Функциональные определители и их приложения

Наконец, в самом общем случае может быть дана система из т уравнений с n + m переменнымиЗдесь речь идет об определении этой системы т переменныхy1, y2, …, ym как «неявных» функций от n переменных x1, x2, …, xn:так что при подстановке в (5) получаются тождестваГоворят, что в (n+m)-мерном параллелепипедесистема (5) определяет y1, y2, …, ymкак однозначные функции от x1, x2, …, xn, если для каждой точки (x1, x2, …, xn) в n-мерном параллелепипедесистема уравнений (5) имеет одну, и только одну, систему решений y1, y2, …, ym принадлежащую m-мерному параллелепипедуМы видели, что в вопросе о существовании однозначной неявной функции, определяемой одним уравнением (1) или (4), решающую роль играло требование, чтобы в рассматриваемой точке, удовлетворяющей уравнению, не обращалась в нуль производная F'(у) - именно по той переменной, которая подлежит определению как неявная функция. В вопросе же о существовании однозначных неявных функций y1, y2, …, ym, определяемых системой уравнений (5), к которому мы сейчас переходим, аналогичную роль будет играть якобиан от функций, стоящих в левых частях, по переменным y1, y2, …, ym:Теорема IV. Предположим, что1) все функции F1, ..., Fm определены и непрерывны в (m+n)-мерном прямоугольном параллелепипедес центром в точке ();2) существуют и непрерывны в D частные производные от этих функций по всем аргументам,3) точка удовлетворяет системе (5);4) якобиан / [см. (6)] в этой точке отличен от нуля. Тогдаа) в некоторой окрестности точки система уравнений (5) определяет у1,…, уm как однозначные функции от x1, …, xn:б) при эти функции принимают, соответственно, значенияв) функции f1, ..., fm непрерывны иг) имеют непрерывные же частные производные по всем аргументам.Замечание. Мы обращаем внимание читателя на локальный характер всех теорем существования неявных функций: речь идет все время лишь о некоторой окрестности рассматриваемой точки. Но и в таком виде эти теоремы полезны; например, читатель увидит это в главе VII, где при изучении свойств геометрического образа в данной его точке совершенно достаточно ограничиться непосредственной ее окрестностью.3.2 Вычисление производных неявных функций.Аналогично обстоит дело и в случае уравнения (4) с большим числом переменных. Здесь предполагаем выполненными условия теоремы III. Если под у разуметь неявную функцию, определяемую уравнением (4), то (4) превращается в тождество. Фиксируя значения x1, x2, …, xn и рассматривая у как функцию лишь от x1 продифференцируем это тождество по x1:откуда точно так же получими т.д.Если нужны все производные первого, второго, ... порядка, то проще сразу вычислять Продифференцируем же наше тождество полным образом, т. е. приравняем нулю полный дифференциал от его левой части [используя при этом инвариантность формы первого дифференциала, 185]:так чтоВ тоже времяВвиду произвольности отсюда ясно, чтокак мы и получили выше.Дифференцируя еще раз, получими определим , что приведет нас к выражениям дляи т. д. Мы видим, что во всех этих выкладках основную роль играет условие, чтоПерейдем теперь к рассмотрению системы уравнений (5). Будем предполагать, что в окрестности взятой точки выполняются условия теоремы IV. Снова обращаем внимание на роль, которую будет играть требованиеМы знаем, что неявные функции имеют частные производные по x1,…, xn. Самое вычисление их производится дифференцированием тождеств, которые получаются из (5), если под y1, …, ymразуметь именно упомянутые неявные функции. Дифференцирование по x1, например, даетЭто - система линейных уравнений относительно неизвестных ,с отличным от нуля определителемОтсюда Аналогичные выражения получаются и для производных от y1, y2, …, ymпо x2, …, xn.Если функции F1,…,Fm имеют непрерывные частные производные второго порядка, то правые части всех полученных формул имеют (непрерывные) производные по всем аргументам, следовательно, существуют (непрерывные) вторые производные от неявных функций. Вообще (как это легко доказать индуктивно) существование для функций F1, …, Fmнепрерывных производных до k-го порядка включительно влечет за собой существование и непрерывность всех производных k-го порядка и для неявных функций.Вычисление производных от неявных функций и в общем случае также производится либо дифференцированием тождеств(5)по тем или другим переменным, либо дифференцированием их полным образом. Получаемая для определения производных или дифференциалов система линейных уравнений своим определителем всегда имеет отличный от нуля якобиан. Эти замечания станут более ясными на примерах.3.3 Примеры использования функциональных определителей при исследовании и нахождении производных неявных функцийПусть дана системаопределяющаяy, z, uкак функции от x. Имеем Предполагая определительне равным нулю, имеем отсюда и т.д.