Формирование у учащихся основной школы познавательных универсальных учебных действий при обучении решению квадратных уравнений и неравенств с параметрами

Это есть условие, которое удовлетворяет самим условиям задачи.2) Уравнение является квадратным. Квадратное уравнение не обладает действительными корнями в том случае, когда дискриминант данного уравнения будет отрицательным.Найдем дискриминант : < 0. < 0 < 0Решив неравенство, получимС учетом пункта 1, получим ответ: .2. Определите все значения параметра а, при каковом сумма квадратов действительных корней будет наименьшей.Для нас является довольно привычной та вещь, что квадратные уравнения решаются по уже готовой формуле с применением дискриминанта, но если рассматривать задачи с параметрами, то для них не всегда можно использовать данный способ. В этом случае нужно пользоваться теоремой Виета.Как говорится по условию: «Сумма квадратов действительных корней…» Это означает то, что корни существуют, а также этих корня должно быть 2. В данном случае дискриминант должен быть положительным ( > 0).Если  и  – корни квадратного уравнения, то по теореме Виета:В нашем случае:Решим первое неравенство системыКвадратный трехчлен в левой части не обладает корнями, ввиду того что его дискриминант равен -32, то есть он отрицательный. Ввиду этого неравенство будет выполняться для каждого действительного значения .Возведем второе уравнение системы в квадрат:Из этих двух уравнений выразим сумму квадратов  и .Значит, сумму квадратов корней уравнения  можно выразить через параметр График функции  - парабола, ее ветви направлены вверх, минимум будет достигаться в ее вершине. Найдем вершину параболы: Ответ: 13) Найдите все значения , при каждом из которых все решения уравнения положительны.Как и в первой задаче, уравнение является квадратным, кроме случая, когда . Рассмотрим этот случай отдельно. Получим линейное уравнениеУ него единственный корень, причем положительный. Это удовлетворяет условию задачи.2) При  уравнение будет квадратным. Нам надо, чтобы решения существовали, причем были положительными. Раз решения есть, то .Продемонстрируем один из методов для решения квадратичных уравнений и неравенств с параметрами. Данный метод базируется на таких утверждениях, как: - Два корня квадратного уравнения и являются положительными тогда и только тогда, когда их сумма положительна и произведение положительно.Тогда ясно, что сумма и произведение двух положительных чисел будет являться положительной. И наоборот – когда сумма, а также произведение двух чисел является положительной, то сами числа тоже будут положительными. - Два корня квадратного уравнения и являются отрицательными тогда и только тогда, когда их сумма отрицательна, а произведение положительно.Корни квадратного уравнения и имеют разные знаки тогда и только тогда, когда их произведение отрицательно.Сумма и произведение корней входят в формулировку теоремы Виета, которой мы и воспользуемся.ПолучимВторое и третье неравенства имеют одинаковое решение . Решение первого неравенства:.Решение системы:  .С учетом пункта 1 получим ответОтвет: Подведение итогов Подведением итогов будет являться установление правильности решения учащихся.Занятие III. Соотношения на корни квадратного трехчленаЦельЦелями данного занятия является отработка навыка применения теоремы Виета при решении задач; формирование умения записывать на математическом языке условие задачи, умения анализировать, обобщать, находить рациональный способ решения задачи.Ход занятия1. Организационный момент.2. Разбор домашнего задания. Развитие УУД в результате занятияРегулятивные действия – само регуляция как способность мобилизации сил и энергии.Познавательные действия – рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности.Коммуникативные действия – постановка вопросов, инициативное сотрудничество в поиске и сборе информации.Содержание занятияВ №1-3 устно проверяется идея решения и называются ответы. Те, кто не справился с решением какой-то задачи, должны обратиться за помощью к тем, у кого решение выполнено верно, и исправить свои ошибки. Учащимся предлагается показать найденное решение №4. Задача подробно разбирается, анализируется. Решение задачПри разборе №4 из домашнего задания делается вывод, как выполнять задания на соотношения между корнями квадратного уравнения, а именно: чтобы найти все значения параметра а, при которых корни уравнения Ax+Bх+C=0 удовлетворяют некоторому соотношению G(,,a)=0 (соответственно, G(,,a)0 или G(,,a)0), достаточно найти все значения а, удовлетворяющие условиям:(для G(,,a)0 или G(,,a)0 получаем соответствующие неравенства вместо третьего уравнения системы). Совместное выполнение заданияПри каких значениях сумма квадратов корней уравнения равна 4?При выполнении задания необходимо выразить через коэффициенты уравнения сумму квадратов корней уравнения; найти а; проверить существование корней, подставив полученные а в данное уравнение.