Межпредметные связи математики и физики

Независимо от полученных результатов на следующем уроке можно переходить к четвертому этапу алгоритма преподавания математических понятий, то есть непосредственно к получению новых навыков или знаний.2.4 Четвертый этап «Получение новых навыков или знаний»На данном этапе необходимо преподнести ученикам теоретический материал, запланированный к освоению в рамках рассматриваемой темы.Учитывая подводящие упражнения, которые должны были быть выполнены в качестве домашнего задания, ученикам будет легко понять объяснение понятия определенного интеграла через расчет нижней и верхней сумм Дарбу, а также объяснение понятия производной как разности двух значений функции на бесконечно малом отрезке.В тот момент, когда ученики уже поняли необходимость применения предлагаемого математического аппарата (а, попробовав рассчитать необходимые физические величины путем разбиения на множество линейных отрезков, они должны были оценить трудоемкость процесса и заинтересоваться более простыми вариантами решения), дальнейшее проведение урока по теме ничем не отличается от классического плана урока, так как именно этот этап алгоритма преподавания десятилетиями отрабатывался в классической школьной программе.В то же время необходимо не забывать, что преподносимый материал должен позволить решить поставленную задачу, а решение данной задачи должно быть обязательно доведено до логичного завершения, так как у школьников должны с самого начала обучения формироваться правильные исследовательские навыки, одним из которых является доведение любого начатого проекта или исследования до получения реального практического результата. Такая модель профессионального поведения станет хорошей основой для их последующего обучения на этапе высшего профессионального образования (любой курсовой проект или диплом является законченным проектом, который необходимо довести до логического завершения), а также в последующей трудовой деятельности.Для завершения решения поставленной задачи необходимо освоить следующие математические понятия и приемы:Освоить понятие неопределенного и определенного интегралаНаучиться пользоваться таблицей интегралов (рисунок 7) для решения простейших примеров (таблицу простейших интегралов, приведенную на рисунке 7 необходимо выдать в начале урока ученикам в качестве раздаточного материала [20])Рисунок 7 – таблица простейших интеграловНаучиться применять простейшие правила интегрирования, такие как:Вынесение постоянного множителя за знак интеграла:(8)Интеграл от суммы равен сумме интегралов от слагаемых:(9)Интеграл от функции от (kx+b), где kи b – числа:(10)Освоить понятие производной.Научиться пользоваться таблицей производных (рисунок 8) для решения простейших примеров (таблицу простейших производных, приведенную на рисунке 8 необходимо выдать в начале урока ученикам в качестве раздаточного материала [21])Рисунок 8 – Таблица простейших производныхНаучиться применять простейшие правила дифференцирования, такие как:Вынесение постоянного множителя за знак производной:(11)Производная от суммы или разности двух функций равна сумме или разности производных этих функций:(12)Правило дифференцирования произведения функций:(13)Правило дифференцирования частного отделения двух функций:(14)Рассмотрим решение поставленной задачи на примере участка графика зависимости скорости от времени, для которого аппроксимирующая функция была найдена в параграфе 2.2.Для вычисления пути в любой момент времени, принадлежащий исследуемому участку зависимости, необходимо рассчитать определенный интеграл от найденной аппроксимирующей функции.Обозначим путь пройденный к началу заданного отрезка S0. Тогда, определенный интеграл, который необходимо вычислить будет иметь следующий вид:,(15)где tн = 9c,а зависимость пройденного пути от времени будет иметь следующий вид:(16)Применяя приведенные выше правила интегрирования рассчитаемприведенный выше интеграл и запишем зависимость пройденного пути от времени с учетом результатов вычисления.По правилу вычисления интеграла суммы:(17)Применим правило вынесения постоянного множителя за знак интеграла:(18)Таким образом, в результате преобразований была получена сумма трех табличных интегралов.Используя таблицу интегралов, найдем решение для каждого из интегралов:(19)Подставим полученное выражение в зависимость пройденного пути от времени:(20)На рисунке 9 представлен график зависимости пройденного пути от времени при S0 = 0.Рисунок 9 – График зависимости пройденного пути от времени при S0 = 0Полученный график необходимо сравнить с результатами выполнения домашнего задания.При аккуратном выполнении расчетов в домашнем задании графики должны оказаться достаточно близкими.Также необходимо оценить физический смысл графика, а также его соответствие исходной зависимости скорости от времени на данном участке трассы и схеме трассы.График зависимости пройденного пути от времени, представленный на рисунке 9, соответствует участку графика зависимости скорости от времени, представленному на рисунке 6.