Элементы математической статистики

Таблица 2.1хi05813рi0,61990,05690,29610,02711,0000Построим многоугольник распределения (рис. 2.1): по оси абсцисс откладываем значения случайной величины хi, а по оси ординат значения их вероятностей рi.Найдем функцию распределения случайной величины, используя соотношение:При x<0F(x)= 0;При 0 x<5F(x)= P(=x1)=p1= 0,6199;При 5x< 8F(x)= P(=x1) + P(=x2)=p1+p2= 0,6768;При8 x < 13F(x) = P(=x1)+P(=x2)+P(=x3)=p1+p2+p3 = 0,9729;При x 13Рис. 2.1 0 при х < 00,6199 при0 ≤ х < 5Таким образом, F(x) =0.6768 при 5 ≤ x< 80.9729при 8 ≤ x< 13 1,0000 при x ≥13График функции распределения изображен на рис. 2.2.Рис. 2.2Найдем математическое ожидание M[], дисперсию D[] и среднее квадратическое отклонение исследуемой случайной величины, воспользовавшись формулами: (2.3)Дисперсию удобнее вычислять не по формуле (2.2), а по формуле, (2.4)которая является одним из свойств дисперсии (“Дисперсия есть разность математического ожидания квадрата случайной величины и квадрата ее математического ожидания”). Все вычисления сводим в таблицу2.2.Таблица 2.2хi05813∑рi0,61990,05690,29610,02711,0000xipi00,28452,36880,35233,0056=M[]xi2pi01,422518,95044,579924,9528 = M[2]9,0336= (M[])215,9192 = D[]= 3,9899Итак, случайная величина “стоимость ремонта” имеет среднее значение 3,0056 денежных единиц со среднеквадратическим отклонением 3,9899.Выполнение задания 2.Приступим к построению модели данной случайной величины. Этот процесс будем осуществлять методом жребия с помощью случайных чисел rj, т.е. значений случайной величины, равномерно распределенной в интервале[0; 1]. Эти значения приведены в Приложении 1 [6]. Моделируемые значения случайной величины обозначим Zj (j= 1,2,…,20), каждое из них следует рассматривать как случайную величину. Для рассматриваемой случайной величиныправиломоделирования примет вид: - примет значение 0, если rj 0,6199, - значение 5, если 0,6199rj 0,6768, - значение 8, если 0,6768rj 0,9729, - значение 13, если ri 0,9729. Для удобства использования правила сводим в таблицу 2.3.Таблица 2.3Интервалzj10;0,620020,620; 0,677530,677; 0,973840,973; 1,00013Значения границ интервалов округлили до трех знаков после запятой. Приступая к моделированию , возьмем первое число из таблицы Приложения 1 [6]. Для того, чтобы начало моделирования было случайным, воспользуемся днем рождения решающего задачу. Допустим, он родился 9 декабря. Поэтому начнем с 9-й строки 12-го столбца. Это число 57, следовательно, r1= 0,57, оно принадлежит второму интервалу [0; 0,620], поэтому х1=0. Таким образом, найдена стоимость ремонта прибора за первый моделируемый период времени. Аналогично моделируются стоимости остальных периодов. Следующие случайные числа выбираем двигаясь по строке влево. При движении влево второе число 63, т.е. r2= 0,63, оно из интервала [0,620; 0,677] , поэтому х2= 5. Сведем процесс нахождения реализаций в таблицу 2.4.Таблица 2.4jrjинтервалzjjrjинтервалzj10,570;0,6200110,670,620; 0,677520,630,620; 0,6775120,880,677; 0,973830,590;0,6200130,020;0,620040,760,677; 0,9738140,760,677; 0,973850,620,620; 0,6775150,970,677; 0,973860,430;0,6200160,260;0,620070,040;0,6200170,850,677; 0,973880,970,677; 0,9738180,060;0,620090,430;0,6200190,360;0,6200100,670,620; 0,6775200,030;0,6200Найдем экспериментальный ряд распределения, для чего подсчитаем частоты mi, равные числу периодов с данной стоимостью ремонта, т.е. числу появлений значений хj, вычислим их относительные частоты, т.е. оценки вероятностей р=mi /20и занесем результаты в таблицу 2.5. Таблица 2.5xi05813mi1046020р0,500,200,3001,00Найдем экспериментальную функцию распределения 0 при x <00,5 при0 ≤ x< 5F*(x) = 0,7 при 5 ≤ x < 81,0приx ≥ 8Построим экспериментальные многоугольник распределения и функцию распределения (рис. 2.4, 2.5). Для наглядности сравнения теоретических и экспериментальных кривых построим штриховыми линиями теоретические кривые. Рис. 2.4Рис. 2.5Найдем оценки числовых характеристик. Для вычисления оценок математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения воспользуемся формулами:, (2.5)где k - число различных значений случайной величины; (2.6) или (2.7)Поскольку формулы (2.6) и (2.7) дают смещенную оценку дисперсии, несмещенную оценку найдем по формулеВычисления сведем в таблицу 2.6, аналогичную таблице 2.2.Таблица 2.6xi05813p0,500,200,300,01,00хipi*01,02,403,4 = m* хi2pi*05,019,2024,2 = M*[η2]11,56 = (m*)212,64 = D*[]см*= 3,648.