Построение многофакторной регрессионной модели

При увеличение только уровня механизации работ х2 и при неизменном х1 добыча угля на 1-го рабочего у увеличится в среднем на 0,294 тонны.2.3 Проверка качества построенной многофакторной регрессионной моделиРассчитаем стандартизированные коэффициенты многофакторной модели.Стандартизированный коэффициент показывает, на какую величину изменится выходная переменная y при увеличении только одной объясняющей переменной, при условии, что все остальные переменные остаются неизменнымигде:Для начала находим средние значения всех трёх переменныхс помощью встроенной в Excelфункции СРЗНАЧ:Рис. 7. Средние значения переменных y, x1, x2Затем находим значения выражения под знаком Сумма: ,, (рис. 8).Рис. 8. Разность переменных с их средними значениями в квадрате и их суммыДалее рассчитываем, и :После представленных выше расчетов, можем посчитать непосредственно стандартизированные коэффициенты b1 и b2.Таким образом, при увеличении мощности пласта х1 на 1 метр добыча угля y в среднем изменится на 0,727 тонн, а при увеличении уровня механизации работ х2 на 1 % добыча угля y в среднем изменится на 0,223 тонны.Далее произведем расчет коэффициента эластичности.Коэффициент эластичности показывает на сколько процентов (от среднего значения) изменится величина y при изменении только одного входного параметра на 1 процент (%):Все необходимые значения у нас имеются, следовательно, производим расчеты:Таким образом, при увеличении мощности пласта х1 на 1% добыча угляy в среднем изменится на 1,185 от средней, а при увеличении уровня механизации работх2 на 1% добыча угля y в среднем изменится на 0,268 от средней.Определим стандартные ошибки коэффициентов регрессии, используя формулу:где – диагональные элементы матрицы;– стандартная ошибка регрессии; – случайные отклонения (остатки);– уравнение регрессии;, так как – число степеней свободы + 1.Для начала находим с помощью MicrosoftExcel (рис. 9):Рис. 9. Значения Затем находим . Расчеты производим также в Microsoft Excel (рис. 10):Рис. 10. Сумма случайных отклонений (остатков)Получив , можем рассчитать стандартную ошибку регрессии (S2):Получив все составляющие, можем приступить к расчету непосредственно стандартных ошибок коэффициентов регрессии для b0, b1 и b2:Следующим шагом является определение интервальных оценок коэффициентов bi с вероятностью 95% (уровень надежности a = 0,05). Для этого потребуется посчитать t-наблюдаемые для b0, b1 и b2:и t-критическоес помощью встроенной функции СТЬЮДРАСПОБР по формуле в Excel:=СТЬЮДРАСПОБР(0,05;n-m).Если t-наблюдаемое больше t-критического (по модулю), т.е. , то основную гипотезу отвергают и считают, что с вероятностью (1-a) параметр регрессии значимо отличается от нуля.Если фактическое значение t-статистики меньше критического (по модулю), то нет оснований отвергать основную гипотезу, т.е. «истинной» параметр регрессии незначимо отличается от нуля при уровне значимости a.Расчеты представлены ниже:Таким образом, мы видим, что значимым является только параметр так как , (3,276 > 2,365).Параметры и не являются значимыми, так как : 1,363 < 2,365 и1,004 < 2,365 соответственно.Интервалы находим по следующей формуле:Полученные интервалы:Таким образом, с вероятностью 0,95 коэффициент регрессии принимает значения из интервала (0,242; 1,498). Поскольку ноль не попадает в этот интервал, то, как уже отмечалось ранее, коэффициент является значимым.Таким образом, с вероятностью 0,95 коэффициент регрессии принимает значения из интервала (- 8,557; 2,3). Поскольку ноль попадает в этот интервал, то, как уже отмечалось ранее, коэффициент неявляется значимым.Таким образом, с вероятностью 0,95 коэффициент регрессии принимает значения из интервала (- 0,398; 0,986). Поскольку ноль попадает в этот интервал, то, как уже отмечалось ранее, коэффициент не является значимым.Следующим шагом оценки качества модели является расчет коэффициента детерминации по формуле представленной ниже:Для начала находим матрицу b транспонированную с помощью MicrosoftExcel (рис. 11).