Не указана

Рассмотрим формулу интерполяционного многочлена Ньютона, заменив разделенные разности их выражениями через конечные разности, имеем:Пусть , тогда описанная выше формула примет вид:Получившаяся формула носит название интерполяционной формулы Ньютона для интерполирования вперед.Аналогичным образом можно вывести интерполяционную формулу Ньютона для интерполирования назад. Для этого нужно рассмотреть узлы решетки . Проводя аналогичные рассуждения, придем к формуле:Оценка остаточного члена интерполяционного полинома НьютонаОстаточный член формулы Ньютона точно такой же, как и у формулы Лагранжа в силу того, что полином Ньютона является одним из полиномов Лагранжа. Однако его можно записать в иной форме. Для этого рассмотрим:Откуда находим:Таким образом:И остаточный член имеет вид:Если f(x) имеет (n+1)-ую производную, то имеем:Разделенная разность , которая входит в выражение остаточного члена, может быть найдена только в том случае, когда явно известна f(x). Но в таком случае не обязательно вообще использовать интерполяционную формулу Ньютона. В некоторых случаях последнюю формулу для остаточного члена можно использовать для фактической оценки погрешности, даваемой формулой интерполяционного многочлена Ньютона.Для интерполяционной формулы Ньютона для интерполирования вперед оценка остаточного члена выглядит, как:Для формулы интерполирования назад оценка выглядит следующим образом:ЗаключениеВ данной работе были рассмотрены основные и простейшие подходы к интерполяции таблично-заданных функций: интерполяция с использованием многочлена Лагранжа и с использованием многочлена в форме Ньютона. Для каждого из методов были выведены общие формулы интерполяционных многочленов, а также формулы для случая равноотстоящих узлов, найдены оценки остаточных членов.Несмотря на то, что для интерполяционной формулы в форме Ньютона были получены две формулы (для интерполирования вперед и для интерполирования назад), каждая из них является лишь другой, более удобной, формой записи интерполяционного полинома Лагранжа. Поэтому, если не принимать во внимание различие в форме записи, все эти формулы тождественны. Существование нескольких форм записи одной формулы обуславливается широким спектром задач, в которых применяется интерполяция, а также применением интерполяционного подхода, в котором сначала используются ближайшие к х узлы, а затем постепенно подключаются все более удаленные. При таком практическом подходе первые члены интерполяционных формул будут давать основной вклад в искомую величину, а остальные будут давать лишь небольшие поправки. В таком случае легче избежать вычислительных просчетов и установить, на какой разности легче остановить вычисления. Также стоит отметить, что формула Ньютона, которая является видоизменением формулы Лагранжа, более удобна для вычислений, чем формулаЛагранжа. При этом при использовании формулы Ньютона добавление одного или нескольких узлов не приводит к повторению всей проделанной работы заново, как это было привычислениях по формуле Лагранжа.В работе рассмотрены далеко не все методы интерполяции, а лишь основные, но даже они позволяют решать вычислительные задачи с позволительно высокой точностью.Список литературыБарахнин В.Б., Шапеев В.П. Введение в численный анализ. Новосибирск: изд-во НГУ, 1997Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1973.Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений (том 1) - М.: ГИФМЛ, 1962. - 464 с.Буслов В.А., Яковлев С.Л., Численные методы. ч. 1 , ч. 2, СПб, СПбГУ, 2001Калиткин, Н.Н. Численные методы / Н.Н. Калиткин. - СПб.: BHV, 2014. - 592 c.Кунин С.Е. Вычислительная физика, М.: Мир, 1992