Согласно графику на рисунке 9 величина пройденного пути сначала нарастает с увеличивающейся скоростью (примерно до 16 с), а потом скорость нарастания стабилизируется и становится постоянной.Полученные данные хорошо согласуются с изменением скорости на рисунке 6. До середины рассматриваемого участка (то есть как раз до 16 с) происходит резкий набор скорости, а затем темпы набора скорости уменьшаются, что в конце рассматриваемого участка приводит к практически постоянной скорости.Теперь сравним полученный результат со схемой трассы, представленной на рисунке 2.Рассматриваемый участок трассы расположен между точками 2 и 8, отмеченными на схеме трассы. Нетрудно оценить, что длина данного участка должна находиться в пределах одной пятой – одной шестой длины всего круга. Длина круга согласно техническим данным автодрома составляет 5793 метра. Одна пятая круга равна 1159 м, а одна шестая – 966 м. Длина пройденного пути за время между 9 и 24 с, рассчитанная по выведенной формуле, равна 1012 м. Таким образом, полученное значение находится в заданном диапазоне.Если полученное значение оказалось вне пределов заданного диапазона, то необходимо в первую очередь проверить размерности, так как подстановка скорости в километрах в час приведет к значительному увеличению расстояния (примерно в 3,6 раз).Данная ошибка является стандартной не только для учеников, но и для специалистов.Перейдем к расчету перегрузок, возникающих на этом же участке трассы с помощью производной.Известно, что ускорение является производной от скорости по времени.Так как для рассматриваемого участка в параграфе 2.2 была получена аналитическая функция, аппроксимирующая исходную зависимость скорости от времени, то найти её производную можно, используя приведенные выше правила и таблицу простейших производных.Производная, которую необходимо вычислить, имеет следующий вид:(21)Тогда зависимость перегрузки от времени можно записать в следующем виде:(22)Вычислим производную, используя таблицу производных и правила дифференцирования.По правилу вычисления производной суммы:(23)Применим правило вынесения постоянного множителя за знак производной:(24)Таким образом, была получена сумма производных, каждая из которых может быть найдена с помощью таблицы производных.Окончательный результат вычисления производной может быть записан в виде:(25)Следовательно:(26)Для того, чтобы полученное ускорение, отражало величину перегрузки, выраженную в g, его необходимо разделить на величину ускорения свободного падения.В результате для расчета перегрузки в g получим следующую формулу: (g).(27)На рисунке 10 представлен график зависимости перегрузки от времени для рассматриваемого участка трассы.Рисунок 10 – График зависимости перегрузки от времени для рассматриваемого участка трассыКак видно из представленного на рисунке 10 графика, перегрузка линейно уменьшается на всем протяжении разгона, что хорошо согласуется с зависимостью скорости от времени на данном участке трассы.Известно, что, чем более быстрым является разгон или торможение, тем сильнее перегрузки. В начале рассматриваемого участка происходит более быстрый набор скорости, которому соответствуют большие перегрузки. Затем темпы набора скорости уменьшаются, что приводит к уменьшению перегрузок. В самом конце рассматриваемого участка начинается торможение, что приводит к изменению знака перегрузок (после 23 с).На примере рассматриваемой задачи удалось объяснить необходимость применения практически всех правил, которые используются для вычисления производных и интегралов в школьном курсе математики, а также заложить основы понимания проектной или исследовательской деятельности, которая подразумевает под собой умение разбить большую задачу на множество мелких, найти правильное решение для каждой маленькой задачи на основе уже имеющихся знаний, а при их нехватке получить новые знания путем изучения соответствующих источников информации.2.5 Пятый этап «Многократное применение на практике, приводящее к прочному усвоению нового навыка»На пятом этапе учеников требуется разделить на три группы, каждой из которых необходимо провести все этапы решения подзадачи аналогичной только что рассмотренной для своего участка разгона.В предыдущих параграфах был подробно проанализирован первый участок разгона. Неохваченными остаются три больших участка разгона, то есть по одному на каждую группу. Маленькие участки разгона во внимание не принимаются, так как они могут без больших потерь точности быть аппроксимированы линейной функцией.Следовательно, каждой из групп необходимо будет решить свою подзадачу по следующему алгоритму:Найти координаты вершины аппроксимирующей параболы для своего участка трассы.Продлить график до пересечения с осью времени и наитии координаты точки пересечения.Подставив полученные данные в систему уравнения (6), рассчитать коэффициенты квадратного уравнения, соответствующего аппроксимирующей параболе.