Выполнение заданий в парахКаждое предложенное задание сначала обсуждается в парах. Затем происходит всеобщее обсуждение решения. Найденное решение одним из учеников записывается на доске. 1. Найти все значения , при которых корни уравнения удовлетворяют условию . 2. При каких значениях сумма квадратов корней уравнения является наименьшей? Чему равна эта сумма? Далее мы будем применять связь между корнями, которая не будет выражена при помощи коэффициентов. Для этого мы будет составлять систему, в которой два уравнения являются уравнения составленными по теореме Виета, а треть – заданная причина. При решении данной системы, как правило определяют корни, а потому не нужно определять ее правильность.3. Найдите все значения параметра а при которых один из корней уравнения х2 – (3а +2)х + 3а2 = 0 в три раза больше другого.4. При каких а разность корней уравнения равна 14? Подведение итогов занятия- Что необходимо сделать, для того, чтобы можно было решить проблему взаимосвязи с корнями квадратного уравнения?Занятие в паре дает возможность учащимся оценить работу друг друга, причем по пятибалльной шкале. Преподаватель, соответственно, преподносит свою оценку самым активным ученикам.Постановка домашнего заданияЗадания, обязательные для выполнения:В уравнении х2-4х+а=0 сумма квадратов корней равна 16. Найти а.При каком значении а сумма квадратов корней уравнения х2+(2-р)х-р-3=0 равна квадрату разности корней этого уравнения?Определить а таким образом, чтобы корни уравнения 2х2+(2а-1)х+а-1=0 удовлетворяли соотношению 3х-4х=11. Занятие IV. Квадратный трином: теорема Виеты; признаки корней квадратного тринома; отношения к корням квадратного уравненияЦелиЦелями данного занятия являются:закрепление способности применять теорему Виета для того, чтобы устанавливать корни квадратичного трехчлена и решать задачи, которые касаются взаимосвязи между корнями квадратного уравнения; использовать знания для разрешения проблем; групповое обучение навыкам.Ход выполнения курсаОрганизационный момент. Осуществление проверки домашнего задания: 3 ученика перед тем, как начнется урок пишут на доске решение соответствующих номеров. На уроке учащиеся проверяют правильно ли решены данные задачи и если что вводят поправки. Учитель проверят задания индивидуально для каждого. Решение проблем. Класс необходимо разделить на группы по 4-5 человек. Каждая группа будет получать определенный спектр задач. Все задачи будут одинаковые. Эти группы должны будут решить эти задачи за 20 минут.За правильное задание начисляются балы (по 2 балла).За 20 минут до завершения занятия группы оканчивают работу, после чего учитель проверяет решение, все решения обсуждаются. По итогам проверки подводятся выводы, после чего выбирают победителя.Развитие УУД в результате занятияЛичностные действия – личностно, профессиональное, жизненное определение.Регулятивные действия – целеполагание как постановка учебной задачи, планирование решения задач, прогнозирование результатов, само регуляция как способность мобилизации сил и энергии, к волевому усилию.Познавательные действия – выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий, рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности, постановка и формулирование проблемы, самостоятельное создание алгоритмов деятельности.Коммуникативные действия – планирование учебного сотрудничества со сверстниками, определение цели, функций участников, способов взаимодействия, сотрудничество в поиске и сборе информации, разрешение конфликтов, умение выражать свои мысли.Содержание занятияЗаданияПри каких значениях параметра а уравнение (а-2)х+(4-2а)х+3=0 имеет единственное решение?При каких значениях а уравнение (а-6а+8)+ (а-4)х+(10-3а- а)=0 имеет более 2-х корней? При каком значении параметра а уравнение х2-2(а-1)х+а+5=0 имеет положительные корни? При каком значении параметра а уравнение х2+(3а-5)х-2=0 имеет корни разных знаков?Не вычисляя корней уравнения 3х2+8х-1=0, найти х1/х2+х2/х1 . Подведение итогов урокаПодсчитайте количество правильно решенных задач для каждой команды и наберите очки для команд.Определение степени достижения целей обучения и степени участия каждого учащегося в классе, оценка успеваемости учащихся. Таблица заполняется в каждой группе (см. Таблица 3), общее количество баллов распределяется между членами каждой команды.……………………………………………(Ф.И.)№12345678Блок1Блок2Таблица Таблица для подведения итогов урокаСхема заполнения таблицы:(+) - решил верно;(+-) - решил, с недочетами; (-+)- начал решать, но не закончил, ход решения верный;(-) - не приступал к решению; решил, но неверно.Постановка домашнего заданияКаждый ученик должен выполнить любые пять заданий из блоков 1 и 2, которые не решал на занятии.