Рис. 11. Транспонированная матрица bВыражение также находим с помощью Excel и получаем:Далее транспонируем матрицу Y. Результат представлен на рисунке 12.Рис. 12. Транспонированная матрица YЗатем с помощью Excel находим выражение :Подставляя все найденные значения в формулу, получаем коэффициент детерминации:Чем ближе к 1, тем лучше регрессия описывает зависимость между объясняющими и зависимой переменными.В нашем случае коэффициент детерминации равен 0,737 > 0,7, следовательно, зависимость между переменными можно считать высокой.Последнем в этой главе приведем расчеты оценки модели по критерию Фишера (f-статистике):F-критическое находим с помощью встроенной в MicrosoftExcel функции =FРАСПОБР(a;m;n-m-1) по следующей формуле:=FРАСПОБР(0,05;2;10-2-1)Если, то можно говорить о работоспособности модели.Приведем расчеты:Получаем, что , то есть , следовательно доказали, что по полученной модели можно работать.3. Построение точечного прогноза на основе многофакторной регрессионной модели3.1 Определение интервальных оценок для среднего значения прогнозной величиныРассмотрим прогноз для параметров:х1 = 8 метров;х2= 6%.Определим значение прогнозной величины:Для этого понадобится определить усредненную стандартную ошибку регрессии:где – прогнозная матрица X; – транспонированная прогнозная матрица X.С помощью MicrosoftExcel находим значение выражения (рис. 13):Рис. 13 Значение выражения Далее определяем подкоренное выражение также с помощью MicrosoftExcel (рис. 14):Рис. 14 Значение выражения Имея все необходимые значения, считаем усредненную стандартную ошибку регрессии:Таким образом, значение прогнозной величины: .Интервальная оценка среднего значения y находится по формуле:3.2 Определение интервальных оценок для индивидуального прогнозного значенияДля определения точечного прогноза необходимо найти . Формула расчёта представлена ниже:Далее определяем интервал:Нетрудно заметить, что интервалвключает в себя интервал y.ЗаключениеВ практике экономических исследований имеющиеся данные не всегда можно считать выборкой из многомерной нормальной совокупности, когда одна из рассматриваемых переменных не является случайной или когда линия регрессии явно не прямая и т. п. В этих случаях пытаются определить кривую (поверхность), которая дает наилучшее (в смысле метода наименьших квадратов) приближение к исходным данным. Соответствующие методы приближения получили название регрессионного анализа.Задачами регрессионного анализа являются установление формы зависимости между переменными, оценка функции регрессии, оценка неизвестных значений (прогноз значений) зависимой переменной.Экономические явления, как правило, определяются большим числом одновременно и совокупно действующих факторов. В связи с этим часто возникает задача исследования зависимости одной зависимой переменной Y от нескольких объясняющих переменных «Х1, Х2,…, Х𝑛». Эта задача решается с помощью множественного регрессионного анализа.Регрессионную модель следует рассматривать как математическое выражение реальной закономерной взаимосвязи. В экономических исследованиях интерес представляет не простое изучение взаимосвязей процессов и явлений, а количественное выражение этих взаимосвязей. Поэтому к модели прежде всего предъявляется требование наибольшего соответствия характеру исследуемого процесса, возможности экономической интерпретации всех его параметров и хорошего приближения расчетных результатов к опытным данным. Отсюда значительное повышение требований к точности и надежности каждого параметра и к точности, надежности и адекватности модели в целом.В последние десятилетия эконометрика как научная дисциплина стремительно развивается. Растет число научных публикаций и исследований с применением эконометрических методов. Свидетельством всемирного признания эконометрики является присуждение за наиболее выдающиеся разработки в этой области Нобелевских премий по экономике Р. Фришу и Я. Тинбергу (1969), Л. Клейну (1980), Т. Хаавельмо (1989), Дж. Хекману и Д. Макфаддену (2000).