Методы решения уравнений и неравенств с параметрами в процессе подготовки к ЕГЭ

В любом случае при переносе данного слагаемого в правую часть и приведении подобных слагаемых коэффициент перед (в правой части) будет положительным. Например, если модули раскроются оба положительными (то есть ), то неравенство для таких примет вид: Следовательно, справа получается возрастающая линейная функция. Таким образом, можно сделать вывод, что как бы ни раскрылись модули, функция всегда будет монотонно возрастающей. Поэтому если рассмотреть неравенство в виде то для того, чтобы неравенство при всех выполнялось, достаточно, чтобы график возрастающей функциибыл выше оси . Следовательно, значение (в левой точке отрезка) должно быть неотрицательным: Заметим, что . Следовательно, данное неравенство имеет вид: . Как известно, при всех выполняется неравенство:. Следовательно, наше неравенство выполняется тогда и только тогда, когда Для того, чтобы модуль суммы был равен сумме модулей двух чисел хотя бы одно из них должно быть равно нулю либо они должны быть одного знака, следовательно, данное равенство равносильно Ответ:2.2.4. Четности. Периодичность. ОбратимостьПример: Решить уравнение Решение. Рассмотрим функцию Они взаимно обратные и возрастающие. Тогда равносильно исходному.Ответ: Пример: решить уравнениеРешение. Очевидно то Рассмотрим функцию Она возрастает наСледовательно, при эта функция обратима, причем функция является для нее обратной. ОтсюдаЗаметим, что мы использовали функцию, стоящую в правой части уравнения, потому что такой выбор не изменяет область определения первоначального уравнения. Ответ: Задание.(ЕГЭ 2014, вторая волна)Найдите все значения параметра при которых уравнение имеет ровно два различных решения на отрезке .Заметим, что периодическая функция с периодом. Таким образом, если данное уравнение будет иметь решение на , то оно также будет иметь еще одно решение на (в точках тангенс не определен). А вот решения из промежутка не дублируются на отрезке . Таким образом, данное уравнение будет иметь два решения на отрезке в одном из двух случаев: 1) Если оно будет иметь ровно одно, причем неотрицательное, решение относительно . 2) Если оно будет иметь ровно два различных, причем отрицательных, решения относительно. Рассмотрим первый случай.Введем обозначение . Тогда. Получим уравнение: Заметим, что по теореме Виета корнями данного уравнения будут: Для того, чтобы уравнение имело ровно один корень, причем, нужно: Рассмотрим второй случай.Т.к. в этом случае. Также остается: Для того, чтобы уравнение имело два корня, причем оба были меньше 6, нужно: Таким образом, окончательный ответ в задаче: Ответ:2.3. Графический методДанный метод используется не только в задачах с параметром, но и для решения обыкновенных уравнений, систем уравнений или неравенств. Он входит в стандартный курс школьной программы и наверняка вы с ним сталкивались, но в несколько упрощенном варианте. Сначала я кратко напомню, в чем заключается этот метод. Затем разберем, как его применять для решения задач с параметром, и рассмотрим несколько типовых примеров.Для начала рассмотрим уравнение с одной переменной Для того, чтобы решить его графическим методом, нужно построить график функции Точки пересечения графика с осью абсцисс (ось х) и будут решениями нашего уравнения. Или рассмотрим уравнение Точно так же строим на одной координатной плоскости графики функцийи абсциссы точек их пересечения будут решениями уравнения.Стоит отдельно отметить, что для решения графическим методом необходимо выполнять очень качественный и точный рисунок.Пример 1 Решить графическим методом уравнение Решение: Построим на одной координатной плоскости графики функций и См. рис.1.Рис. 1– красный график; – синий график.Из рис.1 видно, что графики пересекаются в точках (−1;2)и (3;18). Таким образом, решением нашего уравнения будут: x1=−1;x2=3.Ответ: x1=−1;x2=3.