Сравнив полученные результаты с теоретическими, видим, что экспериментальные характеристики отличаются от полученных из исходного ряда распределения. Для того чтобы получить более близкие результаты, следует существенно увеличить число реализаций случайной величины.Выполнение задания 3. Проверим соответствие закона распределения полученной случайной величины F*(х) заданному закону распределения F(x), используя критерий Пирсона.Для этого определяем случайную величинугде k – число значений случайной величины;mi– число появлений значений случайной величины ;pi– теоретическая вероятность значения;n–объем моделируемой выборки ( npi–ожидаемое число появлений значения хi при n реализациях случайной величины). Величина 2, служит показателем того, насколько хорошо согласуются моделируемое и ожидаемое распределения. В статистических расчетах число степеней свободы для дискретной случайной величины определяется как r=k–l–1, где k – число значений случайной величины, l – число параметров, которые были вычислены по результатам наблюдений.Введем понятие «критическое значение» C=следующим образом: если при проверяемой гипотезе вероятность события {2>C} Р(2С)= мала, то С – называется «критическим значением», а – «уровнем значимости» критерия 2. Уровень значимости является вероятностью отвергнуть правильную гипотезу. Выбор его определяется решаемой задачей. Как правило, полагают = 0,01 или = 0,05, т.е. в одном или пяти случаях из ста может быть отвергнута правильная гипотеза. Критические значения в зависимости от объема выборки и уровня значимости приведены в таблице Приложения 2[6].В рассматриваемой задаче число k = 4, поэтому число степеней свободы r = 4 – 1 = 3. По таблице Приложения 2 [6] найдем критическое число Сдля уровня значимости =0,05: С= 7,815.Найдем значение 2. Все вычисления выполним в таблице 2.7 (n = 20, npi вычислим до одного знака после запятой).Таблица 2.7iхiminpimi- npi101012,4-2,40,4642541,22,86,5333865,90,10,00241300,5-0,50,500-20200,07,499 =2 При уровне значимости =0,05 событие {2>C} не произошло (7,499<7,815), следовательно, полученное распределение не противоречит предполагаемому.ЗАКЛЮЧЕНИЕ В результате выполнения теоретической части курсовой работы изучены такие понятия теории вероятностей и математической статистики как случайное событие и случайная величина, совместные и несовместные, зависимые и независимые события, вероятность события, свойства вероятности, статистическое определение вероятности, теоремы сложения и умножения вероятностей, формула полной вероятности, дискретные и непрерывные случайные величины, законы распределения случайных величин, функция распределения случайной величины, числовые характеристики случайных величин, статистическое распределение, эмпирическая функция распределения, числовые характеристики статистического распределения, критерии согласия для проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения, критерий согласия Пирсона (χ2-критерий).В результате выполнения практической части найдены значения случайнойвеличину – стоимости восстановления прибора за период времени Тс учетом вероятностей отказов элементов прибора; построен ряд и функция распределения случайной величины; вычислены математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение.Методом жребия построена модель найденной случайной величины для двадцати приборов, найден экспериментальный ряд и функция распределения, вычислены оценки математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения эмпирического распределения.В результате сравнения полученных результатов с теоретическими установлено, что экспериментальные характеристики отличаются от полученных из исходного ряда распределения, что объясняется недостаточным объемом выборки реализаций случайной величины.С помощью критерия Пирсона оценено соответствие экспериментального распределения теоретическому. Установлено, что полученное эмпирическое распределение не противоречит предполагаемому.ЛитератураГмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятности иматематической статистике. - М.: Высшая школа, 2002. –373 с.Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.:Высшая школа, 1977. –479 с.Данко П. Е., Попов А. П., Кожевникова Т. Я. Высшая математика вупражнениях и задачах. - М.: Высшая школа, 1986/ 2 часть. –415 с.Севастьянов Б.А. Курс теории вероятностей и математической статистики. – М.: Наука, 1982. – 256 с.Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика.- М.:ЮНИТИ, 2002. –543 с.Задания и методические указания по курсовой работе «Математика»