Многокретериальные задачи оптимизации

2.3. Метод свертки критериевМетод свертки критериевсвязан с преобразованием набора имеющегося набора частных критериев к одномусуперкритерию. Таким образом, полученный новый суперкритерийF, являющийся функций от частных критериев будет являться определяющи при поиске решения. Функция называется сверткой частных критериев [12]. Основные стадии решения задачи многокритериальной оптимизации методом свертки [13]:1. Определение возможности проведения сверткиОбоснование допустимости свертки предполагает однородность входящих в нее критериев. Выделяются такие группы показателей эффективности, как [15]:- параметры результативности; - параметры ресурсоемкости;- параметры оперативности.Критерии, подлежащие свертке, должны входить в одну и ту же группу, нельзя проводить свёртку критериев, относящихся одновременно, например, к параметрам оперативности и параметрам результативности. Таким образом, для каждой группы свертка частных критериев выполняется отдельно. В случае нарушенияданного принципа теряется смысл результатной функции [23]. 2. Нормирование критериев3. Оценка приоритетности критериев Учет приоритетности, как правило,определяется некоторым вектором весовых коэффициентов, отображающих степень важности того или иного критерия для поставленной задачи. 4. Вывод функции свертки При проведении свертки критериев, используются такие следующие виды функций[15]:- Аддитивные функции свертки;- Мультипликативные;- Агрегированные, а также могут существоватьиные варианты сверток. Аддитивная сверткаАддитивная свертка критериев рассматривается как реализация принципов справедливой компенсации по абсолютным значениям нормированных частных критериев [21]. В данном случае построениесуперкритерияпроводитсячерез взвешенную сумму частных критериев Выбор весовых коэффициентовпроводится таким образом, чтобы их сумма была равна единице. В методах равномерной оптимизации, которые являются частным случаем аддитивной свертки, весовые коэффициенты подбираются равными между собой. В процессе решения задач более удобным является подход к определению весовых коэффициентов , связанный с использованием таблицы 1.Таблица 1 - Таблица относительной важности критериевОтносительная важность1Сравнимые требования эквивалентны 3Наличие умеренного (слабого) превосходства одного над другим5Наличие сильного (существенного) превосходства7Наличие очевидного превосходства8Наличие абсолютного (подавляющего) превосходства2, 4, 6, 8Наличие промежуточных решений между двумя соседними оценкамиМультипликативная сверткаТехнология мультипликативной сверткиоснована на принципах справедливой компенсациив относительных изменениях для частных критериев. В данном случае функциясуперкритерияпринимает вид, произведения частных критериев , каждый из которых возводится в степень . При этом суммарное значение весовых коэффициентов должно быть равно единицы , а каждый из весовых коэффициентов должен представлять собой неотрицательную величину. Для использования мультипликативных критериев нетнеобходимости в нормировке частных критериев, что является их достоинством [13]. Осуществление выбора между аддитивными и мультипликативными критериямисвязано с важностью учета в абсолютных или относительных измененияхпараметров частных критериев. Агрегирование частных критериев используется также в различных вариантах агрегирования. В частности, если компенсация значений одних параметрах эффективности другими является недопустимой, то используется функции агрегирования, имеющаявид: Для каждого из частных критериев, проводится нахождение его нормированного значения и умножение на соответствующий весовой коэффициент. Далее из всех полученных значений проводится выбор либо максимума, либо минимума. Если необходимо увеличение первыхm показателей, и уменьшение остальных, то используется функция агрегирования вида: (2.11)В числителе данного соотношения находится произведение тех параметров, значение которых необходимо максимизировать, а в знаменателе - произведение тех параметров, для которых необходим поиск минимума. Таким образом, получается новый критерий, подлежащий максимизации [9]. Методика, связанная со свертыванием критериев, находит широкоеприменение в решении задач многокритериальной оптимизации. При этом они содержатряд проблем и недостатков. В частности, имеются трудности в обосновании выбора метода по свертыванию критериев, а от выбор метода определяет полученные результаты. Другой недостаток связан с трудностьюв обосновании выбора весовых коэффициентов, для чего необходимопривлечение экспертов, проведение опросов сдальнейшей обработкой полученных результатов. Все это требует значительныхвременных и трудовых затрат. Еще наличие одной проблемы связано с тем, что данные методы, как правило, дают возможности компенсации малых значений одних критериев большими значениями других, что часто является неприемлемым для конкретных решений [8]. Приведем решение задачи с использованием методов светртки.Перед запуском преобразованияданных критериев в единый критерий, необходимо привести их к однородному состоянию.Т.е. в указанном случае необходимо провести максимизацию функции . В таком случае получаем: . После этого проводим суммирование частных критериев в единый критерий, и далее проводим решение задачи максимизации:.Также необходимо учитывать наличие весовых коэффициентов, при этом их сумма должна составлять единицу. Весовые коэффициенты также должны быть неотрицательными. Распределениевесовых коэффициентовпроводится по степени важности данных частных критериев . В рассматриваемомпримере весовые коэффициенты распределены следующим образом: 0,5; 0,3; 0.2. После проведения подсчетовс учетом весовых коэффициентов, целевая функция принимает вид: или .