Логарифмирование и потенцирование

Применяя следствие из формулы замены основания логарифма, а именно:все логарифмы в правой части нашего тождества преобразуем к логарифмам по основанию .Сначала преобразуем, числитель дроби:Дальше преобразовываем знаменатель:Следовательно, выражение, стоящее в правой части тождества, преобразуется в.В последнем выражении в знаменателе, применяя сначала свойство суммы логарифмов, а затем следствие из формулы замены основания логарифма, получаем:Что и требовалось доказать.Пример 2.14. Доказать тождество .Доказательство. Применяя следствие из формулы замены основания логарифма, а именнологарифмы, находящиеся в левой части данного тождества преобразуем к логарифмам по основанию :Логарифм произведения, который стоит в числителе, согласно свойству заменим суммой логарифмов от каждого из сомножителей. И у нас получается, что:Используя формулу замены основания логарифмапреобразуем полученную дробь:Что и требовалось доказать.Пример 2.15. Вычислить .Решение. Приведем все логарифмы данного выражения к одному основанию 6:Числа, которые стоят под знаком логарифма, разложим на простые множители:Применяя свойства логарифмов, получаем:.Введем замену И в итоге, получаем .Пример 2.16. Найти значение выражения .Решение. Представим основание и число, находящиеся под логарифмом, в виде степени 2:Теперь вынесем степени из под знака логарифма, как коэффициент. Для этого применяем следующие формулы:Для нашего выражения имеем:Учитывая, что , окончательно получим:Таким образом, .Пример 2.17.Найти значение выражения .Решение. Перейдем в каждом из слагаемых к логарифму по основанию 18. Для этого используем формулу перехода Получим:Так как сумма логарифмов равна логарифму произведения, последняя сумма перепишется в виде:Число 324 можно представить как степень 18:Далее выносим степень как коэффициент перед знаком логарифма:Учитывая, что , окончательно получаем:Итак, .Пример 2.18. Вычислить .Решение. Представим 8 и 9 как степень соответственно 2 и 3:Внесем коэффициенты перед логарифмом как степень подлогарифмического выражения:Используя основное логарифмическое тождество, получим:Таким образом, .Пример 2.19.Вычислить значение выражение Решение. Применим свойство степенейВ результате будем иметь:К знаменателю полученной дроби нельзя применить основное логарифмическое тождество, поскольку основание степени 27 не равно основанию логарифма 3. Преобразуем указанные величины к одному значению, поскольку , то будем иметь:Согласно свойству можно записать, чтоПрименив свойство логарифмов получим:Тогда, преобразовав знаменатель с помощью основного логарифмического тождества, будем иметьТаким образом, .Пример 2.20. Найти значение выражения .Решение. Приведем все логарифмы к одинаковому основанию. Удобнее всего перейти к основанию 10Далее имеемСократив дробь, приходим к частному двух логарифмов по одинаковому основанию и переходим от частного логарифмов к одному логарифму Таким образом, .Пример 2.21. Вычислить Решение. Согласно свойству логарифмов имеем:Таким образом, .Пример 2.22. Найти значение выражения .Решение. Упростив заданное выражение по свойствам логарифмов, получим:Таким образом, .Пример 2.23.Найти , если известно, чтоРешение. В связи с правилом потенцирования множители , стоящие перед знаками логарифмов в правой части данного равенства, перенесем в показатели степени под знаками этих логарифмов; получим:Теперь разность логарифмов заменим логарифмом частного:отсюда получаем, что:для получения последней дроби в этой цепочке равенств мы предыдущую дробь освободили от иррациональности в знаменателе.Пример 2.24. Выразить через логарифм по основанию 3:Решение. Имеем.Пример 2.25. Вычислить .Решение. Перепишем данное выражение, сведя основания логарифмов к 5:ЗаключениеВ данной работе, мы, конечно, не смогли рассмотреть все примеры применения логарифмов, так как сделать это достаточно сложно. Логарифмы нашли самое широкое применение в таких направлениях, как обработка результатов тестирования в психологии, в музыке и даже при составлении прогноза погоды.А также широкое применение они нашли в других областях науки и техники.Работая над курсовой работой, мы повторили определение логарифма, его основные и дополнительные свойства, формулу перехода к новому основанию, основное логарифмическое тождество, повторил понятие десятичного логарифма. Также рассмотрели, в чем разница между понятиями логарифмирование и потенцирование. Привели примеры применения логарифмов на практике, рассмотрели применение свойств логарифмов, а также как перейти к новому.Список литературыА. Б. Будак, Б. М. Щедрин- Элементарная математика. Москва 2001г.А. Б. Соболев, М. А. Вигура- Элементарная математика.А. М. Пономарева- Математический словарь. Определения, методы и принципы элементарной математики, 1914г.В. А. Любецкий- Основные понятия элементарной математики, 2004г.В. Н. Литвиненко, А. Г. Мордкович- Практикум по элементарной математике. Москва 1995г.В. С. Крамор- Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. Просвещение 1990г.В. Ф. Зайцев- Математические модели в точных и гуманитарных науках. Книжный дом,2006г.Г. Вебер, И. Вельштейн- Энциклопедия элементарной математики. Том 1. Одесса: Матезис, 1906г.Г. М. Фихтенгольц- Курс дифференциального и интегрального исчисления.Д. О. Шклярский, Н. Н. Ченцов- Избранные задачи и теоремы элементарной математики. М.: Наука, 1976г.Е. В. Хорошилова- Элементарная математика. Учебное пособие для старшеклассников и абитуриентов. М: МГУ, 2010г.Е. Д. Войтяховский- Курс математики. Том 1, 1809г.Издательство Гидрограф- Справочник штурмана по математике. Выпуск 1. Элементарная математика. Начала высшей математики,1948г.Люсьенн Феликс- Элементарная математика в современном изложении.М. И. Сканави- Элементарная математика.М. Я. Выгодский- Справочник по элементарной математике.О. А. Кед- Элементарная математика. Учебное пособие. Екатеренбург 2005г.П. И. Совертков- Справочник по элементарной математике. Учебное пособие, Лань 2018г.П. С. Александров – Энциклопедия элементарной математики. Книга 1. Москва 1951г.П. С. Александров – Энциклопедия элементарной математики. Книга 2. Москва 1951г.С. Б. Гашков- Современная элементарная алгебра.С. Е. Гурьев- Наука исчисления, 1805г.С. И. Новоселов- Специальный курс элементарной алгебры, 1951г.Ю. В. Пухначев, Ю. П. Попов- Математика без формул.Я. И. Перельман- Занимательная математика. Л.: Время, 1927г.