перестановки и их свойства

Пусть . Тогда функция определяется формулойНапример, при действии транспозиции на функцию аргументы с номерами и меняются местами:Последовательное действие двух перестановок на функцию.Пусть . Тогда Условия кососимметричности. Пусть . Тогда следующие условия равносильны:(а) для любого , то есть меняет знак при перестановке любых двух соседних аргументов;(б)для любых различных то есть меняет знак при перестановке любых двух аргументов;(в) для любой перестановки .Если выполняются эти условия, то функцию называют кососимметрической.Произведение разностей как кососимметрическая функция. Определим функцию формулойгде произведение берется по всем парам, таким, что и . Например,Такая функция является кососимметрической и , если аргументы попарно различны.Практические задания на перестановкиПример 1. Найдем произведение двух перестановок из :В соответствии с нашей договоренностью о порядке, в котором берется композиция двух отображений, умножение начинаем со второй перестановки:Таким образом, Пример 2. Запишем перестановку в виде циклаЗаметим, что 5 осталось на месте. Числа, которые переходят сами в себя, принято опускать в такой записи перестановки, то есть писать просто .Пример 3. Найдем четность перестановкиКак мы видели выше, Значит,То есть перестановка четная.Пример 5. Определить порядок перестановкиЗначит, порядок перестановки равен НОК(4,3,2)=12.Разложение перестановки в произведение независимых циклов является основным средством при решении большинства задач (вместе с соображениями, касающимися порядка перестановки).Пример 6. ВычислитьРешение. Раскладывая в произведение независимых циклов, получаемМы сразу получили запись результата в виде произведения независимых циклов. При необходимости можно перейти и к развернутой записи:Пример 7. В группе решить уравнениеРешение. Перестановка может раскладываться в произведение независимых циклов только следующими способами:Возведение в квадрат первой и второй перестановок даст тождественную; следовательно, они нам не подходят. Кроме того, не подходят и последние две перестановки, посколькуС другой стороны,Это дает возможности и . В результате получаем ответ: либо , либо .Пример 8. (Различные системы порождающих в . Доказать, что всякая перестановка может быть представлена как произведение циклов вида:(а) (12), (13), … , (1,n);(б) (12), (23), … , (n-1,n);(в) (12), (123…n).Доказательство. Такие задачи решаются методом «взять и увидеть».(а) Тут нужно увидеть, что любая транспозицияпредставляется в видеОсталось вспомнить, что любая перестановка записывается в виде произведений транспозиций.(б) Докажем, что любая транспозиция вида может быть получена как произведение транспозиций из пункта (б), а затем воспользуемся уже доказанным пунктом (а). Доказывать будем индукцией по. База очевидна. Предположим, что это верно дляи докажем что . Для этого просто нужно заметить, чтои воспользоваться предположением индукции.(в) Здесь мы сведем все к пункту (б), где мы раскладывали произвольную перестановку в произведение транспозиций вида. А именно, положим и заметим, чтоДомножая слева на , а справа на подходящее число раз, из любой транспозиции можно получить таким образом транспозицию (12).В решении (в) мы использовали операцию сопряжения. Напомним, что называются сопряженными, еслидля некоторой .ЗаключениеМногие работы по теории групп посвящены исследованию класса групп, называемых группами подстановок (или группами перестановок). Группы подстановок особенно интересны тем, что с их помощью можно получить конкретные представления всех конечных групп. То есть любая конечная группа изоморфна некоторой группе подстановок. В настоящее время теория групп еще более расширила области своего применения:механика, физика(квантовая механика,ядерная физика, теория элементарных частиц); кристаллография; спектроскопия; криптография; информатика. В прикладных задачах возникли многие обобщения понятия группы.ЛитератураАлександров П.С. Введение в теорию групп. (выпуск 7 серии «Библиотечка квант»)М.: Наука, 1980.Ван дерВарден Б.Л. , Алгебра, пер. с нем., М., 1976. (Современная алгебра, пер. с нем., ОНТИ, М., 1934-1937; ОГИЗ, М.,1947).Вейль Г., Классические группы, их инварианты и представления, пер. с англ., М., 1947.Винберг Э.Б. Курс алгебры 2-е изд., испр. и доп. — М.: «Факториал Пресс», 2001.Гроссман И., Магнус В. Группы и их графы. Пер. с англ. Г.М. Цукерман Под ред. В.Е. Тараканова М. Мир, 1971.Калужнин Л. А., Сущанский В. И. Преобразования и перестановки: Пер. с укр.—2-е изд., перераб. и доп. — М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985.Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И., Основы теории групп, М., 1972; 2-е изд., М., 1977; 3-е изд., М., 1982.Кострикин А.И. , Вокруг Бернсайда, М., 1986.Кострикин А.И. Сборник задач по алгебре. — Изд. 3-е, испр. и доп.— М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001.КурошА.Г., Теория групп, М.-Л., 1944; 2-е изд., М., 1953; 3-е изд., М., 1967.Ленг С., Алгебра, пер. с англ., М., 1968.Линдон Р., Шупп П., Комбинаторная теория групп, пер. с англ., М., 1980.Нейман Х., Многообразия групп, пер. с англ., М., 1969.Ольшанский А.Ю., Геометрия определяющих соотношений в группах, М., 1989.Плоткин Б.И., Группы автоморфизмов алгебраических систем., М., 1966.Понтрягин Л.С., Непрерывные группы., М.-Л., 1938; 2-е изд., М., 1954; 3-е изд., М., 1973.Супруненко Д.А., Группа подстановок, Минск, 1996.Федоров Е.С., Симметрия и структура кристаллов, М., 1949, с.111-258.Холл М., Теория групп, пер. с англ., М., 1962.Шафаревич И.Р. Основные понятия алгебры, Ижевск, 1999.Шмидт О.Ю. Абстрактная теория групп, Киев, 1916; 2-е изд. М., 1933; Изб. Труды. Математика, М., 1959. с. 17-70.Burnside W., Theory of groups of finite order, Cambridge, 1897; 2-nd ed., Dover, 1911, 1955.Huppert B., EndlicheGruppen, Bd. I (with Blackburn N.), 1979, Finite groups, vol. II, III, Berlin, 1982.