Язык эконометрики все больше становится языком математики, а экономику все чаще называют одной из наиболее математизированных наук.В теоретической части данной работы были раскрыты основные понятия и уравнения многофакторной регрессии, оценка параметров и оценка тесноты связи в модели многофакторной регрессии, мультиколлинеарность, а также оценки прогнозирования.В практической части исследования нам были предоставлены исходные данные для построения регрессионной модели. Модель была построена для оценки экономический показателей угольного предприятия.В ходе работы было построено уравнение регрессии, которое выглядит следующим образом:Для проверки качества построенной модели регрессии были рассчитаны следующие показатели:Стандартизированный коэффициент: и, то есть при увеличении мощности пласта х1 на 1 метр добыча угля y в среднем изменится на 0,727 тонна, а при увеличении уровня механизации работ х2 на 1 % добыча угля y в среднем изменится на 0,223 тонны.Коэффициент эластичности: и, то есть при увеличении мощности пласта х1 на 1% добыча угля y в среднем изменится на 1,185 от средней, а при увеличении уровня механизации работ х2 на 1% добыча угля y в среднем изменится на 0,268 от средней.Значимость найденных коэффициентов: ;; ; , то есть значимым является только параметр так как , параметры и не являются значимыми, так как .Интервальные оценки коэффициентовbi:с вероятностью 0,95 коэффициент регрессии принимает значения из интервала (0,242; 1,498). Поскольку ноль не попадает в этот интервал, то, как уже отмечалось ранее, коэффициент является значимым;с вероятностью 0,95 коэффициент регрессии принимает значения из интервала (- 8,557; 2,3). Поскольку ноль попадает в этот интервал, то, как уже отмечалось ранее, коэффициент неявляется значимым;с вероятностью 0,95 коэффициент регрессии принимает значения из интервала (- 0,398; 0,986). Поскольку ноль попадает в этот интервал, то, как уже отмечалось ранее, коэффициент не является значимым.Коэффициент детерминации: ,следовательно, зависимость между переменными можно считать высокой.Оценки модели по критерию Фишера (f-статистике):;, так как, то полученную модельможно считать рабочей.В ходе работы было выполнено построение точечного прогноза на основе многофакторной регрессионной модели:определены интервальные оценки для среднего значения прогнозной величины: с вероятность 0,95 можно утверждать, что среднее прогнозное значение длях1 = 8 метров и х2= 6% попадает в интервал;определены интервальные оценки для индивидуального прогнозногозначения: с вероятность 0,95 можно утверждать, чтопрогнозное значениедля х1 = 8 метров и х2= 6% равное ,попадает в интервал;Основной вывод по работе: после проведения расчётов, оказалась больше ,откуда следует, что построенная модель является рабочей.Список использованных источниковАртамонов Н.В. Введение в эконометрику. – М.:МЦНМО, 2013. – 204 c.Бородич С.А. Эконометрика. Практикум. Учебное пособие. –М.: Инфра-М, 2015. –336 с.ВербикМарно Путеводитель по современной эконометрике. – М.:Научная книга, 2016. – 616 c.Воскобойников Ю.Е. Эконометрика в Excel. Парные и множественные регрессионные модели. Учебное пособие. – М.: Лань, 2016. – 260 с.Гладилин А.В., Герасимов А.Н., Громов Е.И. Практикум по эконометрике. – М.: Феникс, 2014. – 336 c.Дайитбегов Д.М. Компьютерные технологии анализа данных в эконометрике. – М.: СИНТЕГ, 2013. – 592 c.Костюнин В.И. Эконометрика: учебник и практикум. –М.: Юрайт, 2017. –286 с.Кочетыгов А.А., Толоконников Л.А. Основы эконометрики. – М.: МарТ, 2013. – 352 c.Мардас А.Н. Эконометрика: учебник и практикум. –М.: Юрайт, 2016. –182 с.Новиков А.И. Эконометрика: учебное пособие. –М.: Инфра-М, 2015. –272 с.Тихомиров Н. Методы эконометрики и многомерного статистического анализа. – М.: Экономика, 2014. – 822 c.Эконометрика: учебник для бакалавриата и магистратуры / И. И. Елисеева [и др.] ; под ред. И. И. Елисеевой. –М.: Юрайт, 2015. – 449 с.Яновский Л.П., Буховец А.Г. Введение в эконометрику. – М.: КноРус, 2016. – 256 c.