Системы счисления и систематические дроби

Доказательство этого утверждения сводится к нахождению суммы ряда q + + …++ , которая может быть представлена в виде:q+ + …++· Ряд является суммой членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии с первым членом 1 и знаменателем . Такая сумма равна . Таким образом, сумма ряда является суммой конечного числа дробей, которая по правилу сложения дробей даст нам обыкновенную дробь . Подводя итог вопросу о представлении рационального числа в виде дроби, мы можем с полным правом сформулировать следующее утверждение:Теорема: Всякое рациональное число может быть представлено периодической систематической дробью, а всякая периодическая систематическая дробь является представителем вполне определённого рационального числа. Представление рациональных чисел систематическими дробями удобно в том отношении, что позволяет выполнять операции с ними, используя правила действий с целыми числами, записанными в позиционной системе. На практике это применяется, когда систематическая дробь конечна (или заменена приблизительно равной ей конечной дробью).[3]Десятичные дробиПонятие десятичных дробей Десятичной дробью называется десятичная запись числа, в которой есть разряд единиц и разряды правее разряда единиц. Это определение, которое дают в традиционной школе. Рассмотрим определение, которое дают в системе развивающего обучения. Десятичной дробью называется сумма целого числа и элементарных дробей, записанная по системе поместного (позиционного) значения цифр.Десятичной дробью называется такое дробное число, у которого знаменатель 10 с каким-либо показателем и которое записано в позиционной системе так, что знаменатель только подразумевается. При записи десятичной дроби правее разряда единиц ставится запятая. На калькуляторе разряд единиц от разряда десятых отделяется точкой. Правее запятой располагаются десятичные разряды, или десятичные знаки, левее запятой — целая часть десятичной дроби. Десятичные разряды называются: десятые; сотые; тысячные; десятитысячные; стотысячные; миллионные; десятимиллионные; стомиллионные; миллиардные и т. д. Число 0 и любое натуральное число можно записать в виде десятичной дроби, поставив после разряда единиц запятую, а после нее - произвольное число нулей: 0 = 0,000; 783 = 783,00. Запятая (на калькуляторе точка) делит десятичную дробь на две части: левее запятой располагается целая часть, правее — дробная часть.Для того, чтобы прочитать десятичную дробь используется алгоритм: Прочитать число до запятой (дробную часть числа можно прикрыть); Сообщить о том, что ты прочитан целую часть данного числа с помощью слова «целых»; Прочитать число после запятой (целую часть числа можно прикрыть); Сообщить название последнего разряда (если забыл, то нужно посмотреть, как называется соответствующий разряд в целой части). Чтобы записать десятичную дробь нужно воспользоваться алгоритмом десятичной записи:Уравнять, если необходимо, число цифр в числителе с числом нулей в знаменателе.Записать целую часть (она может быть равна нулю).Поставить запятую, отделяющую целую часть от дробной.Записать числитель дробной части.Понятие периодического десятичного ряда чисел Периодическим десятичным рядом называется такой десятичный ряд, в котором, начиная с какого-либо места, без конца повторяется в известном порядке только одна и та же группа цифр (в частности одна цифра), называемая периодом. Например:1) 5,131313…13… Период образовался с 2) 14,777…7… первого места после3) 23,123456789123456789…123456789… знака дробности.4) 0,987654321987654321…987654321…5) 5,4921313131313…13… Период образовался 6) 14,00777…7… не с первого места7) 23,444123456789123456789…123456789… после знака8)0,42668001 987654321987654321…987654321… дробности. Итак, видим, что периодические десятичные ряды могут быть двух видов:чистые периодические десятичные ряды,смешанные периодические десятичные ряды. Чистым периодическим рядом называется периодический десятичный ряд, у которого период начинается непосредственно после знака дробности. Смешанным периодическим десятичным рядом называется периодический десятичный ряд, у которого период начинается не сразу после знака дробности; число, стоящее между знаком дробности и началом периода, называется допериодической частью. Например:113,238238…238…-чистый периодический десятичный ряд с периодом 238;113,4578905905…905…-смешанный периодический десятичный ряд с периодом 905, где 4578-допериодическая часть. Читают периодические десятичные ряды так: сначала называют целую часть, потом допериодическую, если она есть, и, наконец, период. Например: 120, 25(67) — сто двадцать целых, двадцать пять до периода и шестьдесят семь в периоде; 0,000(8) — нуль целых, три нуля до периода и восемь в периоде. Если несократимая дробь имеет в разложении знаменателя на простые множители хотя бы один простой множитель р, отличный от 2 и 5, то эту дробь нельзя выразить в виде конечной десятичной дроби.