Нахождение оптимального решения проводим с использованием поиска решения в MSExcel (рисунок 12). На рисунке 13 приведены параметры поиска решения, на рисунке 14 приведен результат поиска решения.Рисунок 12 - Исходные данные задачи оптимизацииРисунок 13 - Параметры поиска решенияРисунок 14 - Результат поиска решенияПриведенные методы сводятся, в основном,к сравнению заданных альтернатив и выбору лучшего варианта. Зачастую критерии, с использованием которых проводится оценка альтернатив, являются противоречивыми. В данном случаецелесообразно использовать разные методы и шкалы оценивания. С позиции математических методов, не существует идеальныхспособов или методовдля решения многокритериальных задач оптимизации. Тем не менее, данные методы помогают осуществить подготовку всей необходимой для принятия решения информациидля поддержки процесса принятия управленческих решенийи в максимальной степени разобраться в сложившейся ситуации. ЗАКЛЮЧЕНИЕРешение задачи, в модели которых встречается многокритериальная оптимизациясвязано с определениеммножества целей, которые не могут быть смоделированы с использованиемединого критерия (например, по показателям стоимости и надежности). В задачах с множеством целевых функций необходимо проводить поиск точки, принадлежащейобласти допустимых решений, в которой целевые функции имеют экстремум. Если целевая функция связана с однородными объектами, то решение задачи проводится с использованием модели векторной оптимизации.В рамках данной работы проведен анализ теоретических аспектов в области использования математических моделей, использующих многокритериальную оптимизацию с использованием метода Парето.В результате использования специализированных программных продуктоввозможна реализация алгоритмов поддержки принятия решений с дальнейшим получением оптимального плана использования материных и трудовых ресурсов в рамках поставленных задач многокритериальной оптимизации.В процессемоделирования алгоритмов многокритериальной оптимизации проведен анализ порядка решения задач, позволяющих находить оптимальные производственные планы. В процессе решения было показано, что в настоящее время не существует универсального алгоритма, позволяющего решать задачи, содержащие множество требований к целевым функциям. Использование каждого из приведенных решений может давать различные результаты. Рассмотрены алгоритмы решения задач, связанные с проведением последовательных уступок (при котором проводится корректировка требований к каждой из целевых функций до тех пор, пока не достигаетсяоптимальный для построенной модели план), метод сведения задачи к однокритериальной оптимизации, посредством которого определяется главный критерий, а остальные критерии преобразуются в ограничивающие условия. Также для решения поставленной задачи существует алгоритм свертки, при котором определяются весовые коэффициенты для каждого из критериев и в соответствии с этим производится свертка целевой функции к единому условию поиска экстремума.СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХИСТОЧНИКОВБолотова Л. С., Сорокин А. Б. Многокритериальная оптимизация / Болотова Л.С., Сорокин А.Б. - Москва : МИРЭА, 2015. – 263с.Бураков Д. П., Гарина М. И. Теория принятия решений : методы оптимизации и многокритериального выбора : учебное пособие / Д. П. Бураков, М. И. Гарина. - Санкт-Петербург : ФГБОУ ВО ПГУПС, 2017. - 65 с. Холопкина Л.В., Кремер О.Б. Методы оптимизации. Компьютерные технологии: учебное пособие / Л. В. Холопкина, О.Б. Кремер. - Воронеж: Воронежский государственный технический университет, 2016. - 146 с.Корнеенко В. П. Методы многокритериального оценивания объектов с многоуровневой структурой показателей эффективности: монография / В. П. Корнеенко. - Москва: МАКС Пресс, 2018. - 292 с.Зак Ю. А. Прикладные задачи многокритериальной оптимизации / Ю.А. Зак. - Москва : Экономика, 2014. - 455 с. Соловьев С. В. Методы оптимизации. Примеры и задачи. - Хабаровск : Изд-во ТОГУ, 2017. – 162Гайдук А.Р. Теория автоматического управления в примерах и задачах с решениями в MATLAB / Гайдук А.Р., Беляев В.Е., Пьявченко Т.А. – СПб.: Лань, 2011. – 464с.Шукаев Д. Н. Прикладные методы оптимизации: учебник / Д. Н. Шукаев. - Москва : ИД "Академия естествознания", 2017. - 211 сПавлов Н. MicrosoftExcel: мастер формул: подробное руководство в формулах и функциях MicrosoftExcel / Николай Павлов. - Москва :ДМК, 2017. - 239 с.Данциг Д. Линейное программирование, его применения и обобщения / Данциг Д. –М.: Прогресс, 1966. – 600с.Дьяконов В. MATLAB с пакетами расширений / Дьяконов В., Абраменкова И., Круглов В. – Нолидж, 2001. – 101с.Пицюк И. Л., Фишман Б. Е. Математические методы в экономике: линейные задачи оптимизации : учебное пособие / И. Л. Пицюк, Б. Е. Фишман. - Хабаровск : Изд-во ТОГУ, 2016. - 127 с. Егоренков Д.Л. Основы математического моделирования. Построение и анализ моделей с примерами на языке MATLAB / Егоренко Д.Л., Фрадков А.Л., Харламов В.Ю. – СПб.: БГТУ, 1994. – 190с.Каверина В. К. Задачи оптимизации и планирования: учебное пособие / В. К. Каверина. - Воронеж: Воронежский ГАСУ, 2015. - 62 с. Колпаков В.М. Теория и практика принятия управленческих решений / Колпаков В.М. – К.: МАУП, 2004. – 504с.21. Корнеенко В.П. Методы оптимизации / Корнеенко В.П. – М.: Высшая школа, 2007. – 664с.Коробкин А.Д. Оптимизация производственного планирования на предприятии / Коробкин А.Д., Мироносецкий Н.Б. – Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 2004. – 336с.Лопатников Л.И. Экономико-математический словарь: Словарь современной экономической науки. / Л.И. Лопатников. – М.: Дело, 2003. – 121с.