Баллистика – от катапульт до космических аппаратов.

Построим его огибающую, определяющуюобласть, за границу которой не выходит ни одна из траекторий семейства.При заданной величине v0 нижеприведенное уравнениеустанавливает связь между rи ϑт.е. описывает огибающую семейства траекторий с v0 =const.Обозначим,тогда, т.е. огибающая является эллипсом (рисунок 2).Этот эллипс называют эллипсом безопасности, т.к. любая траектория семействаv0=const не выходит за его пределы. При этом линия апсид эллипса безопасности совпадает с начальным радиус-вектором. Один из фокусов находится в центре Земли [4]. Второй фокус эллипса безопасности совпадает с точкой бросания. Полярный угол отсчитывается от направления на апогей [4].Если изменять величинуv0, то получим семейство софокусных эллипсов безопасности, полуоси которых возрастают с увеличением v0. При v0→2, когда начальная скорость стремится к параболической, размеры эллипса безопасности возрастают неограниченно, и внутри него оказывается любая точка пространства.Рисунок 2 – Эллипс безопасностиДля семейства траекторий с v0=constграницы досягаемости определяются точками пересечения эллипса безопасности с окружностью радиусом rгр, и находятся на этой окружности. Данные точки отвечают максимальной угловой дальностиϑгрmax, достижимой на окружностиrгр, при фиксированной величине v0.Границы зоны досягаемости могут быть достигнуты только при движении по оптимальной траектории.5 Обратная задача баллистикиБольшое практическое значение имеет обратная задача баллистики, при которой задаются начальная и конечная точки траектории и необходимо определить начальные условия движения – величину и направлениеначальной скорости V0, угол бросания θ0, азимута и параметр v0. [4]5.1 Выбор начальных условийПусть начальная точка фиксирована и имеет координаты (λ0, φ0) и радиус r0, при этом конечная точка имеет координаты (λ’р, φ’р)и находится на поверхности Земли rр=R. В первом приближении для решения задачи в первом шаге итерационной процедуры предполагают, что известно время движения на пассивном участке tр[4].Начальный параметр описывается следующим выражением:где [2]Каждому углу бросания θ0 соответствует значение параметра v0или начальной скорости V0.5.2 Траектории с фиксированной начальной скоростьюДля случая, когда заданы начальная точка и начальная скорость (или v0) определим все возможные траектории, проходящие через заданную конечную точку, находящуюся на поверхности Земли r=Rна расстоянии ϑр от начальной [4]. Существует два угла бросания θ(1)0и θ(2)0, обеспечивающих достижение требуемой угловой дальности ϑр с заданной величиной параметраv0:Очевидно, что θ(1)0> θ(2)0, при этом более крутую траекторию, соответствующую углу θ(1)0 принято называть навесной, а более пологую – настильной.θ(1)0> - θ(опт)0= θ(опт)0- θ(2)0Векторы начальной скорости навесной и настильной траектории симметрично отклонены в точке бросания соответственной вверх и вниз относительно вектора начальной скорости оптимальной траектории на ту же дальность (см. рисунок 3.)Начальная скорость навесной и настильной траектории одинакова, причем она превышает минимальную потребную скорость для достижения заданной дальности по оптимальной траектории[4].Рисунок 3 – Навесная, оптимальная и настильная траектории [3]5.3 Свойства семейства траекторий между двумя фиксированными точкамиГеометрическое место концов векторов начальной скорости, обеспечивающих прохождение траектории через две заданные точки, представляет собой гиперболу. Одна из ее асимптот направлено вдоль радиуса-вектора r0, а вторая – в конечную точку траектории. Из двух ветвей гиперболы необходимо выбирать ту, которая позволяет учесть ограничение на траекторию из условия ее пересечения с поверхностью Земли только в конечной точке. [4]В случае, когда рассматривается задача перелета по эллиптической траектории между двумя точками космического пространства и радиус притягивающего тела бесконечно мал, могу быть использованы обе ветви гиперболы. Одна из них будет отвечать восходящим траекториям, а вторая – нисходящим. Если выбрать величину начальной скорости, которая обеспечивает перелет между заданными точкам, можно реализовать две траектории перелета, направленные в противоположные стороны и геометрически образующие один и тот же эллипс [4].Список литературыВнешняя баллистика: [Учеб. для втузов] / А. А. Дмитриевский, Л. Н. Лысенко, С. С. Богодистов. - 3-е изд., перераб. и доп. - М.: Машиностроение, 1991. – 638с.https://nauka.club/fizika/ballisticheskoe-dvizhenie.htmlМирер С. А. Механика космического полета. Орбитальное движение: учебное пособие / С. А. Мирер С. А. – М.: Резолит, 2007. – 270 с.Охомицкий Д.Е., Сихарулидзе Ю.Г. Основы механики космического полета. М.: «Наука», 1990.– 448с.