Всякую дробь, не допускающую представления в виде десятичной дроби, можно представить в виде периодическою ряда, притом единственным образом.Всякую несократимую дробь, знаменатель которой есть число взаимно простое с 10, можно выразить в виде чистого периодического десятичного ряда. Т.е. будем брать только такие несократимые дроби, у которых знаменатель взаимно прост с 10, т. е. не содержит простых множителей 2 и 5. Таковы знаменатели 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19,21,23, 27, 29, 31 и т. д. Всякую несократимую дробь, которую нельзя выразить десятичной дробью и знаменатель которой делится на 2 или на 5, можно выразить смешанным периодическим десятичным рядом.Всякий чистый периодический ряд, имеющий нуль целых равен дроби, числитель которой равен периоду, а знаменатель есть натуральное число, изображаемое столькими девятками, сколько цифр в периоде.[1]Представление дробных чисел в разных системах счисленияДробные числа в десятичной системе счисления нам известныдавно и мы с ними сталкиваемся достаточно часто. А вот дробные в других системах счисления в обыденной жизни встречаются намного реже, но они также используют теорию систематических дробей. В системах счисления по основаниям 2, 8 и 16 тоже можно представлять дробные числа. 1001111010,010001(2) = 1*29 + 0*28 + 0*27 + 1*26 + 1*25 + 1*24 + 1*23 + 0*22 + 1*21 + 0*20 + 0*2-1 + 1*2-2 + 0*2-3 + 0*2-4 + 0*2-5 + 1*2-6 = 512 + 64 + 32 + 16 + 8 + 2 + 0,25 + 0,015625 = 634,265625318.87(10) = 100111110.11011110101110000101000111101011100001010001111010(2) = 476.67534121727024365605075341217270243656050753412172(8) = 13E.DEB851EB851EB851EB851EB851EB851EB851EB851EB851EB85(16)И как уже упоминалось ранее, представление чисел в этих системах счисления активно используется в компьютерной технике, то развитие всей компьютерной индустрии без этих знаний было бы весьма затруднительно.ЗаключениеВ данной работе были представлены основные принципы и понятия систем счисления. Были рассмотрены наиболее распространённые и употребимые системы счисления – десятичная, двоичная, восьми- и шестнадцатиричная. Разобраны принципы формирования чисел в этих системах, перевод чисел из одной системы счисления в другу. Большое внимание было уделено теме, которая не так часто обсуждается и исследуется, но от этого не становится менее значительной - систематическим дробям. Была приведена историческая справка о зарождении теории дробей, о видах дробей. Были рассмотрены некоторые теоретические аспекты, связанные с систематическими дробями разных систем счисления.Данная работа может быть рекомендована к изучению школьникам старших классов или студентам начальных курсов, не изучающим теорию чисел, для расширения кругозора и получения понимания о принципах хранения и обработки информации в вычислительной технике.Список литературыАлгебра и теория чисел: Учеб. пособие для студентов-заочников II курса физ.-мат. фак. пед. ин-тов (Н.А.Казачёк и др.) / Под ред. Н.Я. Виленкина - 2-е изд. М.: Просвещение, 1984. - 192 с.Рассел, Джесси Двоичная система счисления / Джесси Рассел. - М.: Книга по Требованию, 2012. - 160 c.Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. М., «Высшая школа», 1979.Кудреватов Г.А. Сборник задач по теории чисел. М., «Просвещение», 1970.Бобынин, В.В. Происхождение, развитие и современное состояние истории математики / В.В. Бобынин. - М.: ЁЁ Медиа, 2005. - 721 c.Жуков, А. В. Прометеева искра. Античные истоки искусства математики / А.В. Жуков. - М.: Либроком, 2012. - 210 c.Стройк, Д. Я. Краткий очерк истории математики / Д.Я. Стройк. - М.: Главная редакция физико-математической литературы издательства "Наука", 2009. - 328 c.Хрестоматия по истории математики. - М.: Просвещение, 1977. - 438 c.