Метод математической индукции и его приложения

Очевидно, что это неравенство верно, так как  при , и тем более при , а  в силу индуктивного предположения.Пример 2.Докажите неравенство Бернулли: .Для начала создаем базу индукции, проверяя справедливость неравенства при: - верно.Пусть неравенство выполняется при , т.е. . Докажем тогда истинность неравенства .По предположению, неравенство верно. Умножаем неравенство с двух сторон на положительную величину , таким образомполучим неравенство:, т.к. . Данное неравенство является верным.. По методу математической индукции, неравенство истинно для всех натуральных .Пример 3.Доказать, что при n>2 справедливо неравенство1+(1/22)+(1/32)+…+(1/n2)<1,7-(1/n).Решение: 1) При n=3 неравенство верно 1+(1/22)+(1/32)=245/180<246/180=1,7-(1/3).Предположим, что при n=k1+(1/22)+(1/32)+…+(1/k2)=1,7-(1/k).3) Докажем справедливость неравенства при n=k+1(1+(1/22)+…+(1/k2))+(1/(k+1)2)<1,7-(1/k)+(1/(k+1)2).Докажем, что 1,7-(1/k)+(1/(k+1)2)<1,7-(1/k+1)ÛÛ(1/(k+1)2)+(1/k+1)<1/kÛ(k+2)/(k+1)2<1/kÛÛk(k+2)<(k+1)2Ûk2+2k1.Решение.Обозначим левую часть неравенства через., следовательно, при n=2 неравенство справедливо.Пусть при некотором k. Докажем, что тогда и . Имеем , .Сравнивая и , имеем , т.е. .При любом натуральном k правая часть последнего равенства положительна. Поэтому . Но , значит, и .Пример 5.Доказать, что , где >-1, , n – натуральное число, большее 1.Решение.При n=2 неравенство справедливо, так как .Пусть неравенство справедливо при n=k, где k – некоторое натуральное число, т.е.. (1)Покажем, что тогда неравенство справедливо и при n=k+1, т.е.. (2)Действительно, по условию, , поэтому справедливо неравенство, (3)полученное из неравенства (1) умножением каждой части его на . Перепишем неравенство (3) так: . Отбросив в правой части последнего неравенства положительное слагаемое , получим справедливое неравенство (2).Пример 6. Доказать, что (1)где , , n – натуральное число, большее 1.Решение.При n=2 неравенство (1) принимает вид . (2)Так как , то справедливо неравенство . (3)Прибавив к каждой части неравенства (3) по , получим неравенство (2).Этим доказано, что при n=2 неравенство (1) справедливо.Пусть неравенство (1) справедливо при n=k, где k – некоторое натуральное число, т.е.. (4)Докажем, что тогда неравенство (1) должно быть справедливо и при n=k+1, т.е. (5)Умножим обе части неравенства (4) на a+b. Так как, по условию, , то получаем следующее справедливое неравенство:. (6)Для того чтобы доказать справедливость неравенства (5), достаточно показать, что, (7)или, что то же самое,. (8)Неравенство (8) равносильно неравенству. (9)Если , то , и в левой части неравенства (9) имеем произведение двух положительных чисел. Если , то , и в левой части неравенства (9) имеем произведение двух отрицательных чисел. В обоих случаях неравенство (9) справедливо.Этим доказано, что из справедливости неравенства (1) при n=k следует его справедливость при n=k+1.Задачи на доказательство тождествПример 1. Доказать, что для любого натурального  справедливо равенство.Доказательство.1)       База индукции. Докажем равенство при . Левая часть равенства – сумма степеней двойки начиная с нулевой. Таким образом, получаем, что количество слагаемых  в левой части равенства равно . Тогда  при  число слагаемых равно двум, т.е. значение выражения левой части  равно  . Значение выражение в правой части равенства вычислим, подставляя вместо   единицу, получим . Теперь рассмотрим возможную запись приведенных рассуждений.        ,                             (верно)2)       Индуктивное предположение. Допустим, равенство верно при для любого фиксированного натурального , т.е. верно равенство.3)       Индуктивный переход. Докажем справедливость равенства при  , т.е. докажем равенство.Заменим первые слагаемое правой частью равенства пункта 2), получим,                      ,                          ,                            ,                                            (верно).Таким образом, данное равенство верно для любого натурального .Пример 2. Доказать, что для любого натурального n справедливо равенство:13+23+33+…+n3=n2(n+1)2/4.Решение:Пусть n=1, тогда Х1=13=12(1+1)2/4=1.