Задача о пищевом рационе

В результате получается графическая система неравенств (см. рис.1).







Рис.1












Рис.2













Рис.3







Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи. Границы области многоугольника решений (области допустимых решений) обозначены на рис.2.
Далее необходимо построить прямую, отвечающую значению целевой функции

Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, направлен в сторону уменьшения целевой функции . Начало вектора – точка (0;0), конец – точка (4; 3). Далее, нужно двигать линию уровня, перпендикулярную вектору-градиенту, параллельным образом по направлению вектора. Поскольку значение функции стремится к минимуму, то необходимо двигать прямую до первого касания области допустимых решений. Эта прямая обозначена пунктирной линией на рис.3.
Прямая пересекает область в точке B. Поскольку точка B получена в результате пересечения прямых (1) и (3), то ее координаты являются решением системы:

,
Решив систему уравнений, становится известно, что:
,
Откуда возможно найти минимальное значение целевой функции:

Итак, оптимальный состав диеты: 3.67 грамм первого продукта (белых грибов) и 2.67 грамм второго продукта (облепихи). При этом минимальная цена дневного рациона составляет приблизительно 23 у.е.


Рис.4

На рис.4 представлено решение рассматриваемой задачи в рамках программы Excel (опция «Сервис/Поиск решения»). Согласно рис.4, оптимальный состав диеты
,
а цена дневного рациона








Заключение
В данной работе была рассмотрена общая постановка задачи о рационе и построена экономико-математическая модель последней. Модель была применена для решения конкретной задачи об оптимальном рационе (диете). Применение математической модели решения задач о диете значительно облегчает процесс создания определенного рациона питания (диеты), а также позволяет экономить средства.























Литература
1. Линейное программирование, учебное пособие, Палий И.А., 2008. – 560 с.
2. Орлов А.И. Теория принятия решений. Учебное пособие. – М.: Издательство «Март», 2004. – 656 с.
3. Апатенок Р.Ф. Математика для экономистов. М, Просвещение, 2004.
4. Баумоль У. Экономическая теория и исследование операций. – М.; Наука, 2004.
5. Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. М.: Наука, 2004.
6. Боровков А.А. Математическая статистика. М.: Наука, 2004.
7. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах: учебное пособие для ВУЗов. – М.: Высшая школа, 2004.
8. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. – СПБ: Издательство «Лань», 2003.
9. Коршунов Д.А., Чернова Н.И. Сборник задач и упражнений по математической статистике. Новосибирск: Изд-во Института математики им. С.Л.Соболева СО РАН, 2001.
10. Красс М. Математика для экономических специальностей. Учебник. 3-е изд., перераб и доп. М, Экономист, 2004.
11. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Основы математики и ее приложения в экономическом анализе: Учебник. – 3-е изд., исп. – М.: Дело, 2002.
12. Кузнецов А.В., Сакович В.А., Холод Н.И. Высшая математика. Математическое программирование. – Минск, Высшая школа, 2005.
13. Пехелецкий И.Д. Математика: учебник для студентов. – М.: Академия, 2003.
14. Павлова Т.Н, Ракова О.А. Линейное программирование. Учебное пособие. – Димитровград, 2002.
15. Павлова Т.Н, Ракова О.А. Решение задач линейного программирования. Учебное пособие. – Димитровград, 2002.











14