Инвариация узлов и зацеплений

Теорема. Полином является инвариантом ориентированного зацепления относительно изотопии в пространстве[4].С помощью полинома можно, в частности, доказать, что левый трилистник и правый трилистник — разные(неизотопные) узлы. В самом деле, из примера 3 следует, чтоНапомним, что полином был определен аксиоматически с помощью соотношений (1)-(3). Затем было доказано, чтополином, удовлетворяющий этим соотношениям, существует и единственен [5]. А вот полином был определен формулой (3.4), содержащей . Оказывается, что полином тоже допускает аксиоматическое определениепосредством простых и весьма полезных соотношений.Чтобы получить основное определяющее соотношение для полинома , воспользуемся дважды свойством (1)полинома :Умножим первое соотношение на , а второе на . Сложив эти равенства, получимТакое равенство выполняется, в частности, для диаграмм ориентированных зацеплений и , изображенных на рис. 10, т.е.Рис. 10Для диаграмм и легко проверить, что . Следовательно,2.3 ОпределениеполиномаДжонсаСделаем вполиномеКауфманазамену. В результатеполучимполиномот. Этот полином обозначают и называютполиномомДжонсаориентированногозацепления. ПолиномДжонсаудовлетворяетследующимсоотношениям:В соотношении (1') диаграммы, , совпадаютвнемаленькогокруга, а внутриегоониустроенытак, какпоказанонарис. 11. Этосоотношениеназывают«skein relation», илисоотношениетипаКонвея. Далее, в соотношении (2') диаграмма представляет собой диаграмму, к которой добавлена окружность, не пересекающая проекциюсоответствующуюдиаграммезацепления. Наконец, соотношение (3') означает, что полином Джонса для окружности равен 1. Эти соотношения следуют из соответствующих свойств полинома . Соотношения (1')—(3') предоставляютспособвычисленияполинома, отличающийсяотспособавычисленияполинома. Вычислениеэтогополиномаопиралосьнауничтожениевсехперекрестков с помощьюсоотношения (1) дляполинома. В случаежеполинома,соотношение (1') даетнетолькодиаграмму с уничтоженнымперекрестком, но и диаграмму с измененнымтипомперекрестка. ПоэтомустратегиявычисленийполиномаДжонсазаключается в «распутывании» зацепления с помощьюизменениятиповперекрестков. Здесь при распутываниисначаларасцепляемкомпонентызацепления, а затемразвязываемкаждуюизних. Соотношение (1') применяется лишь к темперекресткам, которыенужноизменить, чтобыраспутатьзацепление.Преждечемдоказывать, чтоэтастратегиявсегдапозволяетвычислитьполиномДжонса, покажем, каконаработает в случаетрилистника.Применивсоотношение (1') к любомуперекрестку, получимтривиальныйузел и зацеплениеХопфа:Применивсоотношение (1') к зацеплениюХопфа, получимИзсоотношений (2') и (3') теперьследует, чтоазначит,Этосовпадает с результатомпредыдущихвычислений:таккак.АналогичноможновычислитьполиномДжонсалюбого-компонентного зацепления , представленного диаграммой с -перекрестками. В самомделе, пусть —последовательностьзацеплений, начинающаясяданнымзацеплением и заканчивающаясятривиальным-компонентным зацеплением , причем все соседние зацепления и получаютсядругиздругаизменениемтипа«равно»одногоперекрестка. Тогда выполняется одно из двух соотношенийпричемзацеплениепредставленодиаграммой с перекрестком. Таккакполиномизвестен, томожно последовательновычислитьполиномы, еслиудастсявычислитьполиномы. Диаграмма зацепления имеет менее перекрестков, поэтомуполиномыможновычислить,применивиндукциюпочислуперекрестковдиаграммы.Теперь, чтобыубедиться, чтоописанныйалгоритмвычисленияполиномадействительноработает, остаетсялишьдоказать, чтосуществуеттребуемаяраспутывающаяпоследовательностьзацеплений.