Мы видим, что при n=1 утверждение верно.2) Предположим, что равенство верно при n=kXk=k2(k+1)2/4.3) Докажем истинность этого утверждения для n=k+1, т.е.Xk+1=(k+1)2(k+2)2/4. Xk+1=13+23+…+k3+(k+1)3=k2(k+1)2/4+(k+1)3=(k2(k+1)2+4(k+1)3)/4=(k+1)2(k2+4k+4)/4=(k+1)2(k+2)2/4.Из приведённого доказательства видно, что утверждение верно при n=k+1, следовательно, равенство верно при любом натуральном n.Пример 3.ДокажитетождествоCos2aCos4a …Сosa = Если n=1, то Cos2a = = = = Cos2a. Верно.Пусть дл n=k данное тождество верно, т.е. Cos2aCos4a …Сosa = Докажем, что при n=k+1 данное тождество верно.Cos2aCos4a …СosaСosa = Сosa = Сosa= = = . Тождество доказано.Можно сделать вывод, что тождество верно при любом значении n.Пример 4. Доказать, что 1+х+х 2 +х 3 +…+х n =(х n+1 -1)/(х-1), где х (1) Решение: 1) При n=1 получаем 1+х=(х 2 -1)/(х-1)=(х-1)(х+1)/(х-1)=х+1 следовательно, при n=1 формула верна; А(1) истинно. 2) Пусть k-любое натуральное число и пусть формула верна при n=k, т.е. 1+х+х 2 +х 3 +…+х k =(х k+1 -1)/(х-1). Докажем, что тогда выполняется равенство 1+х+х 2 +х 3 +…+х k +x k+1 =(x k+2 -1)/(х-1). В самом деле 1+х+х 2 +x 3 +…+х k +x k+1 =(1+x+x 2 +x 3 +…+x k )+x k+1 = =(x k+1 -1)/(x-1)+x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1). Итак, А(k) > A(k+1). На ᴏϲʜовании принципа математической индукции заключаем, что формула верна для любого натурального числа n.ЗаключениеВ ходе проделанной работы был изучен метод математической индукции. Были систематизированы знания по данной теме, метод был применен при решении математических задач и доказательстве теорем, обосновано и наглядно показано практическое значение метода.Так как метод математической индукции – это особый метод математического доказательства, который позволяет на основании частных наблюдений делать заключения о соответствующих общих закономерностях, с этой целью в работе было рассмотрено большое количество всевозможных примеров.В основном это были логические и занимательные задачи, т.е. как раз те, которые повышают интерес к самой математике как к науке. Решение таких задач становится занимательным занятием и может привлечь в математические лабиринты всё новых любознательных. По-моему, это является основой любой науки.Список литературыИ. Я. Депман. Метод математической индукции, 1957. Элементарная математика с высшей точки зрения, т. 1, 1935, стр. 835-836 Ананченко К.О., Коробенок Е.В., Перлин Д.Е., Офицеров К.М. Задачи математических олимпиад школьников Витебской области 11 класс, пособие для учителей и учащихся. Издательство Витебского госуниверситета имени П.М.Машерова, 2000г-156с.Ананченко К.О., Дыдо О.В., Коробенок Е.В., Перлин Д.Е., Задачи математических олимпиад школьников Витебской области 10 класс, пособие для учителей и учащихся. Издательство Витебского госуниверситета, 1997г-156с.Антипов И.Н., Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Мордокович А.Г., Избранные вопросы математики.1979г-191с.Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И., Алгебра и математический анализ, 10 класс: Учебное пособие для учащихся шк. и классов углубленного изучения математики – 4-е издание. М.: Просвещение, 1995г-288с.1.Вuленкин ИНДУКЦИЯ. Комбинаторика. Пособие ДЛЯ учителей. М., Просвещение,1976.-48 с.Головина Л.И., Яглом И.М. Индукция в геометрии. - М.: Госуд. издат. литер. - 1956 - С.I00. Пособие по математике для поступающих в вузы/ Под ред. Яковлева Г.Н. Наука. -1981. - С.47-51.Головина Л.И., Яглом ИМ. Индукция в геометрии. —М.: Наука, 1961. — (Популярные лекции по математике.)И.Т.Демидов,А.Н.Колмогоров, С.И.Шварцбург,О.С.Ивашев-Мусатов, Б.Е.Вейц. Учебное пособие / “Просвещение” 1975.Р. Курант, Г Роббинс«Что такое математика?» Глава 1, § 2Попа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. — М,: Наука, 1975.Попа Д. Математическое открытие. — М.: Наука,1976.Рубанов И.С. Как обучать методу математической индукции/ Математика школе. - Nl. - 1996. - С.14-20.Соминский И.С., Головина Л.И., Яглом ИМ. О методе математической индукции. — М.: Наука, 1977. — (Популярные лекции по математике.)Соломинский И.С. Метод математической индукции. - М.:Наука. 63с.Соломинский И.С., Головина Л.И., Яглом И.М. О математической индукции. - М.:Наука. - 1967. - С.7-59.