Проверка гипотез о законах распределения

Для уровня значимости и числа степеней свободы значение , так что


Доверительный интервал для среднеквадратического отклонения :

где – выбранный уровень значимости, – число степеней свободы. Используя таблицу распределения , находим
,
так что


Как видно, на выбранном уровне значимости теоретические значения и попадают в полученные интервальные оценки для выборочных значений среднего и среднеквадратического отклонения сгенерированной выборки с.в. .
Закон распределения
Проверим с помощью -критерия гипотезу о соответствии -закона, данного в табл.№2, смоделированным данным табл.№2 (или табл.№6). Итак, выдвинем две гипотезы:
-закон – не является функцией распределения
смоделированной с.в.
-закон – является функцией распределения
смоделированной с.в.
Параметр :

где – эмпирические частоты (см. табл.№6), – теоретические частоты

В табл.№7 представлены результаты промежуточных расчетов. Складывая элементы последнего столбца табл.№7, получаем

В нашем случае число степеней свободы



Таблица №7
1 1 21 0,15 15 2,4000 2 2 4 0,05 5 0,2000 3 3 20 0,20 20 0,0000 4 4 12 0,12 12 0,0000 5 5 0 0,05 5 5,0000 6 6 11 0,13 13 0,3077 7 7 32 0,30 30 0,1333 Сумма         8,0410


Рис.4

где – число параметров функции распределения. Используя таблицу значений , для уровня значимости имеем:

Как видно, для с.в. имеет место . Итак, на уровне значимости гипотеза отвергается, а конкурирующая гипотеза о -законе распределении смоделированной с.в. принимается.
На рис.4 представлен график, на котором изображены эмпирическое распределение частот и теоретическое распределение, соответствующие -закону, данному в табл.№2.
Проверим теперь гипотезу о соответствии -распределения данным табл.№2 (или табл.№6) с помощью критерия Колмогорова. Максимальная разница между гипотетической и выборочной функциями распределения (см. табл.№8):
Таблица №8
1 0,21 0,15 0,06 2 0,04 0,05 0,01 3 0,20 0,20 0,00 4 0,12 0,12 0,00 5 0,00 0,05 0,05 6 0,11 0,13 0,02 7 0,32 0,30 0,02


Критическое значение критерия Колмогорова:

Поскольку , согласно критерию Колмогорова на уровне значимости гипотеза отвергается, а конкурирующая гипотеза о -законе распределении смоделированной с.в. принимается.

Выводы
В ходе рассмотрения примера была сгенерирована последовательность случайных чисел с заданным (дискретным) распределением и исследованы ее свойства. В частности:
1. Вычислены математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратичное отклонение для сгенерированной последовательности. Сравнение показало, что вычисленные значения данных параметров на уровне значимости совпадают со своими теоретическими значениями.
2. Эмпирическое распределение частот и теоретическое распределение, соответствующее выбранному дискретному распределению, согласуются друг с другом.
3. Гипотеза о согласованности выборки и заданного распределения с помощью -критерия Пирсона и критерия Колмогорова подтверждается на выбранном уровне значимости .


























Заключение
Как правило, смысл проверки гипотезы о законе распределения выборки состоит в следующем. Имеется выборка заданного объема и выбран или известен вид закона распределения генеральной совокупности. Задача заключается в оценке по этой выборке параметров закона, определении степени согласия выборки и рассматриваемого закона распределения, в котором параметры замещены их выборочными значениями. Далее рассматривается вопрос проверки согласия теоретического и эмпирического распределений с использованием выбранного статистического критерия.
При проверке гипотез о законе распределения нужно учитывать, что слишком хорошее совпадение с выбранным законом распределения может быть связано с некачественным проведением эксперимента или предвзятой предварительной обработкой результатов («правка» выборки, при которой отбрасывается «плохая» часть экспериментальных данных, а также слишком грубое округление данных).
Выбор статистического критерия для проверки гипотезы в значительной степени произволен. Различные критерии могут давать разные выводы о верности гипотезы. В таких случаях окончательные выводы делаются на основе «внешних» (неформальных) соображений. Аналогично, нет определенных рекомендаций по выбору уровня значимости.
Рассмотренный подход к процедуре проверки статистических гипотез, базирующийся на использовании специальных таблиц критических точек распределения, сформировался в эпоху «ручной» обработки данных, когда наличие подобных таблиц сильно упрощало процесс вычислений. В наши дни целый ряд математических пакетов включает в себя процедуры расчета стандартных функций распределений, что существенно облегчает проверку гипотез.



Литература
1. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие для бакалавров / В.Е. Гмурман. – М.: Юрайт, 2013. – 479 c.
2. Горлач, Б.А. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие / Б.А. Горлач. – СПб.: Лань, 2013. – 320 c.
3. Калинина, В.Н. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для бакалавров / В.Н. Калинина. – М.: Юрайт, 2013. – 472 c.
4. Колемаев, В.А. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник / В.А. Колемаев, В.Н. Калинина. – М.: КноРус, 2013. – 376 c.
5. Кочетков, Е.С. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник / Е.С. Кочетков, С.О. Смерчинская, В.В. Соколов. – М.: Форум, НИЦ ИНФРА-М, 2013. – 240 c.
6. Краснов, М.Л. Вся высшая математика. Т.5. Теория вероятностей. Математическая статистика. Теория игр: Учебник / М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко [и др.]. – М.: ЛКИ, 2013. – 296 c.
7. Семенов, В.А. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие / В.А. Семенов. – СПб.: Питер, 2013. – 192 c.
8. Спирина, М.С. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для студ. учреждений сред. проф. образования / М.С. Спирина, П.А. Спирин. – М.: ИЦ Академия, 2013. – 352 c.












23