Геометрические модели конечных групп (группы симметрий, группы поворотов, группы кос и группы крашенных кос.)

Верным является также обратное утверждение: когда группа G линейно действует на некоторых линейных пространствахV, то есть посредством каждого элемента группы задается линейное преобразование на V, действие единичного элементаявляется тождественным и выполняется естественное свойство ассоциативности:Посредством данногодействия задается линейное представление группыG. Проведем решение задачи геометрической интерпретации группы кос и представления Бурау.ПустьDn– обозначение единичного круга на комплексной плоскости, имеющееnотмеченных точек (проколов)x1,…, xnв нем, расположенных подряд на вещественной оси.На данном проколотом диске возможно определение линейного пространстваVnгомологических классов ориентированных замкнутых петель,которые не задевают проколы: для каждой петли возможно проведение расчета количества обходов вокруг первого прокола (при обходах в направлении по часовой стрелке проход считается положительным),обходов вокруг последующих проколов и т.д. На рисунке 5 приведена интерпретация действия образующей σ2 на петлиРисунок - Интерпретация действия образующей σ2 на петлиДлякаждой ориентированной петли проводится сопоставление набора ее «координат»: x1,…, xn.Для каждой из петель определены операции умножения:возможен проход одной петли, далее второй и т.д.При проведении обходов будет проводиться сложение координат петель.Каждая косаb из nнитей связана с движениемнабора точек в трехмерном пространстве. Начальное условие связано с нахождением в начальный и в конечный моменты времени в одном и том же положении.Таким образом, данное положение представляет собой набор x1,…, xn, не выходящий за границы единичного круга.Далее определим, чтосовместно с набором точек x1,…, xn проводится видоизменение(самопроизвольное движение) всего дискаDn, положение границы при этом неизменяется:если представить, что диск изготовлен из гибкого материала, имеющего жесткое закрепление на крае, с проколами в точках x1,…, xn. Далеевозможно движение проколотых точекпо траектории некоторой косы, до тех пор, пока они не попадут в исходное положение. Изотопные косы позволяют задавать изотопные движения диска: то есть,при непрерывной деформации косы будет наблюдатьсяизменение и всей истории преобразования диска.При рассмотрении единичной косы, то есть если держать постоянно проколотые точки на исходных позициях, то возможно проведение деформации диска, но данная деформация будет иметь свойствоизотопности тождественной.Изотопность кривой не изменяет класса гомологичности: количество попыток обхода вокруг определенного прокола, не изменяется при малом шевелении кривой,не задевающей проколов (рисунок 6).Рисунок - Примерынегомотопных, но гомологичных петельТаким образом,косы оказывают воздействие на H1(Dn) = Vn. Данное действие устроено следующим образом: косаσiпроводит перестановку позиций точекxi и xi + 1, что предполагает проведение перестановки i-йна(i + 1)-юкоординаты.Таким образом, представлениегруппы кос на Vnвозникает из представления группы перестановок: от косы остается лишь информация о порядке перестановок.При этом группа крашеных кос, переводится в единичную матрицу и образует ядро представления.При накрытии пространства проводится отображение, локально являющееся гомеоморфизмом,то есть длякаждой малой окрестности прообраза проводится взаимно однозначное отображение на соответствующую малую окрестность образа.На рисунке 7 приведено отображение накрытия.Рисунок - Отображение накрытияПостроим накрытие с действием группы на Dn. Соединим вдиске Dn каждый прокол с краем диска отрезком, идущим вниз от прокола.Если диск Dn разрезать вдоль таких отрезков, то он станет односвязным, то есть любая петля в нем будет стягиваться в точку,а петли на Dn, обходящие вокруг проколов, будут пересекать разрезы.Представим себе, что у нас имеется счетный набор плоскостей в пространстве , и на каждой плоскости мы имеем по одному экземпляру разрезанного диска Dn. Рассмотрим замкнутые петли на Dn. Мы хотим, чтобы каждая петля, имеющая индекс k, соответствовала поднятию на kэтажей наверх. Поэтому будем считать, что при пересечении разреза справа налево путь поднимается на этаж вверх, а при пересечении слева направо – опускается на этаж вниз. Чтобы завершить конструкцию , склеим вдоль разрезов каждый правый отворот с соответствующим левым, находящимся на один уровень выше (рисунок 6.3).Отображение накрытия определим как проекцию вдоль оси.Действие кос на образующие из можно записать в виде матрицы размера.Отметим, что представление Бурау, взятое при , задает как раз представление кос перестановками, переход от петель на к петлям на соответствует потере одной образующей (у которой все координаты равны между собой и которая является собственным вектором неприведенного представления Бурау), а дальнейшее введение переменной соответствует переходу от к .Рисунок – Механизм действияσi на образующие в приведенном представлении БурауДанное геометрическое представление соответствует приведенному представлению, заданному на матрицах.ЗаключениеВ рамках данной работы проведено рассмотрение теории конечных групп, групп кос, рассмотрены модели групп симметрий, поворотов.Областями применимости данной теории являются, например, криптографические алгоритмы, используемые в настоящее время для шифрования каналов передачи информации.Рассмотрены вопросы: - проанализированы общие положения теории конечных групп;- проанализированы общие положения теории групп симметрий;- проанализированы общие положения теории групп поворотов;- проанализированы общие положения групп кос и крашеных кос.Список использованных источниковФедоровский К. Ю. Алгебра [Электронный ресурс]. Введение в теорию групп: курс лекций по дисциплине "Алгебра" / К. Ю. Федоровский ; Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана, Факультет "Фундаментальные науки", Кафедра "Прикладная математика". - Москва : МГТУ, 2012. – 231с.Карпова И. В. Дополнительные главы алгебры : учебное пособие / И.В. Карпова ; Министерство образования и науки Российской Федерации, Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования "Тихоокеанский государственный университет". - Хабаровск : Изд-во ТОГУ, 2018. - 108 с.Теория групп и ее приложения : тезисы IX Международной школы-конференции по теории групп, посвященной 90-летию со дня рождения профессора З.И. Боревича, Владикавказ, 9-15 июля 2012 г. - Владикавказ : Изд-во СОГУ, 2012. - 137 с. Чернышев А. С., Сарычев С. В., Гребеньков Н. Н. Параметрическая теория групп / А. С. Чернышев, С. В. Сарычев, Н. Н. Гребеньков. - Курск: Курский государственный университет, 2019. - 243 с.