Метод Данилевского

Если продолжить вычисления, изменяя аналогично n-1 строку матрицы С и т.д., а также предполагая преобразование матрицы А в матрицу Фробениуса Р, то, в результате, получим матрицу вида:Из матрицы мы узнали, что . А значит, дальнейшие действия, методом Данилевского, не допустимы. В подобных ситуациях существуют два выхода. Первый случай выглядит так: если , тогда меняем местами (k-1) и i столбцы, и (k-1) и i строки. Получаем матрицу, похожую на D. Для полученной матрицы можно использовать метод Данилевского, продолжив дальнейшие преобразования.Все элементы k строчки равны 0, то есть матрица:В этой матрице имеет нормальный вид Фробениуса, а матрица приводится к нему методом Данилевского. Многочленом, полученным порождением собственных значений матрицы А, называется произведение многочленов и . Где коэффициенты известны. Тогда на вход поступает матрица А. На выход матрица С нормального вида Фробениуса, подобная А.Второй случай, когда дальнейшие действия невозможны, основан на применении переменной S (S количество строк в матрице ).Причем когда:- S=0, тогда процесс успешно отработал;- S>0, тогда на некотором шаге возник случай описанный выше.Метод Алексея Николаевича Крылова.Метод Крылова полностью противоположен методу Данилевского, и идея у Крылова совершенно другая. Конечно, в методе Данилевского число арифметических операций намного меньше, но в методе Крылова, результат развертывания определителей выше 6-го порядка более точный. Данный способ также содержит особые случаи.Нахождение собственных чисел.Выбирается произвольный столбец . Далее выполняется умножение. Характеристический многочлен матрицы А, слева тождественно равный 0 (по Th Гамильтона-Кели) с матрицей А в качестве аргумента.Получаем: =0. Рассмотрим , , тогда(1)Полученная система имеет хотя бы одно решение. Когда коэффициенты характеристического уравнения известны, тогда решение одно [3]. А когда решений два или больше, т.е. не единственность эквивалента линейной зависимости Первый метод.Выбирается другой столбец . Когда с характеристическим многочленом не совпадает минимальный полином матрицы, тогда есть первоначальный вектор, порождающий последовательность n линейно-независимых векторов.Второй метод легче применяется, хотя он и логически сложнее, но в большинстве случаях решает задачи. В методе Гаусса решения системы (1) r является рангом ее матрицы. Также можем показать, что последовательность - линейно-независима, а линейно выражается через них.Решение системы(2)исключительно и минимальный аннулятор вектор - столбца является столбцом. А этот столбец является коэффициентами делителя характеристического полинома. Значительное облегчение нахождения корней дает понижение степени. Полученные корни делителя полностью соответствуют корням делимого.Из решения системы (1) методом Гаусса можно вывести большое количество информации решения системы. Когда треугольный вид получают преобразованием справа, тогда изначально получают нули в крайнем с права столбце, затем во втором с права и т.д. В процессе решения системы (1) выявляется ранг матрицы равный r. Дойдя до n-r –го столбца, получим, что все соответствующие элементы на соответствующих позициях равны нулю. Составим систему, равносильную системе (2), но уже с треугольной матрицей. Для этого отбрасываем первые n-r столбцы в матрице коэффициентов, на место правой части пишемn-r-й столбец с обратным знаком. Нулевые строки можно вычеркнуть.Вычислив систему (2), нужно брать другой за начальный столбец и повторить процесс. Возьмем ранг новой системы (1) равный r. Наибольший общий делитель (НОД) у данных делителей полинома может оказаться отличным от 0. После того, как найдено НОД разделим на него исходные полиномы. В результате получилась задача нахождения корней у 3х многочленов степенейЗа счет понижения степени, значительно облегчается поиск корней характеристического уравнения, даже если и получены три многочлена вместо одного. У 2х полиномов должны быть общие корни и НОД степени тогда, когда .Нахождение собственных векторов.