Теперь рассмотрим уравнение с двумя переменными . Решением этого уравнения будет множество пар точек, которые можно изобразить в виде графика на координатной плоскости . Если решать это уравнение аналитически, то, как правило, мы выражаем одну переменную через другую или В качестве примера рассмотрим обыкновенное линейное уравнение . (1) Выражаем – это называется общим решением уравнения. Изобразим его на координатной плоскости, построив график (рис. 2):Рис. 2Все точки, принадлежащие этому графику, будут решениями нашего уравнения. Например, при Аналогично можно выразить График будет выглядеть так (Рис. 3):Рис. 3И, разумеется, будет задавать точно такие же пары решений и . Теперь перейдем к уравнениям с параметром. Заметим, что параметр – это обычная переменная, которая ничем не отличается от рассмотренных выше переменных и . Поэтому, если мы вместо y в уравнении (1) запишем параметр , то суть уравнения от этого не поменяется. То есть уравнение (1) можно рассматривать относительно с параметром или наоборот. В дальнейшем параметр будем обозначать заРазберем уравнение с параметром Будем работать в системе координат (aOx). Выразим –этобудетобщийвидрешения.Длятого,чтобыпроиллюстрироватьответ,построимграфик(Рис. 4). Рис. 4Пример 2 Найти все значения параметра a,, при которых корни уравнения лежат на отрезкеГрафикдля этого же примера на рисунке 4. Иногда для решения удобно построить график зависимости Построим график (Рис. 5). И красной областью покажем интервал, который нас интересует по условию задачи. Из рисунка видно, что Рис. 5Пример 3Определить, при каких значениях параметра aуравнение имеет: а) 2 корня; б) 1 корень; в) не имеет корней;Решение:1 способ решения:Приведем уравнение к виду И построим графики (показан красной линией) и (синяя линия). Обратите внимание, график – это просто семейство прямых параллельных оси в плоскости (Рис. 6). Точки пересечения красной линии с семейством синих линий – это корни нашего уравнения. Если, например, то графики и имеют две общие точки, а значит, и два решения. При оба графика имеют только одну общую точку – это единственное решение.Рис. 6Ответ:При уравнение имеет два корня;При уравнение имеет один корень;При уравнение не имеет корней.2 способ решения:Таким же образом можно решить данное уравнение, построив графики в плоскости Для этого выразим Рис.7Различным значениям параметра можно поставить значения искомого x, для это проведем горизонтальные линии. Ответ:При уравнение имеет два корня;При уравнение имеет один корень;При уравнение не имеет корней.Пример 4Решить уравнение: Сделаем замену тогда, при Построим в плоскостиграфик нашей функции Рис.8Точки пересечения горизонтальных (фиолетовых) прямых с графиком нашей функции соответствуют решениям. Но , покажем это при помощи зеленой области (Рис.8). Таким образом, нас устраивают решения, которые принадлежат кусочку параболы, попавшей в зеленую область. Как видно из рисунка, a может принимать значения , и каждому значению a из этой области соответствует единственное решение. Найдем его, решив уравнение ;не подходит, так как он не удовлетворяет условию t∈[−1;1].Сделаем обратную замену:Ответ:ПриПример 5 Решить уравнение Решение:Сделаем замену: Обратите внимание: ВыразимТаким образом, необходимо решить систему:Построим решения данной системы на координатной плоскостиРис. 9Красной линией показан график , а зеленая область показывает интервал, в котором могут лежать корни. Выделенная часть графика соответствует всем возможным корням при Если a не принадлежит этому интервалу, то корней нет. Найдем эти решения: ,,.Ответ:При;Задание 2.Найдите все значения, при каждом из которых системаИмеет единственное решениеПерепишем систему в виде:Рассмотрим три функции: .Из системы следует, что, но . Следовательно, чтобы система имела решения, график должен находиться в области, которая задается условиями: «выше» графика, но «ниже» графика : (будем называть «левую» область областью I, «правую» область – областью II) Заметим, что при каждом фиксированном графиком является парабола, вершина которой находится в точке ниже оси абсцисс, а ветви обращены либо вверх, либо вниз. Если, то уравнение выглядит как и графиком является прямая, совпадающая с осью абсцисс. Заметим, что для того, чтобы исходная система имела единственное решение, нужно, чтобы график имел ровно одну общую точку с областью I или с областью II (это значит, что график должен иметь единственную общую точку с границей одной из этих областей). Рассмотрим по отдельности несколько случаев. 1) . Тогда ветви параболы обращены вверх. Чтобы у исходной системы было единственное решение, нужно, чтобы парабола касалась границы области I или границы области II, то есть касалась параболы, причем абсцисса точки касания должна быть (то есть парабола должна коснуться границы одной из областей, которая находится выше оси абсцисс, раз парабола лежит выше оси абсцисс). Условия касания графиков и в точке с абсциссой :Из данной системы Получили первое значение параметра . 