Системы счисления, дроби, действия с дробями в различных системах счисления

Алгоритм преобразования десятичной дроби в другую систему счисления заключается в следующем.умножить исходную дробь в 10-ной системе счисления на q, выделить целую часть - она будет первой цифрой новой дроби; отбросить целую часть;для оставшейся дробной части операцию умножения с выделением целой и дробных частей повторять, пока в дробной части не окажется 0 или не будет достигнута желаемая точность конечного числа (exact); появляющиеся при этом целые будут цифрами новой дроби;записать дробь в виде последовательности цифр после ноля с разделителем в порядке их появления в п. (1) и (2).Цикл перевода заканчивается либо в том случае, когда окажется εi+1 = 0, либо последовательность действий повторится наперед заданное число раз.Необходимо отметить, что всякая несократимая рациональная дробь, знаменатель которой взаимно прост с основанием системы счисления, может быть представлена в виде периодической дроби.2.2. Примеры перевода дробных чисел1. Перевести десятичную дробь 0.37510 в восьмеричную систему.Шаг 1.Шаг 2.Итого,2. Перевести десятичную дробь 0.37510 в двоичную систему.Шаг 1.Шаг 2.Шаг 3.Шаг 4.Итог преобразования3. Перевести число 221, 02187510 из десятичной системы в двоичную.Шаг 1.Переведем целую часть числа.Шаг 2.Переведем дробную часть числа.Начиная с этого места, цифры дробной части будут повторяться, так как дробная часть оказалась такой же, как в шестом разряде.В итоге преобразования получим4. Найти десятичную дробь рационального числа 5/13.Выясним, какой вид будет иметь десятичная дробь.Найдем наибольший общий делитель основания системы и знаменателя дроби НОД(10, 13) = 1. Они взаимно просты, дробь будет чисто периодической. Вычислим длину периода. Для этого нужно найти остаток О13(10). Т.к. φ(13)=12, то порядок может быть одним из делителей 12 – 1, 2, 3, 4, 6, 12.Вычисляем101(mod13)=-3, 102(mod 13)=9=-4, 103(mod 13)=12=-1, 104(mod 13)=16=3, 106(mod13)=1, значит, длина периода равна 6.50 |1339 0,384615…110104 6052 8078 2013 7065 5С этого момента начнется повторение.Глава 3. Арифметические действия в системах счисления3.1. Теоретические основы арифметических операцийДля чисел, записанных в десятичной системе, мы пользуемся правилами сложения и умножения чисел «столбиком», деления — «углом». Эти же правила полностью применимы и для чисел, записанных в любой другой позиционной системе.При сложении операции выполняются поразрядно, начиная с младших разрядов. При этом возможно представление суммы разрядов в виде двухразрядного числа в выбранной системе. Это вызывает перенос в следующий разряд единицы, который необходимо учитывать при дальнейшем суммировании. Таким образом, разрядность суммы двух чисел может на единицу превышать максимальную разрядность слагаемых. Это обстоятельство следует учитывать в системах с ограниченной разрядностью представимых чисел, в частности, в ЭВМ.При вычитании значение разряда уменьшаемого может оказаться меньше значения разряда вычитаемого. В этом случае выполняется заем из старшего разряда. Сложение двух n-значных чисел можно выполнить за 2n-1 операцию, вычитание из большего меньшее – за 2n-1 операцию, а сложение n-значного числа сm-значным (при n>m) можно выполнить за n+m-1 операцию .Умножение «в столбик» выполняется путем умножения одного из сомножителей на разряд другого и последующего сложения со сдвигом. В результате перемножения двух цифр может также появляться двухзначное число. Таким образом, произведение содержит число разрядов, равное сумме разрядностей сомножителей. В показано, что операция умножения n-значного числа на m-значное может быть выполнена не более, чем за 5nm-2n-m-2 операций.Операции сложения и умножения в различных системах удобно выполнять с помощью таблиц сложения и умножения. Пример таких таблиц для восьмеричной системы приведены ниже.Таблица сложения восьмеричных чисел+012345670012345671123456710223456710113345671011124456710111213556710111213146671011121314157710111213141516Таблица умножения восьмеричных чиселх01234567000000000101234567202461012141630361114172225404101420243034505121724313643606142230364452707162534435261Сложение и умножение вещественных чисел выполняются совместно для дробной и целой частей. При этом необходимо учитывать положение точки и определять погрешность результатов вычислений.3.2. Примеры арифметических операций1. Сложить числа 117 и 54 в двоичной, десятичной, восьмеричной и двенадцатиричной системах.2. Сложить числа 7,125 и 13,625 в тех же системах.3. Провести вычитание чисел А2616 и 16216 в шестнадцатиричной системе.Заем⦁УменьшаемоеА26Вычитаемое162Разность8С44. Выполнить умножение 1310 = 11012 и 910 = 10012 в двоичной системе.1101х1001___________ 1101+ 0000 0000 1101___________ 11101012 = 11710Глава 4. Некоторые особенности систем счисленияПри обилии позиционных систем счисления возникает вопрос, какая же из них дает лучшие результаты, т. е. какая из них более экономична? Оценку этого можно проводить путем сопоставления количества чисел, которые можно представить ограниченным числом разрядов.В такой анализ проведен для 60-ти разрядных чисел, а в – для 12-ти разрядных. Результаты из приведены ниже.Рисунок 4.1 – Количество представимых чисел в зависимости от числа разрядовИз приведенных данных следует, что наиболее экономична троичная система. В более строго показано, что максимум достигается при основании, равном е= 2.71828– основанию натуральных логарифмов. Наиболее близка к этому как раз троичная система.Однако, в силу более высокой помехоустойчивости и более простой реализации устройств с двумя состояниями в основу вычислительной техники была положена двоичная система счисления, лишь немногим уступающая троичной.Кроме чисто двоичной системы особое внимание привлекают системы с основанием 2n. Среди них выделяются восьмеричная и шестнадцатиричная, позволяющие записывать двоичные числа в более компактной форме.Другим направлением применения систем 2n является техника кодов, исправляющих ошибки, основанная на арифметике полей Галуа. В частности, это код Рида – Соломона с основанием 28.Есть и другое применение полей Галуа. Это криптографические алгоритмы, в частности, широко известный AES.ЗаключениеВ работе рассмотрены вопросы применимости систем счисления с разным основанием. Также уделено внимание преобразованиям из одной позиционной системы к другой, представлению дробей и выполнению арифметических операций. Оценена эффективность систем с разным основанием, показано применение двоичной системы в вычислительной технике и технике обработки сигналов.