Пусть переменные связаны с переменными соотношениямигдеЯкобиан Упомянутые соотношения определяют как функции от. Для вычисления производных этих функций продифференцируем эти соотношения полным образомОтсюда определим :Этим, собственно, уже и найдены интересующие нас производные (если учесть указанное выше значениеJ):Предложенные уравнения легко решить относительно Это дает возможность вычислить все эти производные и тем проверить найденные результаты.В качестве заключительного примера на дифференцирование неявных функций выведем еще одну формулу, снова подчеркивающую аналогию между якобианом системы функций и производной одной функции.Пусть дана система п уравнений с 2п переменными:Предполагая якобианотличным от нуля, рассмотрим y1, y2, …, ynкак функции от x1, x2, …, xn, определяемые этой системой уравнений и, следовательно, обращающие их в тождества. Дифференцируя эти тождества по каждому Хj, результаты можем представить в виде:Определитель, составленный излевых частей этихравенств, естьопределитель же, составленный из правых частей, очевидно, представляет собой произведение определителейЕсли уравнения даны в виде, разрешенном относительно x1, x2, …, xn.то под рассмотренный случай это подойдет, если положить Так как здесьили0,смотря по тому, будет ли i=j или, то числитель сведется ки формула примет видЗАКЛЮЧЕНИЕВ данной курсовой работебыли изучены методы решения задач дифференциального исчисления неявных функций нескольких переменных с использованием функциональных определителей. При этом были выполнены такие задачи: изученытеоретические основы функциональных определителей. Выявлено значение функциональных определителей как объекта научной деятельности, а именно: функциональные определители широко применяются при исследовании неявных функций, при нахождении кратных интегралов второго и третьего порядка путём замены переменных и др.В работе более детально рассмотрено приложение функциональных определителей при исследовании неявных функций нескольких переменных, вычислении их производных, приведены практические решения заданий по данной тематике. Исследование показало, что функциональные определители широко применяются в различных разделах математики, математической физики и других наук, использующих в качестве инструмента исследования дифференциальное и интегральное исчисление. Поэтому возможно более глубокое исследование данного вопроса в качестве дипломной работы. СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫАксенов, А.П. Математический анализ в 2 ч. часть 2 в 2 т. учебник и практикум для академическогобакалавриата / А.П. Аксенов. — Люберцы: Юрайт, 2016. — 767 c.Баврин, И.И. Математический анализ 2-е изд., испр. и доп. учебник и практикум для спо / И.И. Баврин. — Люберцы: Юрайт, 2016. — 327 c.Боярчук, А.К. Справочное пособие по высшей математике. Т. 3. Часть 2: Математический анализ: кратные и криволинейные интегралы / А.К. Боярчук, И.И. Ляшко, Я.Г. Гай. — М.: ЛИБРОКОМ, 2012. — 256 c.Гаврилов, В.И. Математический анализ: Учебное пособие для студентов учреждений высшего профессионального образования / В.И. Гаврилов, Ю.Н. Макаров, В.Г. Чирский. — М.: ИЦ Академия, 2013. — 336 c.Зорич, В.А Математический анализ. Часть 1 (6-е изд.) / В.А Зорич. — М.: МЦНМО, 2012. — 702 c.Ивлев, В.В. Математический анализ. Функции многих переменных / В.В. Ивлев. — М.: Изд. ИКАР, 2013. — 548 c.Карташев, А.П. Математический анализ. 2-е изд., стер / А.П. Карташев, Б.Л. Рождественский. — СПб.: Лань, 2007. — 448 c.Киркинский, А.С. Математический анализ: Учебное пособие для ВУЗов / А.С. Киркинский. — М.: Академический проект, 2006. — 526 c.Лейнартас, Е.К. Математический анализ: Учебное пособие для бакалавров / А.М. Кытманов, Е.К. Лейнартас, В.Н. Лукин; Под ред. А.М. Кытманов. — М.: Юрайт, 2012. — 607 c.Ляшко, И.И. АнтиДемидович. Т.1. Ч.3: Неопределенный интеграл, определенный интеграл. СПРАВОЧНОЕ ПОСОБИЕ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ. Математический анализ: введение в ан / И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач. — М.: Ленанд, 2016. — 272 c.Ляшко, И.И. АнтиДемидович. Т.3. Ч.2: Кратные и криволинейные интегралы. Справочное пособие по высшей математике. Математический анализ / И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач. — М.: Книжный дом Либроком, 2012. — 256 c.Никитин, А.А. Математический анализ.углубленный курс 2-е изд., испр. и доп. учебник и практикум для академического бакалавриата / А.А. Никитин, В.В. Фомичев. — Люберцы: Юрайт, 2016. — 460 c.Очан, Ю.С. Математический анализ: учебное пособие. / Ю.С. Очан, В.Е. Шнейдер. — М.: Альянс, 2016. — 880 c.Просветов, Г.И. Математический анализ: задачи и решения: Учебное пособие / Г.И. Просветов. — М.: БИНОМ. ЛЗ, 2011. — 208 c.Протасов, Ю.М. Математический анализ: Учебное пособие / Ю.М. Протасов. — М.: Флинта, Наука, 2012. — 168 c.Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.1 – М.: Наука, 2006 . – 608 с.