Записать аппроксимирующую функцию для своего участка графика зависимости скорости от времени.Проинтегрировать данную функцию (подынтегральное выражения будет отличаться от рассмотренного только коэффициентами, поэтому алгоритм интегрирования останется прежним).Записать зависимость пройденного пути от времени.Продифференцировать данную функцию (подынтегральное выражения будет отличаться от рассмотренного только коэффициентами, поэтому алгоритм дифференцирования останется прежним).Записать зависимость перегрузки от времени.Проверить реалистичность полученных данных. Так как имеется схема трассы, то по ней можно оценить, в каком диапазоне значений должен располагаться путь, пройденный на рассматриваемом участке. Если путь находится вне диапазона значений, то необходимо оценить, в каком месте расчета наиболее вероятна ошибка, найти её и устранить.Если найти ошибку самостоятельно не удается, то учитель может указать на её местонахождение.Перегрузки должны не превышать 5g, так как согласно техническим данным автодрома – это максимальное значение для данной трассы.Когда все группы получат решение для своей части графика и проверят его на реалистичность, необходимо собрать воедино решения для всех участков графика как линейных, так и нелинейных.Полный путь, равный сумме путей, пройденных на всех участках, должен быть приблизительно равен длине круга, а максимальные перегрузки приближаться к 5g.При необходимости дополнительного повторения материала можно видоизменить имеющуюся задачу путем выбора другой зависимости скорости от времени (для другого гонщика, для другой трассы, для другого вида спорта и т.д.).Также можно усложнить имеющуюся задачу, заменив аппроксимацию наиболее простых участков линейной функцией на аппроксимацию функциями другого вида.В этом случае учитель должен заранее предусмотреть данную возможность, чтобы не было необходимости во время занятия тратить время на подбор наиболее подходящих для аппроксимации функций высших порядков. 2.6 ВыводыВо второй главе рассмотрен пример построения преподавания двух основных математических понятий (производной и интеграла) в рамках «интегрированного учебного предмета».На основе темы «Изучение движения» дисциплины «Физика» разработана задача, которая является актуальной и понятной для современных школьников.Для иллюстрации условий задачи могут быть использованы все виды наглядного материала:ВидеороликПрезентацияЭлектронная доска (удобна для пошагового объяснения процессов интегрирования и дифференцирования)Раздаточный материал (таблицы интегралов и производных)Задача отвечает всем требованиям, описанным в первой главе:Может быть разделена на подзадачи различного уровня сложности, предоставляющие как возможность применения уже известного ученикам математического аппарата, так и перспективу для изучения нового.Позволяет организовать работу в группах (обладает достаточным количеством схожих подзадач).Вариативна (возможна адаптация данной задачи для классов различного уровня подготовки).Актуальна (задача не теряет своей актуальности со временем, так как может быть модернизирована путем замены данных прошлого года на данные следующего).Подробно рассмотрены все этапы решения данной задачи на уроке, а также варианты домашнего задания для классов разного уровня.Обозначены наилучшие места для объяснения теории, а также внедрения командной работы и обучения базовым навыкам работы над проектами.Указаны виды наиболее часто встречающихся ошибок, алгоритм их поиска и устранения.ЗАКЛЮЧЕНИЕВ результате работы был разработан алгоритм преподавания математических понятий, входящих в основную образовательную программу для 10-11 классов, в рамках «интегрированного учебного предмета», основанного на физике и математике, результатом применения которого должно стать повышение интереса школьников к основным математическим понятиям, изучаемым в старших классах школы, путем наглядной демонстрации их применения для оценки физических величин.Для достижения данной цели были решены следующие задачи:Исследовано современное состояние методик преподавания абстрактных предметов на примере математики. На основе проведенного исследования сделаны выводы о том, что основной причиной отсутствия интереса к изучаемым математическим понятиям является несоответствие алгоритма преподавания естественному алгоритму приобретения навыков и знаний. В то время, как естественный алгоритм приобретения навыков и знаний состоит из пяти основных этапов (возникновение проблемы, попытка решения проблемы на основе имеющихся знаний, поиск новых путей решения, получение новых навыков или знаний, многократное повторение применения новых навыков), алгоритм преподавания включает в себя лишь четыре этапа, пропуская первый этап алгоритма естественного приобретения навыков, который отвечает за формирование интереса к решаемой проблеме.