Теорема. Любое -компонентное зацепление можнопревратить в тривиальное-компонентноезацепление, изменивтипынекоторыхегоперекрестков.Таким образом, полиномДжонсаможновычислить спомощьюсоотношения (1'), исходяизполиномовДжонсатривиальныхзацеплений. Изэтого, в частности, следует, чтополиномДжонсаявляетсяполиномомот, т.е.полином содержит лишь четные степени . Оказывается, что для узла полином содержит лишь степени ,делящиесяна 4. Болеетого, справедливоследующееутверждение [5].Теорема.а) Есликоличествокомпоненториентированногозацепления нечетно (например, если — узел), тополиномДжонсасодержитлишьчленывида, .б) Есликоличествокомпоненториентированногозацепления четно, то полином Джонса содержит лишь членывида, .2.4. ТаблицыузловТеперьпроведемклассификациюузлов с небольшимчисломперекрестков, аименно, узлов, у которыхестьдиаграммы с количествомперекрестковнеболее 7.Дляэтогонужносначалаперечислимвсеразличные, с точностьюдоплоскойизотопиидиаграммыузлов с перекрестками.Следует отметить, что этакомбинаторнаязадачавесьмапроста, нотребуетпереборабольшогочисларазличныхвариантов. Послетогокакэтосделано, нужновычислитьполиномыДжонсаузлов, соответствующихполученнымдиаграммам.В итогеполучаемтаблицуузлов с неболеечем 7 перекрестками (рис. 11); в этойтаблицепредставленытолькопростыеузлы.Рис. 11Еслидвумдиаграммамсоответствуетодин и тотжеполиномДжонса, можнопопытатьсядоказатьэквивалентностьсоответствующихдиаграммамузлов с помощьюпреобразованийРейдемейстера. Оказывается, чтодлядиаграмм с количествомперекрестковнеболее 7 этипопыткивсегдаувенчиваютсяуспехом.Составныеузлы с неболеечем 7 перекресткамиизображеныотдельнонарис.12.Рис. 12Примером простого неальтернированного узла служит узел , изображенный на рис. 13. (имеется в виду, что у этого узла нет ни одной альтернированнойдиаграммы.)Рис. 13Отметим, что все узлы на рис. 11альтернированные, т.е. при обходе диаграммы перекрестки мы проходим поочередно то сверху, то снизу.ЗаключениеОдин из наиболее естественных вопросов теории узловсвязан с тем, чтобы по двум данным диаграммам узнать,соответствуют ли они одному узлу или разным. И если в том, что диаграммы соответствуют одному узлу, еще можноубедиться, проделав несколько преобразований Рейдемейстера,то для доказательства того, что диаграммы соответствуют разным узлам, уже нужны какие-то хитрости. Стандартный метод заключается в использовании инвариантов, т.е.алгебраических объектов (например, чисел или полиномов),сопоставляемых диаграмме узла таким образом, чтобысопоставляемый объект не изменялся при изотопии узла. В таком случае две диаграммы с разными значениями инвариантасоответствуют разным узлам. Этот метод эффективен лишь в том случае, когда инвариант вычисляется достаточнопросто. Знаменитый полином Джонса является именно таким инвариантом для зацеплений (а, значит, в частности, и для узлов). Список литературыMoise, E., Afflnestructuresin 3-manifolds. V. ThetriangulationtheoremandHauptvermuung, Annals of 2latimmatics, 56, pp.96.Haken, W., (1962). TheoriederNormalflachen. EinIsotopiekrlterium for den Kreisknoten, ActaMathematica, 105, 1952, pp.245. Hemion G., The classification of Knots and 3-dimensional spaces. Oxford University Press, 1992, 163 p.Кроуэлл Р., Фокс Р., Введение в теорию узлов. М.: Мир, 1967, 348 с.Прасолов В.В., Сосинский А.Б., Узлы, зацепления, косы и трехмерные многообразия. М.: МЦНМО, 1997, 352 с.Сосинский А.Б. Узлы, зацепления и их полиномы // Квант, - № 4. – 1989. С. 11-18.