Применение линейного программирования при принятии управленческих решений

∑a = 30 + 48 + 20 + 30 = 128∑b = 18 + 27 + 42 + 26 + 15 = 128Условие баланса соблюдается. Запасы равны потребностям. Следовательно, модель транспортной задачи является закрытой.Для решения в табличном процессоре Excel мы должны представить математическую модель задачи в табличном виде. Минимальные издержки составят 9800 в неделюОптимальный план перевозок в неделю (вагоны):Из 1-го склада необходимо груз направить на Завод Б (15), на Завод Д (15)Из 2-го склада необходимо груз направить на Завод Б (12), в на Завод В (10), в на Завод Г (26) на Завод В (2)Из 4-го склада необходимо весь груз направить на Завод В.2.3 Задача коммивояжераВ задаче коммивояжера для формирования оптимального маршрута объезда n городов необходимо выбрать один лучший из (n-1)! вариантов по критерию времени, стоимости или длине маршрута. Эта задача связана с определением гамильтонова цикла минимальной длины. В таких случаях множество всех возможных решений следует представить в виде дерева - связного графа, не содержащего циклов и петель. Корень дерева объединяет все множество вариантов, а вершины дерева это подмножества частично упорядоченных вариантов решений [5, стр. 51].Рассмотрим решение такой задачи применительно к производству на примере.Пример 3.Имеется производственная линия для производства 5 красок разного цвета. Всю производственную линию будем считать коммивояжером. Будем считать также, что единовременно на линии можно производить только одну краску, поэтому краски нужно производить в некотором порядке. Поскольку производство циклическое, то краски надо производить в циклическом порядке. После окончания производства одной краски и перед началом производства другой краски оборудование надо отмыть от предыдущей краски. Для этого требуется время C[i,j]. Очевидно, что C[i,j] зависит как от предыдущей краски, так и от последующей. За один цикл мы должны произвести все 5 красок. С помощью алгоритма решения задачи о коммивояжере постройте оптимальный по времени отмывки линий цикл производства красок. Время на отмывку в минутах задается в таблице:К1К2К3 К4 К5 К1- 10 12 20 17 К28 - 11 9 5 К3 10 7 - 4 8 К412 10 6 - 16 К5 15 7 8 11 - Введем обозначения. Пусть хij - время на отмывку i-й краски при переходе к производству j-ой, причем если используем его, то значение переменной хij=1, иначе хij=0.Сумма всех вариантов сочетаний перемещений должна быть равна 1. Тогда, обозначив через х11, х12, х13, х14, х15 пути, выходящие из К1, получим уравнение: х11+х12+х13+х14+х15= 1.Аналогичные уравнения можно составить для других вариантов маршрутов.Первая группа ограничений: х11+х12+х13+х14+х15 = 1х21+х22+х23+х24+х25 = 1х31+х32+х33+х34+х35 = 1х41+х42+х43+х44+х45 = 1х51+х52+х53+х54+х55 = 1х11+х21+х31+х41+х51 = 1х12+х22+х32+х42+х52 = 1х13+х23+х33+х43+х53 = 1х14+х24+х34+х44+х54 = 1х15+х25+х35+х45+х55 = 1Для исключения образования так называемых «петель»введем также дополнительные ограничения, следующие из условия, что сумма возможностей прохода по одной ветви туда и обратно равна 1, т.е. хij+xj1=1Вторая группа ограничений: х12+х21≤1х13+х31≤1х14+х41≤1х15+х51≤1х23+х32≤1х24+х42≤1х25+х52≤1х34+х43≤1х35+х53≤1х45+х54≤1Для исключения возможности производства одной и той же краски на переменные с одинаковыми индексами наложить условие равенства нулю, т.е. х11=0 или задать большое время выполнения.Целевая функция. Решение в Excel. Ответ: Таким образом, предлагается оптимальный маршрут производства красок: К1-К2-К5-К3-К4 При этом суммарное время составит 39. 2.4 Задача о назначенияхВ общем виде следующая формулировка: имеется n работ и n кандидатов для их выполнения. Затраты i – того кандидата на выполнение j – той работы равны cij (i, j = 1, …, n). Каждый кандидат может быть назначен на одну работу и каждая работа может быть выполнена только одним кандидатом. Требуется найти назначения кандидатов на работы, при котором суммарные затраты на выполнение работ минимальны. Проиллюстрируем постановку и решение данной задачи.