Учитывая причину отсутствия интереса выявленную при исследовании современных методик преподавания математики, был разработан алгоритм преподавания, который полностью соответствует алгоритму естественного познания. Применение данного алгоритма возможно в рамках интегрированного учебного предмета, построенного на основе двух предметов: физики и математики. На первом этапе ведущая роль отводится физике, как менее абстрактному предмету, проблемы изучаемые в рамках которого более близки и понятны ученикам. На следующих четырех этапах основная роль принадлежит математике, что не означает полного отсутствия элементов физики в эти моменты. На любом этапе решения задачи её физический смысл помогает вовремя заметить ошибки и устранить ихРазработанный алгоритм применен на практике для построения плана преподавания таких математических понятий, изучаемых в рамках основной образовательной программы по математике для 10-11 классов, как производная и интеграл. Разработана физическая задача, соответствующая интересам современных школьников, для решения которой необходимо применение производных и интегралов. Рассмотрен поэтапный план проведения уроков, соответствующей тематики с подробным объяснением:решения задачи, возникающих в процессе решения проблем и путей их решения, наиболее часто встречающихся ошибок и способов их устранения,вариантов домашних заданий и результатов их выполнениястратегии обучения учеников проектной деятельности и командной работе в процессе выполнения задачиалгоритма самостоятельного поиска ошибок, основанного на реалистичности полученных результатов (применение данного алгоритма возможно только для задач, которые построены на основе реальных данных). СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВОб утверждении Федерального государственного образовательного стандарта среднего (полного) общего образования: приказ от 17.05.2012 № 413 // Вестник образования России. - 2012. - № 15, 16, 17,18. - Изм. и доп. от 29.12.2014г. см.//ОДО.2015.№12.С.5-66.ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ СТАНДАРТ СРЕДНЕГО ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ (10-11 КЛ.)[Электронный ресурс] // Федеральные государственные образовательные стандарты. М.: Институт стратегических исследований в образовании РАО. URL:http://xn--80abucjiibhv9a.xn--p1ai/%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D1%83%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D1%8B/2365Об утверждении Федерального государственного образовательного стандарта основного общего образования: приказ от 17.12.2010 № 1897 // Вестник образования. - 2011. - № 4. - С.10-77. - // Администратор образования. 2011. № 5. С.32-72.Сабельникова С.И.Критерии готовности образовательного учреждения к внедрению ФГОС // Администратор образования. - 2011. - № 9, 11, 13, 14, 20; 2012. - № 2, 8.Технологии, реализующие ФГОС: портфолио // Эксперимент и инновации в школе. - 2011. - № 5. - Тематический раздел.Об особенностях введения Федерального государственного образовательного стандарта основного общего образования // Вестник образования. - 2012. - № 2. - С.10-24. Хуторской, А.В.Нынешние стандарты нужно менять, наполнять их метапредметным содержанием образования   // Народное образование. - 2012. - № 4. - С.36-48.Нечаев, М.П.Методика разработки программы воспитания и социализации обучающихся в условиях реализации ФГОС // Воспитание школьников. - 2013. - № 3. - С.15-21.Воронцов А.Б. Практика развивающего обучения по системе Д.Б. Эльконина – В.В. Давыдова. – М.: ЦПРО «Развитие личности», 1998.Гнеденко Б.В. Формирование мировоззрения учащихся в процессе обучения математике. – М.: Просвещение, 1982.Епишева О.Б., Крупич В.И. Учить школьников учиться математике: Формирование приемов учебной деятельности: Кн. для учителя. – М.: Просвещение, 1990.Репьев В.В. Общая методика преподавания математики. – М.: Учпедгиз, 1958.Груденов Я. И. Совершенствование методики работы учителя математики. – М.: Просвещение, 1990.Психолого-педагогические условия развития понятийного мышления: Хрестоматия, Сост. Э.Г. Гельфман, С.И. Цымбал.- Томск: Изд-во Том. ун-та, 2003.Болтянский В.Г., Глейзер Г.Д. К проблеме дифференциации школьного математического образования // Математика в школе. – 1988. – №3. – С.9-13.Информационный обзор автодрома в городе Монца [Электронный ресурс] // Сайт f1report.ruURL: http://f1report.ru/tracks/monza.htmlСхема трассы Формулы 1 на автодроме в городе Монца [Электронный ресурс] // Сайт международной федерации автогонок URL: https://www.fia.com/events/fia-formula-one-world-championship/season-2017/circuit-information-25Видеоролик прохождения быстрого круга в квалификации Гран-При Италии 2017 [Электронный ресурс] // Сайт f1-world.ru URL: https://www.f1-world.ru/news/news.php3?idnews=1709011005Лурье М.В.,Александров Б.И. Задачи на составление уравнений. – М.: Наука, 1990.Саранцев Г.И. Методика обучения математике в средней школе: Учеб. пособие для студентов мат.спец. пед. вузов и ун-тов. – М.: Просвещение, 2002.Иванова Т.А. Как готовить уроки-практикумы//Математика в школе.-Н.Новгород, 1998.