Различные способы решения логических задач

Это означает, что в большом сосуде 3 литра воды, а в малом сосуде воды нет, то есть вода перелита из малого сосуда в большой сосуд.Если проследить дальнейший путь шара, и записывать все этапы его движения в виде отдельной таблицы (рис.2.8), в результате, можно попасть в точку Н, которая соответствует состоянию, когда малый сосуд пуст, а в большом сосуде 4 литра воды. Таким образом, получен ответ и указана последовательность переливаний, позволяющих отмерить 4 литра воды. Все 8 переливаний изображены схематически в таблице (рис.2.8).Рисунок 2.8 Этапы движения бильярдного шара2.6 Метод кругов ЭйлераДанный метод позволяет графически решать математические задачи на основе применения теории множеств.Задача 8.Из 37 студентов курса 27 изучают французский язык, 18 – английский язык, а 12 французский и английский языки. Сколько студентов курса не изучают ни французский, ни английский языки?Решение:ПустьС – множество всех студентов курса, А - множество студентов курса, изучающих французский язык, B множество студентов курса, изучающих английский язык.По условию задачи имеем:, , , . Требуется найти число студентов курса, не изучающих ни французского, ни английского языка.Изобразим данные множества при помощи кругов Эйлера и определим число элементов в каждом из непересекающихся подмножеств (рис. 2.9). Так как в пересечении множеств A и B содержится 12 элементов, то студентов, изучающих только французский язык, будет 15 (27 12 = 15),а студентов, изучающих только английский язык – 6(18 12 = 6).Тогда n(AВ) = 15 + 12 + 6 = 33, и, следовательно, число студентов курса, которые не изучают ни французский, ни английский языки, будет.Рисунок2.9 Диаграмма ЭйлераОтвет: 4 студента не изучают ни французский, ни английский языки.2.7 Решение логических задач средствами алгебры логики2.7.1 Алгебра высказываний. Основные логические операцииМышление всегда осуществляется в каких-то формах. Основные формы мышления понятие, высказывание, умозаключение.Понятие– это форма мышления, которая фиксируюет основные, существенные признаки объекта.Высказывание– это форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о свойствах реальных предметов и отношениях между ними. Умозаключение– это форма мышления, с помощью которой из одного или нескольких суждений (посылок) может быть получено новое суждение (заключение).Объектом алгебры высказываний является повествовательное предложение, относительно которого имеет смысл говорить истинно оно или ложно. Такое предложение называют простым высказыванием. В алгебре высказываний высказывание обозначается именем логической переменной: А=1 (если высказывание истинно), А=0 (если высказывание ложно).Над высказыванием можно производить определенные логические операции, в результате чего получаются новые, составные высказывания. К таким логическим операциям относится: логическое умножение (конъюнкция), логическое сложение (дизъюнкция), логическое отрицание (инверсия), логическое следование (импликация), логическое равенство (эквивалентность). 1. Операция, выражаемая связкой «и», называется конъюнкцией (лат. conjunctio соединение) или логическим умножением и обозначается знаком & (может также обозначаться знаками ^ или •). Высказывание А & В истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В истинны.2. Операция, выражаемая связкой «или» (в неразделительном, неисключающем смысле этого слова), называется дизъюнкцией (лат. disjunctio разделение) или логическим сложением и обозначается знаком v (или плюсом). Высказывание А v В ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В ложны.3. Операция, выражаемая словом «не», называется отрицанием и обозначается чертой над высказыванием. Высказывание A истинно, когда A ложно, и ложно, когда истинно.4. Операция, выражаемая связками «если ..., то», «из ... следует», «... влечет ...», называется импликацией (лат. implico тесно связаны) и обозначается знаком =>. Высказывание А => В ложно тогда и только тогда, когда А истинно, а В ложно.5. Операция, выражаемая связками «тогда и только тогда», «необходимо и достаточно», «... равносильно ...», называется эквивалентностьюили двойной импликацией и обозначается знаком <=> или ~ . Высказывание А<=> В истинно тогда и только тогда, когда значения А и В совпадают. Порядок выполнения логических операций задается круглыми скобками. Но для уменьшения числа скобок договорились считать, что сначала выполняется операция отрицания («не»), затем конъюнкция («и»), после конъюнкции дизъюнкция («или») и в последнюю очередь – импликация, эквивалентность.2.7.2 Законы алгебры логикиЗаконы алгебры логики отражают наиболее важные закономерности логического мышления. Представлены они в виде формул и позволяют производить тождественные преобразования логических выражений.