, руб.ПотребителиПоставщики12345ЗапасыS113070140705030S211080120608048S3601001008011020S41408010010015030Заказы1827422615Составим оптимальный план перевозок в MSExcel. Для этого проверим, является ли модель транспортной задачи сбалансированной, количество запасов товара должно быть равно суммарному объему потребности в продукции: 30 + 48 + 20 + 30 = 18 + 27 + 42 + 26 + 15. Значит модель сбалансированная.Введем стоимость перевозки единицы продукции в рабочие ячейки Excel.Рисунок 5 – Стоимость перевозокТеперь сформулируем ограничения. Первое – это неотрицательностьобъема перевозимой продукции.Введем формулы для расчета суммарного заказа на поставку. Данное значение должно быть меньше или равно имеющимся заказам.Рисунок 6 – Матрица перевозокВведем формулы для расчета реализованной продукции. Оно должно быть больше или равно запасам продукции.Рисунок 7 - ОграниченияСоставляем целевую функцию, которая равна сумме произведений стоимостей единицы перевозки товаров на искомые значения транспортных расходов.С помощью сервиса «Поиск решения» получим оптимальные переменные при заданных ограничениях.Рисунок 8 – Поиск решенияРисунок 9 - ПрибыльТаким образом, получаем оптимальный план перевозок, который состоит в том, что потребителю 1 поставщик 3 доставляет 18 ед. продукции, второму потребителю поставщик 1 доставляет 15 ед, а поставщик 2 – 12 ед, потребителю 3 доставку осуществляют поставщики 2 (10 ед.), 3 ( 2 ед.), 4 (30 ед.). потребителю 4 – поставщик 2 26 ед., поставщик 1 – потребителю 5 15 ед. Данный план перевозки полностью удовлетворяет заказ на доставку.ЗаключениеКруг развитых к настоящему времени моделей и методовлинейного программирования для исследования операций весьма широк. Все они возникли как ответ на непосредственный заказ практического бизнеса, поэтому их распространенность в реальной деловой практике сейчас очень велика. Несомненно, наиболее активно количественные методы и модели ЛП, а также методы, основанные на ЛП, использует операционный менеджмент для организации процесса производства товаров и услуг; планирования систем массового обслуживания; организации транспортных перевозок; управления производственными и оптовыми складами; управления проектами и т.д.. Использование методов линейного программирования является неотъемлемой частью маркетинговых исследований и определяет выработку правильной стратегии фирмы.В данной работе рассматриваются методы линейного программирования, а также их применение (максимизируется прибыль предприятия с помощью симплекс-метода; составляется оптимальныйплан перевозок предприятия). Это можно объяснить тем, что • очень много важных для практики проблем, относящихся к самым разным сферам деятельности, можно проанализировать с помощью моделей линейного программирования; • существуют эффективные и универсальные алгоритмы решения задач линейного программирования, которые реализованы в общедоступном программном обеспечении; • методы анализа моделей линейного программирования не просто позволяют получить оптимальное решение, но и дают информацию о том, как может изменяться это решение при изменении параметров модели. Именно эта информация, позволяющая получить ответы на вопросы типа "что, если...", представляет особую ценность для лица, принимающего решение.Получение оптимального решения оптимизационной задачи линейного программирования - это не конец, а скорее только начало работы менеджера с количественной моделью. Во время формулировки модели, все количественные величиныразбиваются на две группы. К первой группе относятся величины, которые можно менять в процессе поиска значения целевой функции. Вторая группа – это величины, которые считаются постоянными. К таким параметрам относятся параметры, которые характеризуют технологический процесс (величины расхода сырья). Менеджер не может изменить их, это в компетенции технолога. Однако варьирование ресурсов, доступных для производства(запасы сырья, имеющиеся на складе), относится к работе менеджера. Также важный управленческий вопрос – это установление отпускных цен на продукцию предприятия, что скажется на изменении прибыли. Таким образом, многие параметры модели могут (и должны) изменяться менеджером с целью поиска путей улучшения работы системы. Список использованной литературыАкулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах./И.Л. Акулич. - Минск : Высшая школа - 2012.–357 с.Гельман В.Я. Решение математических задач средствами Excel: Практикум./ В.Я. Гельман. – СПб.: Питер, 2015. – 237 с.Зайцев М.Г.Методы оптимизации управления для менеджеров / Зайцев М.Г.– М: Наука, 2013. – 532с.Иванов Ю.П., Лотов А.В. Математические модели в экономике./ Ю.П. Иванов. – М: Наука, 2011. – 234с.Карасев А.Н., Кремер Н.Ш. , Савельева Т.Н. Математические методы в экономике/ Карасев А.Н., Кремер Н.Ш. , Савельева Т.Н.–М: Наука – 2015. – 412с.Козловский В.А. Маркина Т.Н., Макаров В.М. Производственный и операционный менеджмент: Учебник и практикум "Специальная литература", / Козловский В.А. Маркина Т.Н., Макаров В.М. - СПб., 2016. – 376с.Красс М.С., Чупрынов Б.ПОсновы математики и ее приложений в экономическом образовании. Разд. II "Основы оптимального управления". / Красс М.С., Чупрынов Б.П - М.: Дело 2013. – 393с.Кузнецов, А.Г., Новикова,Г.И., Холод.И.И. Высшая математика. Математическое программирование./А.Г.Кузнецов,Г.И. Новикова, И.И. Холод. - Минск: Высшая школа, 2014. – 160с.Моисеев, Н.Н., Иванов, Ю.П., Столяров, Е.М. Методы оптимизации. / Н.Н. Моисеев, Ю.П. Иванов, Е.М. Столяров. – М.: Наука, 2016. – 290с.Павлова Т.Н., Ракова О.А.. Решение задач линейного программирования средствами EXCEL. Учебное пособие. / Павлова Т.Н., Ракова О.А.. - Димитровград, 2015. – 312с.Томас Р. Количественные методы анализа хозяйственной деятельности. / Томас Р. - М.: Дело и Сервис. – 2014. – 290с.Фомин Г.П. Математические методы и модели и коммерческой деятельности, / Фомин Г.П. - М.: Финансы и статистика, 2014. – 452с.Шапкин А.С., Мазаев Н.П. Математические методы и методы исследования операций. / Шапкин А.С., Мазаев Н.П. – М:Высшая школа - 2014. – 312с.Эддоус М., Степфилд Р. Методы принятия решений. / Эддоус М., Степфилд Р. - М :ЮНИТИ-Аудит 2015. – 345с.