Пример 4.Мастер должен назначить 7 слесарей-ремонтников (А, B, … H) ремонтировать сельскохозяйственную технику (К-701, Т-150М и т.д.), имеющую разного рода неисправности после окончания уборочной. Время (в часах), которое каждый слесарь тратит на выполнение данного вида ремонта (по наблюдениям нормировщицы), приведено в таблице. Определите оптимальную расстановку слесарей по участкам работы, при которой суммарное время на выполнение работ будет минимально.Каково минимальное суммарное рабочее время, требующееся на выполнение ремонта? Так как это задача – задача о назначениях, то переменные должны принимать одно из двух возможных значений: 0 или 1.Для запрета назначения в ячейках устанавливаем высокое значение рабочего времени 1000.Целевая функция – минимальное суммарное рабочее время. F = ∑∑cijxij,Ограничения: x11+x12+x13+x14+ x15 + x16 + x17 =1 x21+x22+x23+x24+x25 + x26 + x27 =1 x31+x32+x33+x34+x35 + x36 + x37 =1 x41+x42+x43+x44+x45 + x46 + x47 =1 x51+x52+x53+x54+x55 + x56 + x57 =1 x61+x62+x63+x64+x65 + x66 + x67 =1 x71+x72+x73+x74+x75 + x76 + x77 =1 x11+x21+x31+x41+x51 +x61 + x71 =1 x12+x22+x32+x42+x52 +x62 + x72 =1 x13+x23+x33+x43+x53 +x63 + x73 =1 x14+x24+x34+x44+x54 +x64 + x74 =1 x15+x25+x35+x45+x55 +x65 + x75 =1 x16+x26+x36+x46+x56 +x66 + x76 =1 x17+x27+x37+x47+x57 +x67 + x77 =1 Решение в Excel.Согласно полученному результату наименьшее суммарное время работы 88ч. ЗаключениеРасполагая математической моделью объекта управления, можно решать различные задачи оценивать те или иные решения, проводить исследования типа «что будет, если...» и многое другое. Понятно, что наибольший интерес в реальном менеджменте представляют задачи, связанные с нахождением наилучшего из возможных решений, которые называют задачами оптимизации.При постановке любой задачи оптимизации, как правило, необходимо определиться со следующими вопросами:что значит «наилучшее решение» (какой критерий или критерии оптимальности выбрать);за счет чего можно добиться наилучшего решения (какие характеристики объекта управления изменить);какие из решений являются допустимыми;в каких пределах можно изменять характеристики объекта управления для достижения наилучших результатов?Выбор критериев (показателей эффективности) и условий оптимизации (максимизировать или минимизировать критерий) являются прерогативой лица, принимающего решение. Определяющим при этом всегда является цель. Выбор критерия часто позволяет подготовить ответ и на второй вопрос: определить и отобрать те факторы характеристики объекта управления, с помощью которых (изменяя которые) лицо, принимающее решение, может управлять процессом. Выбор ответа за лицом, принимающим решение. Именно лицо, принимающее решение, в зависимости от стоящих перед ним задач, его полномочий и информационного состояния, формирует перечень факторов и признаков (переменных решения), с помощью которых будет достигаться наилучшее из доступных ему решений.Список использованной литературыИсследование операций в экономике: Учебн. пособие для вузов / Н.Ш. Кремер и др.; Под ред. Н.Ш. Кремер. М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 2014. 407 с.Экономико-математические методы и прикладные модели: Учебн. пособие для вузов / В.В. Федосеев и др.; Под ред. В.В. Федосеева. М.: ЮНИТИ, 2009. 391 с.3.Багриновский К.А., Матюшок В.М. Экономико-математические методы и модели (микроэкономика): Учебн. пособие. М.: Изд-во РУДН, 2013. 183 с.4.Томас Р. Количественные методы анализа хозяйственной деятельности. М.: «Дело и Сервис», 2012. 432 с.5.Хазанова Л.Э. Математическое моделирование в экономике: Учебн. пособие. М.: Изд-во «Бек», 2008. 141 с.