Закон тождества. А = А.Закон непротиворечия. А & = 0.Закон исключенного третьего. А v = 1.Закон двойного отрицания. = А.Законы де Моргана. = & = v .Следующие три закона имеют аналоги в обычной алгебре.Закон коммутативности. В алгебре высказываний можно менять местами логические переменные при операциях логического умножения и логического сложения:А & В = В & А А v В = В v А.Закон ассоциативности. Если в логическом выражении используются только операции логического сложения или логического умножения, то можно пренебрегать скобками или произвольно их расставлять:(А & В) & С = А & (В & С) (А v В) v С = А v (В v С).Закон дистрибутивности. Этот закон позволяет выносить за скобки как общие множители, так и общие слагаемые:(А & В) v (А & С) = А & (В v С) (А v В) & (А v С) = А v (В &С).Законпоглощения. A v (B & A) = A A & (B v A) = A2.7.3 Алгоритм решенияОбычно используют следующую схему решения: Изучение условия задачи; Введение системы обозначений для логических высказываний; Конструирование логической формулы, описывающей логические связи между всеми высказываниями условия задачи; Определение значений истинности этой логической формулы; По истинности логической формулы делается заключение о решении. Задача 9. Намечаются экскурсии в три города А, В и С. Руководитель фирмы сказал: «Неверно, что если будет экскурсия в город В, то не будет экскурсии в город С. Если будет экскурсия в город С, то не будет экскурсии в город А.» В какие города будет проводиться экскурсия?Решение.Введем систему обозначений: высказывание А – будет экскурсия в город А, высказывание В – будет экскурсия в город В, высказывание С – будет экскурсия в город С.Запишем логическую формулу: .Найдем значения истинности этой логической формулы, составив таблицу.Таблица 2.7 Таблица истинности ПеременныеПромежуточные логические формулыФункцияABC000111010001101010010111010011100111100011010101001000110011010111000100Ответ. Из выделенной в таблице строки, получаем, что не будет экскурсии в город А, а будут две экскурсии в города В и С.Задача 10.В процессе составления расписания уроков учителя высказали свои пожелания. Учитель русского языка хочет проводить первый или второй урок, учитель математики – первый или третий, а учитель истории – второй или третий урок. Сколько существует возможных вариантов расписания и каковы они?Решение.Введем обозначения: А – 1-й урок русского языка, В – 2-й урок русского языка, - 1-й урок математики, С – 3-й урок математики, 2-й урок истории, 3-й урок истории. Составим логическую формулу, опираясь на условие задачи: (АvВ) & (vC) & (v). Таблица истинности для нее будет иметь вид (табл. 2.8).Таблица 2.8 Таблица истинностиПеременныеПромежуточные логические формулыФункцияABCАvВvCv(АvВ) & (vC)(АvВ) & (vC) & (v)0001110110000111001100010101111110111001101010001110100101010111111100011010011100011000Ответ. Анализируя таблицу, приходим к выводу, что расписание может быть представлено в двух вариантах:1 урок математика или 1 урок русский язык2 урок русский язык или 2 урок истории3 урок история или 3 урок математика.ЗаключениеЦельюкурсовой работы являлось исследование и описание различных способов решения логических задач. Многообразие методов и способов позволяет решать различные задачи. Выбор способа решения определяется исходя из предпочтений решающего и формулировки задачи.В работе решены поставленные задачи исследования: 1) Подобраны и изучены информационные источники по выбранной проблеме. 2) Изучены методики и способы решения логических задач3) Рассмотрены примеры применения различных способов решения логических задач.4) Сделаны выводы о применимости того или иного способа. Список использованной литературыВиленкин, Н. Я. Алгебра и математический анализ/Н. Я.Виленкин, О. С.И. Ивашев-Мусатов, С. И.Шварцбурд. М.: Просвещение, 2004. 254с.Вильямс, Дж. Д. Совершенный стратег или букварь по теории стратегических игр/ Дж. Д. Вильямс. М.: Просвещение, 2014. 146с.Грешилов, А. А. Как принять наилучшее решение в реальных условиях/А. А.ГрешиловМ.: Радио и связь, 2001. 281с.Дмитриева, А.В. Логические задачи. Методы решения/ А.В. Дмитриева, А.Ф. Овчиников Новосибирск 2005. 196с.Бизам, Д. Игра и логика./ Д.Бизам, Я.Герцог, Москва: Мир, 2005. 225с.Стройк, Д. Я. Краткий курс истории математики. М.: Наука, 2008. 346с.Фаддеев, Д. К. Элементы высшей математики для школьников/Д. К. Фаддеев, М. С.Никулин, И. Ф. Соколовский М.: Наука, 2007. 124с.Хрестоматия по истории математики / Под ред. А. П. Юшкевича. М.: Просвещение, 2007. 446с.