Когда известны n разных собственных чисел, тогда процесс облегчается. Базис состоит из собственных векторов.Справедливо разложение:(3)где - собственный столбец для собственного числа ; - число.Получаем равенства вида:…………………..поочередным умножением (3) слева на матрицу А.Умножим эти равенства соответственно наи сложим:, (4)где .В том случае, если в левой части равенства (4) - собственный столбец для собственного числа , с точностью до числового множителя, тогда . Коэффициенты , , с легкостью могут быть определены по схеме Горнера Рассмотрим двумерный квантовый ангармонический осциллятор с оператором гамильтониана. Для двумерного ангармонического осциллятора оператор гамильтониана запишем в следующем виде:где ,масса осциллятора, угловая частота.Потенциал находится по формуле:в полном виде потенциал выглядит так:Взяв для примера, , и за начальное приближение выберем волновую функцию гармонического осциллятора основного состояния:Оператор гамильтониана, приведенный в виде матрицы для вычисления собственных значений и собственных векторов по методам Данилевского и Крылова, записывается в матричной форме размером [5×5]:Записав матрицу, вычисляются собственные значения данной матрицы и фиксируются в таблице №1. Выбрав, полученные по методу Данилевского собственные значения за, а по методу Крылова - за . Как мы и раньше знали, с одним собственным числом согласуется лишь один собственный вектор. Дальше находим собственные векторы, распределяем их и записываем в таблицу №2. В третий столбец таблицы записывается результат оценки разницы отклонения рассмотренных методов друг от друга.Найденные по методу Данилевского векторы берем за , а по методу Крылова - за. Таблица №1. Собственные значения матрицы.,|11.8024711.8024820.00001126,2071666,2070980.000068314,31639614,3164920.000094451,87853251,8784110,0001215201,81837201,818390,00002 Таблица №2. Собственные векторы матрицы.Таблица №2. Собственные векторы матрицы.0,9397220,9397210,000001 -0,321418-0,3214180 0,1142690,1142700,000001 -0,022280-0,0222800 0,0077360,0077360-0,335532-0,3355320 -0,801075-0,8010880,000013 0,4834300,4834330,000003 -0,103064-0,1030640 0,0367020,0367030,0000010,0658920,0658910,000001 0,5044310,5044440,000013 0,8294290.8294120,000017 -0,216132-0,2161290,000003 0,0809770,0809760,000001-0,000688-0,0006860,000002 -0,022042-0,0220080.000034 -0,254270-0,2542680,000002 -0,866938-0,8669410,000003 0,4281050,4281070,0000020,00006090,00006120.000003 0,0005500,0005310,000019 0,0256440,0256460,000002 0,4365520,4365550,000003 0,8993010,8993090,000008 Сочетание метода Данилевского и метода Крылова ярко отражается в заполненных таблицах. Сравнивая число операций затраченных для расчетов, мы получаем, что метод Данилевского быстрее метода Крылова.ЗаключениеИтак, проведенное исследование позволяет сделать следующие выводы.Метод Данилевского исключительно удобен для нахождения собственных векторов практически любой матрицы. Рекомендуется рассматривать матрицы меньше порядка нескольких десятков. Данный метод очень удобен в программировании. Относительно иных методов метод Данилевского относительно прост, отличается высокой скоростью, подходит для больших массивов, которые вместе с тем, не требуют отсутствия погрешности. Список литературыБолотовский Б. М. Оливер Хевисайд / Болотовский Б. М.– "Наука",1985.– 259с. Гибадатова Л.Р., Торшина О.А. СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ВЫЧИСЛЕНИЯ СПЕКТРАЛЬНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ЧИСЛЕННЫМИ МЕТОДАМИ А.М. ДАНИЛЕВСКОГО И А.Н. КРЫЛОВА // Международный студенческий научный вестник. – 2018. – № 6.; URL: http://eduherald.ru/ru/article/view?id=19267 (дата обращения: 10.10.2019).Долгополов Д.В. Методы нахождения собственных значений и собственных векторов матриц. Санкт-Петербург. 2015. 220 с.Дубинина О.Н., Решетникова С.Н. История возникновения операционного исчисления и вклад ученых в его развитие.// www.kpi.kharkov.uaМихеев С.Е. Численные методы. СПб.: СПбГУ. 2013. 93 с.Петрова С. С. О. Хевисайд и развитие символического исчисления / Петрова С. С. – ИМИ, 1985.– вып. 28.– С. 98–122.