классификация движений евклидовой плоскости E 2, теорема шаля

Дискретные подгруппыДо сих пор обсуждавшиеся подгруппы не только бесконечны, но и непрерывны (группы Ли). Любая подгруппа, содержащая хотя бы один ненулевой сдвиг, должна быть бесконечной, но подгруппы ортогональной группы могут быть конечными. Например, симметрии правильного пятиугольника состоят из вращений целыми кратными 72° (360° / 5), а также отражения в пяти зеркалах, которые перпендикулярно делят пополам ребра. Это группа D5 с 10 элементами. Он имеет подгруппу C5, равную половине размера, опуская отражения. Эти две группы являются членами двух семейств Dn и Cnдля любого n > 1. Вместе эти семейства составляют группы розетки.Сдвиги не сворачиваются на себя, но можно взять целочисленные кратные любого конечного сдвига или суммы кратных двух таких независимых сдвигов в качестве подгруппы. Они порождают решетку периодической черепицы плоскости.Также можно комбинировать эти два типа дискретных групп - дискретные вращения и отражения вокруг неподвижной точки и дискретные сдвиги - генерировать группы фриза и группы обоев. Любопытно, что только некоторые из групп с фиксированной точкой оказались совместимыми с дискретными сдвигами. На самом деле, совместимость решетки накладывает такое строгое ограничение, что с точностью до изоморфизма мы имеем только 7 отдельных групп фриза и 17 различных групп обоев.Рисунок 7. Дискретные подгруппыНапример, симметрии пятиугольника D5 несовместимы с дискретной решеткой сдвигов. (У каждого более высокого измерения также есть только конечное число таких кристаллографических групп, но число быстро растет, например, 3D имеет 320 групп, а 4D - 4783.)Изометрия в комплексной плоскостиВ терминах комплексных чисел изометрия плоскости имеет вид:ℂ ⟶ ℂz↦a + ωzили формыℂ ⟶ ℂz↦a + ωz̅для некоторых комплексных чисел a и ω с | ω | = 1. Это легко доказать: если a = f (0) и ω = f (1) - f (0), а если определитьg:ℂ ⟶ ℂто g является изометрией, g (0) = 0 и g (1) = 1. Тогда легко видеть, что g является либо тождеством, либо сопряжением, и вытекающее из этого утверждение следует из этого и из того факта, что f (z) = a + ωg (z).Это, очевидно, связано с предыдущей классификацией плоских изометрий, поскольку:функции типа z → a + z являются сдвигами;функции типа z → ωz являются вращениями (при | ω | = 1);сопряжение является отражением.Заметим, что вращение вокруг комплексной точки p получается сложной арифметикой сz↦ω(z – p) + p = ωz + p( 1 – ω)где последнее выражение показывает отображение, эквивалентное вращению в точке 0 и сдвигу. Поэтому, учитывая прямую изометрию z↦a + ωz, можно решить p (1- ω) = a, чтобы получить p = a / (1- ω)как центр для эквивалентного вращения, при условии, что ω ≠ 1, т. е. если прямая изометрия не является чистым сдвигом. «Прямая изометрия - это либо поворот, либо сдвиг».2. Теорема ШаляФранцузский механик и геометр Мишель Шаль доказал теорему о классификации движений плоскости, понимаемых как изометрические преобразования.«Всякое сохраняющее ориентацию движение плоскости представляет собой либо поворот (в частности, центральную симметрию), либо параллельный перенос. Всякое меняющее ориентацию движение плоскости является осевой или скользящей симметрией.»Основными моментами этого доказательства являются следующие:любое движение однозначно задается тремя различными точками и их образами.любое движение представимо в виде композиции не более чем трех осевых симметрий.перебор вариантов: движение представимо в виде композиции одной, двух или трех осевых симметрий.