ЗаключениеВообще уравнения и неравенства с параметрами – это есть одни из самых лучших материалов, чтобы реализовать исследовательскую работу. Но, к сожалению учебная программа в школе не предусматривает проблемы, которые возникают с параметрами в качестве отдельной темы. Это все происходит потому, что этот материал очень труден для учащихся в классе, разработка данного материала занимает много времени.Ввиду этого и происходит включение данного материала в конспекты уроков.Дополнительные курсы – это один из основных механизмов обновления и идентификации процесса образования. С системой курсов, которая развита очень хорошо, каждый может выборочно учиться и приобретать образование с конкретным желанием в определённой области знаний. Данный курс дает возможность преподнести эту информацию в более понятном образе, чтобы она была доступна для большего количества учащихся и помогла им развить исследовательские навыки для разрешения проблем.Перед написанием работы были выдвинуты задачи, которые по итогам работы были решены: провели анализ учебников по алгебре для 7-9 классов, для того, чтобы можно было изучить значение уравнений и неравенств с параметрами. Для тог, чтобы расширить кругозор учащихся были приведены конспекты уроков для 9-го класса «Квадратные уравнения и неравенства с параметрами».Курс по выбору можно продолжить в средней школе, изучая курс «Уравнения и неравенства с параметром, приведенным к квадрату».В процессе написания работы все поставленные задачи были достигнуты.БиблиографияАсмолов А.Г. Формирование УУД в основной школе: от действия к мысли: пособие для учителя. – М. Просвещение, 2010Фундаментальное ядро содержания общего образования: проект под редакцией В.В. Козлова, А.М.Кондакова – М.: Просвещение, 2009Формирование УУД как требование ФГОС – познавательные УУД.Алгебра [Текст]: Учебник для 7 кл. общеобразоват. учреждений / Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин. Ю. В. Сидоров и др.- 2-е изд.- М.: Просвещение, 1995. - 191 с: ил. Алгебра [Текст]: Учебник для 8 кл. общеобразоват. учреждений / Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин. Ю. В. Сидоров и др.- 2-е изд.- М.: Просвещение, 1995. - 223 с: ил. Алгебра [Текст]: Учебник для 9 кл. общеобразоват. учреждений / Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин. Ю. В. Сидоров и др.- 2-е изд.- М.: Просвещение, 1995. - 224 с: ил. Алгебра [Текст]: Учебник для 7 кл. общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков и др.; Под ред. С. А. Теляковского.- 4-е изд.- М.: Просвещение, 2001.- 239 с: ил. Алгебра [Текст]: Учебник для 8 кл. общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков и др.; Под ред. С. А. Теляковского.- 4-е изд.- М.: Просвещение, 2001.- 240 с: ил. Алгебра [Текст]: Учебник для 9 кл. общеобразоват. учреждений [Текст] / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков и др.; Под ред. С. А. Теляковского.- 4-е изд.- М.: Просвещение, 2001.- 239 с: ил. Алгебра. 7 кл. [Текст]: Задачник для общеобразоват. учреждений /А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская и др.- 4-е изд., испр.- М.: Мнемозина, 2001.- 160 с: ил.Алгебра. 7 кл. [Текст]: Учебник для общеобразоват. учреждений /А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская и др.- 4-е изд., испр.- М.: Мнемозина, 2001.- 160 с: ил.Алгебра. 8 кл. [Текст]: Учебник для общеобразоват. учреждений /А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская и др.- 3-е изд. доработ.- М.: Мнемозина. 2001.- 223 С: ил.Алгебра. 9 кл. [Текст]: Задачник для общеобразоват. учреждений /А. Г. Мордкович. Т. Н. Мишустина. Е. Е. Тульчинская и др.- 4-е изд.- М.: Мнемозина. 2002.- 143 с: ил.Алгебра [Текст]: Учебное пособие для учащихся 9 класса с углубленным изучением математики / Н.Я. Виленкин, Т.С. Сурвилло, А.С. Симонов и др.; Под ред. Н.Я. Виленкина.- М.: Просвещение, 2001.- 384 c. Бабанский, Ю. К. Оптимизация учебно-воспитательного процесса [Текст] / Ю.К. Бабанский.- М.: Просвещение, 1982.- 192 с.- (Метод. основы)Болтянский, В.Г. Лекции и задачи по элементарной математике [Текст]/ В.Г. Болтянский, Ю.В. Сидоров, М.И. Шабунин.- М.: Наука, 1974.- 576 с. Бондаревский В.Б. Воспитание интереса к знаниям и потребности к самообразованию [Текст]: Кн. для учителя / .- М.: Просвещение, 1985.- 144 с.Галицкий, М.Л. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов [Текст]: учеб. пособие для учащихся шк. и кл. с углубленным изучением математики / М.Л. Галицкий, А.М. Гольдман, Л.И. Звавич.- М.: Просвещение, 1994.- 271 с. Горнштейн, П.И. Задачи с параметрами [Текст] / П.И. Горнштейн.- Киев: Текст: Око, 1992.- 290 с.Горнштейн, П.И. Задачи с параметрами [Текст] / П.И. Горнштейн, В.Б. Полонский, М.С. Якир.- М.: Илекса, 1999.- 336 с.Громов, А.И. Пособие-репетитор по математике. Подготовка к письменному экзамену [Текст]: Учеб. пособие / А.И. Громов, В.М. Савчин.- Ростов н/Д: Феникс, 2001.- 480 с.