2). Тогда и видно, что прямая имеет бесконечное множество общих точек с областью II. Следовательно, это значение параметра нам не подходит. . Тогда ветви параболы обращены вниз. Чтобы у исходной системы было единственное решение, нужно, чтобы парабола имела одну общую точку с границей области II, лежащей ниже оси абсцисс. Следовательно, она должна проходить через точку , причем, если парабола будет иметь еще одну общую точку с прямой , то эта общая точка должна быть «выше» точки (то есть абсцисса второй точки должна быть ). Найдем, при которых парабола проходит через точку: Убеждаемся, что при этом значении параметра вторая точка пересечения параболы с прямой – это точка с координатами . Таким образом, получили еще одно значение параметра. Так как мы рассмотрели все возможные случаи для, то итоговый ответ: Ответ:Задание. (ЕГЭ 2017, досрочная волна)Найдите все значения параметра , при каждом из которых система имеет хотя бы одно решение, принадлежащее отрезку Так как нужно, чтобы система имела хотя бы одно решение из отрезка, то как минимум . Следовательно, решим систему только для. В таком случае можно разделить первое неравенство на и получим следующую систему: Рассмотрим систему координат (то есть привычная нам ось будет называться ). Тогда каждое неравенство при задает некоторую область, а решением системы является область, равная пересечению всех трех областей, как показано на рисунке (белая область и есть решение системы): Тогда условие «система имеет хотя бы одно решение из отрезка » задает область: Следовательно, , где – ординаты точек пересечения прямой с и с . (Заметим, что значение включается, так как неравенство не строгое, а не включается, так как неравенство строгое.)Таким образом, , а .Следовательно, ответ Ответ: Задание. ЕГЭ 2014Найдите все значения параметра , при которых система имеет два различных решения. Преобразуем скобку в числителе дроби: Дискриминант равен Таким образом, всю систему можно записать в виде: Найдем значения параметра, при каждом из которых прямаяимеет две точки пересечения с графиком системы Рассмотрим рисунок: Зеленым цветом изображен график системы, синим и черным – возможные положения прямой . 1) Заметим, что если прямая находится в положении (1) (проходит через точку пересечения и ) и выше, то она имеет только одну точку пересечения с графиком системы. Между положениями (1) и (2) и в положении (2) (проходит через точку пересечения ) прямаяимеет две точки пересечения с графиком системы. Найдем соответствующие значения параметра. Положение (1):; положение (2): Следовательно, при имеем две точки пересечения. 2) Между положениями (2) и (3) – три точки пересечения, а вот в положении (3) (проходит через точку пересечения и ) – две точки. Положение (3):.3) Между положениями (3) и (4) – три точки пересечения, а вот в положении (4) (проходит через точку пересечения ) – две точки. Положение (4): .4) Между положениями (4) и (5) – две точки пересечения. Положение (5) – прямая проходит через точку пересечения , следовательно, Следовательно, при имеем две точки пересечения. Собрав все подходящие значения параметра, получим: .Ответ:.ЗАКЛЮЧЕНИЕНа современном этапе обучения математики в средней школе усвоение знаний перестает носить характер заучивания, многообразие форм поисковой, проектной, мыслительной деятельности позволяет реализовывать обучение, как продуктивный творческий процесс. В рамках данного исследования была раскрыты аспекты при решении уравнений и неравенств с параметрами в основной школе, выполнен содержательный анализ«линии задач с параметрами» в программе математики основной школы, а также тематический анализ учебников математики основной школы.Анализ показал следующие особенности реализации обучения решению задач с параметрами на современном этапе в средней школе: отсутствие задач с параметрами в учебных программах основной средней школы;сложность данного класса задач в техническом плане;развитие более глубокого понимания всего школьного курса математики обучающимися в процессе овладения методами решения задачи с параметрами;высокая диагностическая и прогностическая ценность задач с параметрами.Практическая часть исследования включила разработку программы элективного курса «Уравнения и неравенства с параметрами».БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК