Задачи на множество точек ,определяющие окружности
Заказать уникальную курсовую работу- 25 25 страниц
- 3 + 3 источника
- Добавлена 05.01.2020
- Содержание
- Часть работы
- Список литературы
- Вопросы/Ответы
1. Введение………………………………………………………….…………..3
2. Алгебраическое и геометрическое определения окружности………..4
3. Задачи на множество точек, определяющие окружность …….……….9
4. Степень точки. Секущая и касательная к окружности……………...17
5. Заключение…………………………………………………………………19
6. Литература………………………………………………………………….20
Задача 5. Дан квадрат ABCD. Найти множество точек, для каждой из которых сумма квадратов расстояний от четырех прямых AB, BC, CD, DA есть величина постоянная [1].
Решение задачи 5. Обозначим буквой М произвольную точку линии, буквами х и у обозначим координаты этой точки (рис. 4).
Рис. 4
Будем иметь:
После приведения подобных слагаемых получим уравнение:
или
которое представляет собой уравнение второго порядка.
Для определения вида линии преобразуем полученное уравнение. Заменяем левую часть уравнения суммой двух трехчленов:
В результате подстановки трехчленов в уравнение второго порядка получаем:
Таким образом, мы приходим к заключению о том, что при линией второго порядка является окружность радиуса , центр которой находится в точке с координатами (а/2; а/2). При уравнение окружности вырождается в точку. При уравнение утрачивает геометрический смысл.
Задача 6. Дан квадрат ABCD. Найти множество точек, для каждой из которых сумма квадратов расстояний от прямых AC и ВD есть величина постоянная [1].
Решение задачи 6. Обозначим буквой М произвольную точку линии, буквами х и у обозначим координаты этой точки (рис. 5).
Рис. 5
В первую очередь находим проекцию точки М на продолжение диагонали АС:
Аналогично получаем координаты точки М''(x'', y'') как проекцию точки М на продолжение диагонали В первую очередь находим проекцию точки М на диагональ BD:
Находим длины отрезков ММ’ и ММ’’:
и
Теперь образуем сумму квадратов
После подстановки выражений для ММ’ и ММ’’ и приведения подобных членов получаем:
или
4. Степень точки. Секущая и касательная к окружности
Пример 1. Найти множество точек плоскости, имеющих одну и ту же степень относительно данной окружности [3].
Определение. Степенью точки М относительно окружности с центром в точке С и радиуса R называется число .
Рис. 6
Решение примера 1. Из определения степени точки
следует, что
Следовательно, множество точек плоскости, имеющих одну и ту же степень точки, есть окружность (рис. 4).
5. Заключение
Окружность, наряду с прямой, является самой распространённой кривой практически во всех областях человеческой деятельности. История её исследования и применения уходит в глубокую древность. Античные ученые рассматривали прямые и окружности как единственный пример «совершенных» кривых, поэтому в геометрии считались допустимыми только построения с помощью циркуля и линейки, а движение планет моделировалось как наложение вращений по окружностям.
На основании вышеизложенного можно утверждать, что роль окружности, как в науке и технике, так и в обыденной жизни человека, трудно переоценить.
Литература
Атанасян Л.С., Атанасян В.А. Сборник задач по геометрии. Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов. Ч. I. М., 1973.
Атанасян Л. С., Базылев В. Т. Геометрия. В 2-х ч. Учеб. пособие для студентов. М.: Наука, 1986.
Д.В. Клетеник. Сборник задач по аналитической геометрии, М.: Наука, 1986г.
20
(подпись)
(подпись) (И.О.Фамилия)
(подпись) (И.О.Фамилия)
2. Атанасян Л. С., Базылев В. Т. Геометрия. В 2-х ч. Учеб. пособие для студентов. М.: Наука, 1986.
3. Д.В. Клетеник. Сборник задач по аналитической геометрии, М.: Наука, 1986г.
Вопрос-ответ:
Как найти окружность, заданную множеством точек?
Для того чтобы найти окружность, заданную множеством точек, нужно найти центр и радиус окружности. Для этого можно использовать алгебраические или геометрические методы. Например, если известны координаты трех точек на окружности, можно составить систему уравнений и решить ее, чтобы найти центр окружности. Затем, используя расстояние от центра до одной из точек, можно найти радиус окружности.
Какие задачи можно решить, используя множество точек, определяющих окружность?
С использованием множества точек, определяющих окружность, можно решать различные задачи. Например, можно найти уравнения прямых, проходящих через заданное множество точек, или найти положение точки относительно окружности (внутри, на окружности или вне ее). Также можно исследовать пересечения окружностей или окружности с прямыми.
Как определить степень точки относительно окружности?
Степень точки относительно окружности определяет, сколько раз данная точка пересекает окружность. Если точка лежит внутри окружности, ее степень равна нулю. Если точка находится на окружности, ее степень равна единице. Если точка лежит вне окружности, ее степень равна двум.
Чему равна сумма квадратов расстояний от точки до прямых, проходящих через вершины квадрата?
Сумма квадратов расстояний от точки до прямых, проходящих через вершины квадрата, равна постоянной величине. Это связано с тем, что данные прямые являются диагоналями квадрата, и сумма квадратов расстояний от точки до каждой диагонали будет одинаковой.
Какие еще материалы по этой теме рекомендуется изучить?
По этой теме можно рекомендовать изучить разделы о кругах и окружностях в учебниках по геометрии или алгебре. Также стоит обратить внимание на задания и примеры задач, связанные с множеством точек, определяющих окружность. Дополнительную информацию можно также найти в научных статьях или специализированной литературе по геометрии.
Какие задачи можно решить, используя множество точек, определяющих окружность?
Множество точек, определяющих окружность, можно использовать для решения задач, связанных с геометрией и алгеброй. Например, можно найти центр окружности, опираясь на множество точек, лежащих на ней. Также можно определить радиус окружности или уравнение окружности, зная координаты нескольких точек на ней.
Чем отличается алгебраическое определение окружности от геометрического?
Алгебраическое определение окружности основано на уравнении, которое описывает геометрическую фигуру окружности в координатной плоскости. Геометрическое определение окружности основано на свойствах и характеристиках самой фигуры, как, например, радиус, диаметр, центр окружности и др.
Какие задачи можно решить, используя множество точек, определяющих окружность?
Множество точек, определяющих окружность, может быть использовано для решения различных задач геометрии и алгебры. Например, можно найти уравнение окружности по координатам нескольких точек на ней или определить радиус и центр окружности. Также можно использовать множество точек для построения окружности с заданными характеристиками.
Что такое степень точки на окружности? В чем ее значение?
Степень точки на окружности – это число, определяющее положение точки относительно окружности. Если степень точки равна 0, это означает, что точка лежит на окружности. Если степень точки положительна, то она находится внутри окружности, а если отрицательна – снаружи окружности.
Как найти секущую и касательную к окружности?
Секущая – это прямая, которая пересекает окружность в двух различных точках. Касательная – это прямая, которая касается окружности в одной точке. Чтобы найти секущую и касательную к окружности, можно использовать свойства и теоремы геометрии, связанные с окружностями. В том числе, можно опираться на уравнение окружности или координаты точек, лежащих на окружности.
Что такое окружность?
Окружность - это геометрическая фигура, состоящая из всех точек, которые находятся на одном и том же расстоянии от центра. Она является плоской фигурой, ограниченной кривой линией.