Геометрия Лобачевского в модели Пуанкаре

Значитгде . Следовательно, любое отображение можно записать в виде для некоторых . Теорема 5.Любая изометрия из H, не являющаяся прямой, может быть записана в виде для некоторых . Более того, если то будет отражением тогда и только тогда, когда 1.11 Расстояние и длинаНам необходима формула для вычисления расстояния между двумя точками или длины для любого отрезка. У нас есть формула для точек, лежащих на вертикальной линии. Если и , тоТеперь, пусть точки и не лежат на одной вертикали. Тогда существует полукруг с центром на оси Ох, проходящий через точки и . Пусть этот круг пересекает ось Ох в точка и . Поскольку изометрия сохраняет расстояние, мы рассмотрим изображение , которое переведет в и в вертикальную линию. Это преобразование переведет в , в и в . Поскольку изображение будет лежать на этой линии, то перейдет в некоторую точку для некоторого. ТогдаЗаметим, чтоИ, в частности, так как и , мы получаем, чтозначит1.12 Аксиомы геометрии ЛобачевскогоПроверим, все ли аксиомы гиперболической геометрии соблюдены в верхней полуплоскости модели Пуанкаре.Аксиома 1. Через две точки можно провести прямую, причем, только одну.Ранее мы выяснили, что аксиома 1 выполнена. Поскольку существует полукруг или вертикальная линия, проходящие через любые две точки на плоскости.Аксиома 2. Любая прямая может быть бесконечно продолжена.Доказано в пункте 1.2.Аксиома 3. Можно нарисовать круг любого радиуса с любым центром.Это следует из определения. Если мы знаем, как измерить расстояние, мы можем задать круг.Аксиома 4. Любые два прямых угла совпадают (конгруэнтны). Поскольку изометрия сохраняет углы. То прямые углы в смысле Евклида, перейдут в прямые углы в смысле Лобачевского.Аксиома 6. Для любых двух точек и существует такая изометрия , что.Доказано в пункте 1.8.Аксиома 7. Для заданной точки и любых двух точек и , таких что , существует изометрия, которая сохраняет неподвижной и переводит в.Аксиома 8. Для любой линии , существует отображение, сохраняющее только все точкинеподвижными, а остальные точки нет.Аксиома 5. Для любой прямой и не лежащей на ней точке , существуют, по крайней мере, две различные прямые и , проходящие через и не пересекающие .Это и есть пятая аксиома Евклида, о которой речь шла в самом начале. Она легко иллюстрируется исходя из определения прямых в модели Пуанкаре.1.13 Модель Пуанкаре в кругеРассмотрим дробно-линейное преобразование в матричной формеилиЭто преобразование переводит 0в , 1 в 1 и в . То есть данное преобразование переводит верхнюю полуплоскость во внутренность единичного круга. Отображение H при данном преобразовании есть модель Пуанкаре в круге, D.Линии и окружности, перпендикулярные действительной оси, переходят в окружности, перпендикулярные границе области D. То есть, гиперболические линии модели Пуанкаре в круге есть части евклидовых окружностей, которые перпендикулярны границе области D.Точки в данной модели могут быть выражены, например, в полярных координатахТогда метрика запишется какГруппа правильных изометрий в D описывается сходным образом с изометриями в H.Все неправильные изометрии в D описываются преобразованием, где .Лемма 1.10Если , тогдаДоказательство: Если и концы диаметра, проходящего через , то1.14 Модель геометрии Лобачевского в пространствеЭта модель определяется аналогично модели на плоскости. За пространство принимается открытое полупространство Р. «Плоскостями»» в нем служат содержащиеся в Р полусферы с центрами на граничной плоскости, а также перпендикулярные ей открытые полуплоскости. За «прямые»» принимаются полуокружности, перпендикулярные граничной плоскости (т. е. касательные к ним в концах перпендикуляры этой плоскости; центры их лежат на граничной плоскости), а также перпендикулярные ей лучи. Роль «наложений»» играют композиции инверсий в сферах с центрами на граничной плоскости и отражений в перпендикулярных ей плоскостях.ЗаключениеМы привыкли думать, что геометрия наблюдаемого мира евклидова, т.е. в нем выполняются законы той геометрии, которая изучается в школе. На самом деле это не совсем так.Геометрия Лобачевского отличается от привычной евклидовой тем, что в ней через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие её. Ее также называют гиперболической геометрией.Сам Лобачевский применил свою геометрию к вычислению определённых интегралов.В теории функций комплексного переменного геометрия Лобачевского помогла построить теорию автоморфных функций. Связь с геометрией Лобачевского была здесь отправным пунктом исследований Пуанкаре, который писал, что «неевклидова геометрия есть ключ к решению всей задачи» .Геометрия Лобачевского находит применение также в теории чисел, в её геометрических методах, объединённых под названием «геометрия чисел» .Была установлена тесная связь геометрии Лобачевского с кинематикой специальной (частной) теории относительности. Замечательное приложение геометрия Лобачевского нашла в общей теории относительности. Если считать распределение масс материи во Вселенной равномерным (это приближение в космических масштабах допустимо) , то оказывается возможным, что при определённых условиях пространство имеет геометрию Лобачевского. Таким образом, предположение Лобачевского о его геометрии как возможной теории реального пространства оправдалось.Литература1. Александров П.С., Маркушевич А.И., Хинчин А.Я. Энциклопедия элементарной математики. Книга 5. Геометрия. - М.: Наука, 1966.Атанасян Л.С., Базылев В.Т. - Геометрия, Том 2, Москва, Просвещение, 1988. Атанасян Л.С. - Геометрия Лобачевского, Москва, Просвещение, 2001. ВернерА.Л., Кантор Б.Е., Франгулов С.А. - Геометрия, часть 2, Санкт-Петербург, 1997. ГильбертД. - Основания геометрии.- М: ГИТТЛ 1948г.Гусева Н.И. и др. Геометрия Том 2, Москва, Академия, 2013. ЕфимовН.В. - Высшая геометрия. М: 1978г.Каган В.Ф. - Основания геометрии. М.; Л., 1949–1956. Ч. 1–2.Клейн Ф. - Неевклидова геометрия. Пер. с нем. Изд. 4, испр., обновл. - 2017.Колмогоров А.Н., Юшкевич А.П. (ред.) - Математика XIX века. М.: Наука, том II.Лобачевского геометрия // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.ПонаринЯ.П. - Алгебра комплексных чисел в геометрических задачах. Москва, 2004. ПонаринЯ.П. - Элементарная геометрия, Том 1, Москва, 2004. МищенкоА.С., ФоменкоА.Т. - Курс дифференциальной геометрии и топологии, Москва, 2000. Об основаниях геометрии. Сборник классических работ по геометрии Лобачевского и развитию её идей. М.: Гостехиздат, 1956.ОбуховаА.И. - История элементарной геометрии.Сморгожевский, А.С. - О геометрии Лобачевского: гос. изд-во техн.-теоретич. лит-ры - выпуск 23 - М., 1957.Широков П. А. - Краткий очерк основ геометрии Лобачевского. 2-е изд. М., 1983.HenriPoincaré. - ThéoriedesGroupesFuchsiens // ActaMathematica. — 1882. — Первая статья в легендарной серии о модели в верхней полуплоскости.Saul Stahl. The Poincaré Half-Plane. — Jones and Bartlett, 1993.