Лемма о трех гвоздяхA является неподвижной точкой движения F в том случае, если F(A) =А. Любое движение может быть однозначно задано тремя не лежащими на одной прямой точками и их образами. Иначе говоря, для любых не лежащих на одной прямой точек A,B,C и их образов A',B',C' имеется единственное движение f:A↦ A',B↦ B',C↦ C'.ДоказательствоВозьмем любую точку D ≠ A,B,C и ее образ D'. f – движение, и следовательно AD=A'D'; отсюда следует, что D' лежит на окружности с центром A' и радиусом AD.Аналогично для точек B и C: D тоже лежит на окружности с центром B' и радиусом BD и на окружности с центром в C' и радиусом CD.Так как три окружности могут пересекаться только в одной точке, то существует единственный образ D' для любой точки D. Это утверждение равносильно единственности движения.Лемма о трех симметрияхЛюбое движение представимо в виде композиции не более чем трех осевых симметрий. Иначе говоря, любое движение fможно представить или как Sl или Sl1 ◦ Sl2 или как Sl1 ◦ Sl2 ◦ Sl3.ДоказательствоПусть имеетсянекоторое произвольное движение f и точки A,B,C и их образы A',B',C'. Если доказать, что для A,B,C существует композиция симметрий g эквивалентная f, то в соответствии с леммой о трех гвоздях f = g в общем случае.Заметим что Sli ◦. . . ◦ Sl1 ◦f=Id⇔f=Sl1 ◦. . . ◦ Sli, так как иОпределим представление fкак композицию осевых симметрий:1) Рассмотрим симметрию Sl1, такую что A↦ A'. Точка B при такой симметрии перейдет или в некоторую новую точку B'1 или возвратится в B'. Точка C аналогично перейдет или в некоторую C'1 или возвратится в C'. Если B и C возвратились в B' и C', то Sl1 ◦f=Id(Id- является тождественным преобразованием). В этом случае f=Sl1.2) Теперь, если точка B ↦B'1, то рассмотрим симметрию Sl2, такую что B'1↦ B'. При этом l2 – серединный перпендикуляр к отрезку B'B'1, в соответствии с определением осевой симметрии.f, Sl1– движения, следовательноЗначит, A' лежит на серединном перпендикуляре к отрезку B'B'1 (в соответствии со свойством серединного перпендикуляра), то есть на прямой l2. Следовательно, при преобразовании Sl2—A'↦ A'. Если C'↦ C, то аналогично CB=fC'B'=Sl1CB'1, то есть при Sl2 C перейдет в C'. Иначе C↦ C'1, значит C'1 снова перейдет или в некоторую C'2 или в C'. Итого, если или C'1↦ C' при Sl2; или C↦ C'при Sl1, то Sl2 ◦ Sl1 ◦f=Id. Это значит, что f=Sl1 ◦ Sl2.Если C↦ C'1↦ C'2, следует рассмотреть симметрию Sl3, такую что C'2↦ C'. Очевидно, что l3 – серединный перпендикуляр к отрезку C'C'2.f, Sl1, Sl2– движения, а значит Следовательно, A' принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку C'C'2, то есть l3. Это значит, что Sl3 переводит A' в A'. Если B↦B', то аналогично B'∈ l3. Иначе, B↦B'1↦B', следовательно и B' тоже лежит на l3.Это значит, что Sl3 переводит B' в B'. Следовательно, Sl3◦ Sl2◦Sl1◦f=Id, а значит, f=Sl1◦ Sl2◦ Sl3.Перебор вариантовТеперь каждое данное движение f представим в виде композиции не более трех симметрий по лемме о трех симметриях.Классифицируем получившееся равенство, тем самым классифицировав любое данное движение:1) Если f=Sl, то f – осевая симметрия.2) Если f=Sl1◦Sl2, то либо l1∥l2 и тогда f – параллельный перенос, либо l1∦l2 и тогда f – поворот.3) Иначе, f=Sl1◦ Sl2 ◦ Sl3 и тогда f – скользящая симметрия (по свойству скользящей симметрии).ЛитератураРасин В.В. Лекции по геометрии: Аксиомы планиметрии. Преобразования плоскости. Учебное пособие. Екатеринбург: УрГУ, 2000 г.Математика. Большой энциклопедический словарь. Научное изд-во «Большая российская энциклопедия»/М., 1998 г.Материалы Internet: http:/www.matk.rsu.ru/mexmat/post/metod/g110/g110.ru.htm.Александров А.Л. и др. Геометрия: /М.: Просвещение, 1995 г.Малая математическая энциклопедия. Академия наук Венгрии. Будапешт, 1976 г.Каазик Ю.Я. Математический словарь. Таллин: Валгус. 1985 г.